2020年福建中考数学复习课件§4.3　等腰三角形与直角三角形.pptx

1、1.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段AD上,EBC=45,则ACE等于 ( ) A.15 B.30 C.45 D.60,A组 20152019年福建中考题组,考点一 等腰三角形,答案 A 由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直平 分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15.,2.(2016漳州,10,4分)如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=8,D是线段BC上的动点(不含端点B、C).若线段AD长为 正整数,则点D共有

2、( ),A.5个 B.4个 C.3个 D.2个,答案 C 过A作AEBC于点E,AB=AC, EC=BE= BC=4,AE= =3, D是线段BC上的动点(不含端点B、C), 3AD5,AD=3或4, 线段AD长为正整数,点D共有3个.,3.(2017福建,24,12分)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形PEFD为矩形. (1)若PCD是等腰三角形,求AP的长; (2)若AP= ,求CF的长.,解析 (1)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,ADC=90, DC=AB=6,AC= =10. 要使PCD是等腰三角形,有如下三种情况: 当CP=C

3、D时,CP=6,AP=AC-CP=4. 当PD=PC时,PDC=PCD, PCD+PAD=PDC+PDA=90, PAD=PDA,PD=PA, PA=PC,AP= ,即AP=5. 当DP=DC时,过D作DQAC于Q,则PQ=CQ. SADC= ADDC= ACDQ, DQ= = ,CQ= = , PC=2CQ= ,AP=AC-PC= . 综上所述,若PCD是等腰三角形,则AP=4,或AP=5,或AP= . (2)连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC. 四边形ABCD和四边形PEFD都是矩形, ADC=PDF=90,即ADP+PDC=PDC+CDF, ADP=CDF. BCD=90,

4、OE=OD,OC= ED. 在矩形PEFD中,PF=DE,OC= PF. OP=OF= PF,OC=OP=OF, OCF=OFC,OCP=OPC, 又OPC+OFC+PCF=180, 2OCP+2OCF=180,PCF=90,即PCD+FCD=90. 在RtADC中,PCD+PAD=90,PAD=FCD. ADPCDF, = = .AP= ,CF= .,易错警示 在第(1)问中,分三种情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论,不能丢解.,一题多解 在第(2)问中,连接PF,DE,证PF与DE相交于点O,连接OC. 四边形DPEF是矩形,OP=OE=OD=OF. ECD是直角三角形,OC=OE

5、=OD. D、P、E、C、F都在以O为圆心,OC长为半径的圆上. PCF=BCD=90,DCF=ACB. ADBC,ACB=DAC. DCF=DAP. 又ADC=PDF=90, CDF=ADP,CDFADP. = , = ,CF= .,1.(2018福建,13,4分)如图,RtABC中,ACB=90,AB=6,D是AB的中点,则CD= .,考点二 直角三角形,答案 3,解析 依题意可知CD是直角三角形ABC斜边上的中线,由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 可得CD= AB=3.,2.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶

6、 点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB= ,则CD= .,答案 -1,解析 由题意知ABC,ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED= ,由勾股定理得BC=AD=2.过A 作AFBC于F,则FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD= ,故CD=FD-FC= -1.,3.(2016莆田,16,4分)魏朝时期,刘徽利用下图通过“以盈补虚,出入相补”的方法,即“勾自乘为朱方,股自 乘为青方,令出入相补,各从其类”证明了勾股定理.若图中BF=1,CF=2,则AE的长为 .,解析 由已知得四边形ABCD是正方形,BF=1,CF=2, AD=AB

7、=DC=BC=BF+CF=3.在RtABF中,AF= = = ,BCAD,EFCEAD, = ,即 = ,解得AE=3AF=3 .,答案 3,B组 20152019年全国中考题组,考点一 等腰三角形,1.(2019四川成都,5,3分)将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在一起,若1=30,则2的度 数为 ( ) A.10 B.15 C.20 D.30,B组 20152019年全国中考题组,考点一 等腰三角形,答案 B 如图,由题意得ABCD,EFG=45,3=1=30,2=EFG-3=45-30=15,故选B.,2.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.

