2020年福建中考数学复习课件§4.5　特殊的平行四边形.pptx

1、1.(2015龙岩,20,10分)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EFEC. (1)求证:AE=DC; (2)已知DC= ,求BE的长.,A组 20152019年福建中考题组,考点一 矩形,解析 (1)证明:在矩形ABCD中,A=D=90, 1+2=90. EFEC, FEC=90, 2+3=90, 1=3. (2分) 在AEF和DCE中,AEFDCE, (4分) AE=DC. (6分) (2)由(1)知AE=DC, AE=DC= . 在矩形ABCD中,AB=DC= , (8分) 在RtABE中,AB2+AE2=BE2, 即( )2+( )2=BE2, BE

2、=2. (10分),2.(2016福建福州,26,13分)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,M是边CD上一点,将ADM沿直线AM折叠,得到 ANM. (1)当AN平分MAB时,求DM的长; (2)连接BN,当DM=1时,求ABN的面积; (3)当射线BN交线段CD于点F时,求DF的最大值.,解析 (1)由折叠可知ANMADM, MAN=DAM. AN平分MAB, MAN=NAB, DAM=MAN=NAB. 四边形ABCD是矩形, DAB=90, DAM=30, DM=ADtanDAM=3 = . (2)如图,延长MN交AB的延长线于点Q.,四边形ABCD是矩形, ABDC, DMA=M

3、AQ. 由折叠可知ANMADM, DMA=AMQ,AN=AD=3,MN=MD=1. MAQ=AMQ, MQ=AQ. 设NQ=x,则AQ=MQ=1+x.,在RtANQ中,AQ2=AN2+NQ2, (x+1)2=32+x2.解得x=4. NQ=4,AQ=5. AB=4,AQ=5, SNAB= SNAQ= ANNQ= . (3)如图,过点A作AHBF于点H,则ABHBFC. = . AHAN=3,AB=4,当点N,H重合(即AH=AN)时,DF最大. (AH最大,BH最小,CF最小,DF最大) 此时点M,F重合,B,N,M三点共线,ABHBFC(如图). CF=BH= = = , DF的最大值为4-

4、 .,3.(2016南平,25,14分)已知在矩形ABCD中,ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E,点P是线段DE上 一定点(共中EPPD). (1)如图1,若点F在CD边上(不与D重合),将DPE绕点P逆时针旋转90后,角的两边PD、 PF分别交射线DA 于点H、G. 求证:PG=PF; 探究:DF、DG、DP之间有怎样的数量关系,并证明你的结论. (2)拓展:如图2,若点F在CD的延长线上(不与D重合),过点P作PGPF,交射线DA于点G.你认为(1)中DF、 DG、DP之间的数量关系是否仍然成立?若成立,给出证明:若不成立,请写出它们所满足的数量关系式,并说 明理由.,解析 (1

5、)证法一:如图1,GPF=HPD=90,ADC=90, GPH=FPD. (1分) DE平分ADC, PDF=ADP=45, HPD为等腰直角三角形, (2分) DHP=PDF=45且PH=PD. (3分) HPGDPF, (4分) PG=PF. (5分),证法二:如图2,过点P分别作PM、PN垂直于AD、 DC.垂足为M、N, (1分) 则PMG=PNF=90,DE平分ADC,PM=PN. (2分) 在矩形ABCD中,ADC=90, 四边形PNDM为正方形, MPN=90, 由旋转可知GPF=HPD=90, MPG+MPF=MPF+NPF=90, GPM=NPF, (3分),RtPMGRtP

6、NF. (4分) PG=PF. (5分) 结论:DG+DF= DP. 证法一:由已证HPD为等腰直角三角形,HPGDPF, HD= DP,HG=DF. (7分) HD=HG+DG=DF+DG,DG+DF= DP. (8分) 证法二:HPD=GPF=90, GPH=FPD, 由已证PMGPNF, PGM=PFN,PG=PF, PGH=PFD,HPGDPF, (6分) HG=DF, PH=PD, HPD为等腰直角三角形,HD= DP. (7分) HD=HG+DG=DF+DG, DG+DF= DP. (8分) (2)(1)中的结论不成立,数量关系式应为DG-DF= DP. (9分) 证法一:如图3,

7、过点P作PHPD交射线DA于点H, PFPG,GPF=HPD=90,GPH=FPD. (10分) DE平分ADC且在矩形ABCD中,ADC=90,HDP=EDC=45,得到HPD为等腰直角三角形. (11分) DHP=EDC=45且PH=PD,HD= DP, (12分) GHP=FDP=180-45=135, HPGDPF,HG=DF. (13分) DH=DG-HG=DG-DF,DG-DF= DP. (14分) 证法二:如图4,过点P作PHPD交射线DA于点H,过点P分别作PM、PN垂直于AD、DC,垂足为M、N. (10 分),DE平分ADC, HDP=EDC=45,得到HPD为等腰直角三角