8、求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论 时,需添加辅助线,则作法不正确的是 ( ) A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C,答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB的中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C, 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,3.(2017内蒙古包头,6,3分)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为2 cm,则该等腰三角形的底边长为 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm,答案

9、A 当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=46,即两边之和小于第三边,不合题意;当底边长为2 cm时,腰长为4 cm,符合题意,故选A.,4.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD= AC,则等腰ABC底角的度数 为 .,答案 15或45或75,解析 如图,当BA=BC时, BDAC, AD=CD= AC, BD= AC, AD=BD=CD, A=C= (180-90)=45.,如图,当AB=AC且A为锐角时, BD= AC= AB, A=30, ABC=ACB=75. 如图,当AB=AC且BAC为钝角时, BD= AC= AB, BAD=

10、30, ABC=ACB= 30=15. 同理,当BC=AC时,可求得CBA=CAB=75或15.,故答案为15或45或75.,方法点拨 等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.,5.(2018吉林,11,3分)如图,在平面直角坐标系中,A(4,0),B(0,3),以点A为圆心,AB长为半径画弧,交x轴的负半轴 于点C,则点C坐标为 .,答案 (-1,0),解析 A(4,0),B(0,3),AB= =5,AC=AB,OC=AC-AO=AB-AO=5-4=1,C(-1,0).,6.(2018辽宁沈阳,16,3分)如图,ABC是等边三角形,AB= ,点D是边BC上一点,点

11、H是线段AD上一点,连接 BH、CH,当BHD=60,AHC=90时,DH= .,答案,解析 延长AD至点E,使得HE=BH,连接BE、CE, BHD=60,BHE是等边三角形,BH=BE=HE,BEH=60, ABC是等边三角形,AB=BC,ABC=60,ABH=CBE,ABHCBE,BEC=BHA=120 ,HEC=60, CHAD,CHE=90,设BH=x(x0),则HE=x,CH= x, 过点B作BGHE于G,则BG= x,EG= ,BGD=CHD=90,又BDG=CDH,BDGCDH,= = = , BC= ,CD= ,又DH= GH= HE= ,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2

12、,即 +( x)2= ,解 得x=1, DH= .,疑难突破 此类题型中,可根据等边三角形、60这些条件,通过补全小等边三角形,构造全等三角形,从而 实现线段的转化.,7.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D. 求证:AD=BC. 证明 AB=AC,A=36, ABC=C=72. BD平分ABC, ABD=36,ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72, BDC=C,BD=BC, AD=BC.,8.(2015重庆,25,12分)如图1,在ABC中,ACB=90,BAC=60.点E是BAC角平分线上一点.过点E作AE 的垂线,

13、过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点.DHAC,垂足为H,连接EF,HF. (1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2 ,求AB,BD的长; (2)如图1,求证:HF=EF; (3)如图2,连接CF,CE.猜想:CEF是不是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由. 图1,图2,解析 (1)点H是AC的中点,AC=2 , AH= AC= . (1分) ACB=90,BAC=60, ABC=30, AB=2AC=4 . (2分) DAAB,DHAC, DAB=DHA=90. DAH=30, AD=2. (3分) 在RtADB中, DAB=90, BD2=AD2+AB

14、2.,BD= =2 . (4分) (2)证明:连接AF,如图. F是BD的中点,DAB=90,AF=DF, FDA=FAD. (5分) DEAE,DEA=90.,DHA=90,DAH=30, DH= AD. AE平分BAC,CAE= BAC=30. DAE=60,ADE=30. AE= AD,AE=DH. (6分) FDA=FAD,HDA=EAD=60, FDA-HDA=FAD-EAD. FDH=FAE. (7分) FDHFAE(SAS).FH=FE. (8分) (3)CEF是等边三角形. (9分) 理由如下:取AB的中点G,连接FG,CG.如图.,F是BD的中点,FGDA,FG= DA. F

15、GA=180-DAG=90, 又AE= AD,AE=FG. 在RtABC中,ACB=90,点G为AB的中点,CG=AG. 又CAB=60, GAC为等边三角形. (10分) AC=CG,ACG=AGC=60. FGC=30,FGC=EAC. FGCEAC(SAS). (11分) CF=CE,ACE=GCF. ECF=ECG+GCF=ECG+ACE=ACG=60. CEF是等边三角形. (12分),1.(2019湖北黄冈,7,3分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧( ),点O是这段弧所在圆的圆心,AB=40 m,点C 是 的中点,点D是AB的中点,且CD=10 m.则这段弯路所在圆的半径为 (

16、) A.25 m B.24 m C.30 m D.60 m,考点二 直角三角形,答案 A 连接OD,因为点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点,所以O、D、C三点共线.BD= AB=20 m, 设OB=x m,则OD=(x-10)m,在RtOBD中,OD2+BD2=OB2,即(x-10)2+202=x2,解得x=25,故选A.,思路分析 连接OD,利用点C、D分别是圆弧AB和线段AB的中点及弦心距的性质将问题转化到直角三角 形中,然后由勾股定理求出.,2.(2017陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合,点C 落在边AB上,连接BC.若ACB

17、=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为( ),A.3 B.6 C.3 D.,答案 A 由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3 ,AB=3 ,在 ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC= =3 .,3.(2016安徽,10,4分)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满足PAB= PBC.则线段CP长的最小值为 ( ),A. B.2 C. D.,答案 B PAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中点为O,则P在 以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP

18、最短,OB= AB=3,BC=4,OC= =5,又OP= AB =3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,4.(2019江西,8,3分)我国古代数学名著孙子算经有估算方法:“方五,邪(通“斜”)七.见方求邪,七之,五 而一.”译文为:如果正方形的边长为五,则它的对角线长为七.已知正方形的边长,求对角线长,则先将边长 乘七再除以五.若正方形的边长为1,由勾股定理得对角线长为 ,依据孙子算经的方法,则它的对角线 的长是 .,答案,解析 根据孙子算经的方法,求一个正方形的对角线长,则先将边长乘七再除以五,所以边长为1的正方 形的对角线长为175= .,5.(2019河北,19,4分)勘测队按实

19、际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单位: km).笔直铁路经过A,B两地. (1)A,B间的距离为 km; (2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为 km.,答案 (1)20 (2)13,解析 (1)由点A和点B的坐标可知,ABx轴,A,B间的距离=12-(-8)=20 km. (2)如图,由点C的坐标可知点C在y轴的负半轴上且OC=17 km,设y轴与直线AB的交点为E,易得AE=12 km, OE=1 km,所以CE=18 km,设CD=AD=x km,则DE=(18-x)km,在RtA

20、DE中,AD2=DE2+AE2,即x2=(18-x)2+122,解 得x=13,所以C,D间的距离为13 km.,思路分析 (1)根据点A与点B的坐标特点求出A,B间的距离;(2)首先确定直角坐标系,设y轴与直线AB的交点 为E,易得AE=12 km,CE=18 km,设CD=AD=x km,根据勾股定理列出含x的方程,求解即可.,解题关键 正确画出平面直角坐标系,准确运用勾股定理得出方程是解决本题的关键.,6.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 .,答案 1或9,解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC

21、于点D. 在RtABD中,AB= ,AD=3,BD= =5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD= =4.BC=BD+CD=9.,BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4, BC=1.,综上,BC的长为1或9.,思路分析 根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易错警示 本题易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.,7.(2018河南,15,3分)如图,MAN=90,点C在边AM上,AC=4,点B为边AN上一动点,连接BC,ABC与ABC 关于BC所在直线对称.点D,E分别为AC,BC的中点,连接DE并延长交AB所在直线于点F,连接AE.当A

22、EF 为直角三角形时,AB的长为 .,答案 4或4,解析 (1)当点A在直线DE下方时,如图1,CAF=90,EAFCAF,AEF为钝角三角形,不符合;(2) 当点A在直线DE上方时,如图2.当AFE=90时, DEAB,EDA=90,ABAC.由对称知四边形ABAC为正方形,AB=AC=4;当点A在直线DE上 方时,如图3.当AEF=90时,AEAC,所以AEC=ACE=ACE, AC=AE.AE=EC,ACE为等边三角形,ACB=ACB=60,在RtACB中,AB=ACtan 60=4 ; 当点A在直线DE上方时,EAFCAB,不可能为90. 综上所述,当AEF为直角三角形时,AB的长为4

23、或4 . 图1,图2 图3,思路分析 由题意知,点B为边AN上的动点,A点的对称点A可以在直线DE的下方或上方.分类讨论,当点A 在DE的下方时,AEF不可能为直角三角形,当点A在直线DE上方时,AEF或AFE为90时分别计算AB 的长,显然EAF90,可以排除.,方法总结 解对称(折叠)型问题,当对称轴过定点时,一般要找出对称中的定长线段,以定点为圆心,定长为 半径作辅助圆来确定对称点的轨迹是较为有效的方法.再根据题目中所要求的条件,结合全等、相似或勾 股定理等计算得出结果.,8.(2015江西南昌,14,3分)如图,在ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,AOC=

24、60,则当 PAB为直角三角形时,AP的长为 .,答案 2或2 或2,解析 由题意知,满足条件的点P有三个位置.如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=2,又因为 AOC=60,所以POA为等边三角形,所以AP=2. 如图,APB=90,因为OA=OB=2,所以OP=OA=OB=2,又AOC=BOP=60,所以OBP为等边三角形,所 以OBP=60,所以OAP=30,所以AP=ABcosOAP=4 =2 . 如图,ABP=90,因为BOP=AOC=60, 所以BP=OBtan 60=2 . 在RtABP中,AP= = = =2 . 综上所述,AP的长为2或2 或2 .,评析 本

25、题是以等腰三角形中的动点为背景的分类讨论型问题,考查了含特殊角的直角三角形的边角关 系,勾股定理等知识,本题易漏掉某种情况,属易错题.,9.(2019内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. (1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出A与B的和与C的大小关系; (2)求证:ABC的内角和等于180; (3)若 = ,求证:ABC是直角三角形.,解析 (1)CA+B. (2)证明:如图,过点B作直线DEAC, A=ABD,C=CBE, 又ABD+ABC+CBE=180, A+ABC+C=180, ABC的内角和等于180.,(3)证明:原式可变形为

26、 = , (a+c)2-b2=2ac, 即a2+2ac+c2-b2=2ac, a2+c2=b2, ABC是以B为直角的直角三角形.,1.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2-12x +m+2=0的两根,则m的值是 ( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36,C组 教师专用题组,考点一 等腰三角形,答案 A 由根与系数的关系可得 当a=4时,b=8;当b=4时,a=8.这两种情况都不能构成三角形, a=b=6, m=34,故选A.,易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不

27、能构成三角形.,2.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60, C=25,则BAD为 ( ) A.50 B.70 C.75 D.80,答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+25 )=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,3.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个 顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ( )

28、 A.4 B.5 C.6 D.7,答案 D 如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形;,如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形. 故选D.,4.(2015广西南宁,7,3分)如图,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,则C的度数为 (

29、) A.35 B.40 C.45 D.50,答案 A AB=AD,ADB=B=70, AD=DC,C=DAC. ADB是ADC的外角, C= ADB=35,故选A.,5.(2015江苏苏州,7,3分)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC中点,BAD=35,则C的度数为 ( ) A.35 B.45 C.55 D.60,答案 C AB=AC,D为BC中点, CAD=BAD=35,ADDC, 在ADC中,C=90-DAC=55,故选C.,6.(2015陕西,6,3分)如图,在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=BC,连 接DE,则图中等腰三角形共有 ( )

30、 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,答案 D 依题意可知,题图中的ABC,AED,BDC,BDE,ADB为等腰三角形,则共有5个等腰三角 形.故选D.,7.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 .,答案 80,解析 等腰三角形的两底角相等,180-502=80, 顶角为80.,8.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的中 点,连接DG,则DG的长为 .,答案,解析 连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC= AC=2. DEB=C

31、=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF= . DEG=180-60-30=90.,G是EF的中点,EG= . 在RtDEG中,DG= = = .,思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角形, 再根据勾股定理即可求解DG的长.,疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段DG的长,DG 与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长.,9.(2016湖南长沙,17,3分)如图,ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边A

32、C于点E,则 BCE的周长为 .,答案 13,解析 DE垂直平分AB,AE=BE, BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.,评析 本题考查了线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相 等.,10.(2019吉林,24,8分)性质探究 如图,在等腰三角形ABC中,ACB=120,则底边AB与腰AC的长度之比为 . 理解运用 (1)若顶角为120的等腰三角形的周长为8+4 ,则它的面积为 ; (2)如图,在四边形EFGH中,EF=EG=EH. 求证:EFG+EHG=FGH;,在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若FGH=

33、120,EF=10,直接写出线段MN的长. 类比拓展 顶角为2的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 (用含的式子表示).,解析 性质探究 . (2分) 理解运用 (1)4 . (3分) (2)证明:EF=EG=EH, EFG=EGF,EGH=EHG. (5分) EFG+EHG=EGF+EGH=FGH. (6分) 5 . (7分) 提示:由可知EFG+EHG=FGH. FGH=120, EFG+EHG=120. FEH+EFG+EHG+FGH=360, FEH=120.,连接FH. EF=EH, EFH是顶角为120的等腰三角形,由性质探究可知FH= EF. 又EF=10,FH=10 . M,N

34、为FG和GH的中点, MN为FHG的中位线, MN= FH=5 . 类比拓展,2sin . (8分) 提示:如图,作ADBC于点D,BAD=,BD=ABsin , BC=2ABsin ,底边BC与腰AB的长度之比为2sin . 评分说明:结果写成 1,2sin 1不扣分.,11.(2016北京,16,3分)下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程. 已知:直线l和l外一点P. 求作:直线l的垂线,使它经过点P. 作法:如图, (1)在直线l上任取两点A,B; (2)分别以点A,B为圆心,AP,BP长为半径作弧,两弧相交于点Q; (3)作直线PQ. 所以直线PQ就是所求作的垂线

35、.,请回答:该作图的依据是 .,答案 三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;等腰三角形的顶角平分线与底边上的 高重合;两点确定一条直线,解析 连接PA、QA、PB、QB.由题意可知PA=QA,PB=QB,又AB=AB, PABQAB(三边分别相等的两个三角形全等), PAB=QAB(全等三角形的对应角相等). 由两点确定一条直线作直线PQ. PA=QA, ABPQ(等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合).,12.(2016宁夏,21,6分)在等边ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D作DEAB,过点E作EF DE,交BC的延长线于点F.求EF的长.,解析

36、ABC为等边三角形,A=B=ACB=60, DEAB,EDF=B=60,DEC=A=60, CDE为等边三角形,DE=CD=2. (4分) EFDE,DEF=90, 在RtDEF中,EF=DEtan 60=2 . (6分),13.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等 时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析 (1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线,AD= AC

37、,AE= AB, AD=AE, 又A=A,ABDACE, BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可证 OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN为正 方形.,14.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E. 求证:CBE=BAD.,证明 AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,BAD=CAD. BEAC, BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CB

38、E=CAD. CBE=BAD.,15.(2016安徽,23,14分)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜边向MON 的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点. (1)求证:PCEEDQ; (2)延长PC,QD交于点R. 如图2,若MON=150,求证:ABR为等边三角形; 如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和 的值.,解析 (1)证明:点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点, DEOC,CEOD.四边形ODEC为平行四边形. OCE=ODE. 又OAP,OBQ都是等腰直角三角形, PCO=QDO=90.

39、 PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ. 又PC= AO=CO=ED,CE=OD= OB=DQ, PCEEDQ. (5分) (2)证明:如图,连接OR.,PR与QR分别垂直平分线段OA与OB, AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD. 在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,MON=150,CRD=30. ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60. ABR为等边三角形. (9分),如图,由(1)知EQ=PE,DEQ=CPE. 又AOED,CED=ACE. PEQ=CED-CEP-DEQ=ACE-CEP-CPE=ACE-RCE=ACR=90, 即PEQ为等

40、腰直角三角形. 由于ARBPEQ,所以ARB=90.,于是在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,CRD= ARB=45,MON=135. 此时P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角, 所以AB=2PE=2 PQ= PQ,则 = . (14分),1.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分别 以点B,D为圆心,大于 BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC的长度 是 ( ) A.2 B.3 C. D.,考点二 直角三角形,答案 D 由作图叙述可知CEAB

41、,AE=2,BE=1,AB=AC=3,在RtACE中,CE= = ,故选D.,2.(2019陕西,6,3分)如图,在ABC中,B=30,C=45,AD平分BAC,交BC于点D,DEAB,垂足为E.若DE= 1,则BC的长为 ( ) A.2+ B. + C.2+ D.3,答案 A 过点D作DFAC,垂足为F.AD平分BAC,DEAB,DE=DF=1.B=30,BD=2DE=2. C=45,DC= DF= ,BC=BD+CD=2+ ,故选A.,3.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则 M,C两点间的距离为 ( )

42、A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km,答案 D ACBC,M是AB的中点, MC= AB=AM=1.2 km.故选D.,4.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于 点E,则AE的长为 ( ) A.2 B.3 C. D.,思路分析 首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及直角三角形中30度角 的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长.,答案 D AC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4 ,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分 线

43、,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF= AE,又AD=4 ,DE=EF,AE= AD= ,故选D.,5.(2017内蒙古包头,12,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CDAB,垂足为D,AF平分CAB,交CD于点E, 交CB于点F.若AC=3,AB=5,则CE的长为 ( ) A. B. C. D.,答案 A 过F作FGAB于点G, AF平分CAB,ACB=90,FC=FG. 易证ACFAGF,AC=AG. 5+6=90,B+6=90,5=B. 3=1+5,4=2+B,1=2, 3=4,CE=CF. AC=3,AB=5,BC=4. 设CF=x(x0),

44、则FG=x,BF=4-x.BG=AB-AG=5-3=2. 在RtBFG中,由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x= , CE=CF= .选A.,6.(2018黑龙江齐齐哈尔,16,3分)四边形ABCD中,BD是对角线,ABC=90,tanABD= ,AB=20,BC=10,AD= 13,则线段CD= .,答案 或17,解析 如图1,作AE直线BD于点E,CF直线BD于点F, 图1 ABD+DBC=90, BCF+DBC=90, ABD=BCF, tanABD= ,tanBCF= . 在RtAEB中,设AE=3x,BE=4x, 则(3x)2+(4x)2=202,解得x=4,

45、 AE=12,BE=16, 在RtBCF中,设BF=3y,CF=4y, 则(3y)2+(4y)2=102, 解得y=2, BF=6,CF=8, 在RtADE中,DE= =5, BD=BE-DE=11,FD=BD-BF=5, 在RtDCF中,CD= = . 如图2,同理,BE=16,ED=5,BF=6,CF=8.BD=BE+ED=21,FD=BD-BF=15,图2 在RtDCF中,CD= =17. 综上所述,线段CD的长为 或17.,解题关键 考虑问题要全面,正确画出图形,通过作垂线,构造直角三角形,然后利用勾股定理求出线段BD、 FD的长度是关键.,7.(2017山西,15,3分)一副三角板按如图方式摆放,得到ABD和BCD,其中ADB=BCD=90,A=60, CBD=45.E为AB