8、形. (11分) HD= DP. (12分) 由(1)已证得PMGPNF,G=F,PG=PF, 又GPF=HPD=90,GPH=FPD, HPGDPF,HG=DF, (13分) DH=DG-HG=DG-DF,DG-DF= DP. (14分),1.(2016宁德,8,4分)如图,已知ABC,AB=AC,将ABC沿边BC翻转,得到的DBC与原ABC拼成四边形 ABDC,则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是 ( ) A.四条边相等的四边形是菱形 B.一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形,考点二 菱形,答案 A 由轴对称性质可知

9、,AB=BD,AC=CD,又AB=AC,AB=AC=CD=BD,四边形ABDC是菱形.,2.(2015龙岩,10,4分)如图,菱形ABCD的周长为16,ABC=120,则AC的长为 ( ) A.4 B.4 C.2 D.2,答案 A 设AC与BD相交于点O, 四边形ABCD是菱形,且周长为16,ABC=120, AB=4,ACBD,AC=2AO,ABO=60, 在RtABO中,AO=ABsin 60=2 , AC=4 ,故选A.,3.(2016漳州,16,4分)如图,正方形ABCO的顶点C、A分别在x轴、y轴上,BC是菱形BDCE的对角线,若D=60 ,BC=2,则点D的坐标是 .,答案 (2+

10、 ,1),解析 过点D作DGBC于点G, 四边形BDCE是菱形,BD=CD.BDC=60,BCD是等边三角形,BD=BC=CD=2, CG=1,GD=CDsin 60=2 = ,D(2+ ,1).,4.(2016三明,20,8分)如图,在ABC中,ACB=90,D,E分别为AC,AB的中点,BFCE交DE的延长线于点F. (1)求证:四边形ECBF是平行四边形; (2)当A=30时,求证:四边形ECBF是菱形.,证明 (1)D,E分别为边AC,AB的中点, DEBC,即EFBC. 又BFCE,四边形ECBF是平行四边形. (2)证法一:ACB=90,A=30,E为AB的中点, CB= AB,C

11、E= AB.CB=CE. 由(1)知,四边形ECBF是平行四边形, 四边形ECBF是菱形. 证法二:ACB=90,A=30,E为AB的中点, BC= AB=BE,ABC=60. BCE是等边三角形.CB=CE. 由(1)知,四边形ECBF是平行四边形, 四边形ECBF是菱形.,证法三:E为AB的中点,ACB=90,A=30, CE= AB=BE,ABC=60. BCE是等边三角形. CB=CE. 由(1)知,四边形ECBF是平行四边形, 四边形ECBF是菱形.,1.(2016南平,15,4分)如图,正方形ABCD中,点E、F分别为AB、CD上的点,且AE=CF= AB,点O为线段EF的 中点,

12、过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点,并且满足PQ=EF,则这样的直线PQ(不同于EF) 有 条.,考点三 正方形,答案 3,解析 这样的直线PQ(不同于EF)有3条. 如图1,过O作PQEF,交AD于P,交BC于Q,则PQ=EF; 如图2,以A为圆心,AE长为半径画弧,交AD于P,连接PO并延长交BC于Q,则PQ=EF; 如图3,以B为圆心,AE长为半径画弧,交AB于Q,连接QO并延长交DC于点P,则PQ=EF.,2.(2016宁德,24,13分)已知正方形ABCD,点E在直线CD上. (1)若F是直线BC上一点,且AFAE,求证:AF=AE;(请利用图中所给的图形加以证明) (

13、2)写出(1)中命题的逆命题,并画出一个图形说明该逆命题是假命题; (3)若点G在直线BC上,且AG平分BAE,探索线段BG、DE、AE之间的数量关系,并说明理由.,解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形, AB=AD,ADC=ABF=BAD=90. AEAF,EAF=90=BAD.BAF=DAE. ABFADE(SAS).AF=AE. (4分) (2)逆命题一:已知正方形ABCD中,E为直线CD上一点,F为直线BC上一点,且AF=AE.求证:AEAF. (6分) (若写为“若AF=AE,则AEAF”也得2分) 如图,逆命题二:已知正方形ABCD中,E为直线CD上一点,AFAE,AF=AE.

14、求证:F在直线BC上. (6分) (若写为“若AF=AE,且AEAF,则F在直线BC上”也得2分) 如图,(8分) 逆命题三:已知正方形ABCD中,E为直线CD上一点,AF=AE.求证:F在直线BC上,且AEAF. (6分) 图略. (8分) (3)如图1,当E在线段CD上时,AE=DE+BG.,证明:过A点作AFAE交BC的延长线于F点. 由(1)得ABFADE, 1=2,AF=AE,BF=DE. AG平分BAE, 3=4. 1+3=2+4, 即FAG=DAG. 四边形ABCD是正方形, ADBC, AGF=DAG=FAG. AF=FG. AE=AF=FG=BG+BF. AE=BG+DE.

15、(11分),如图2,当点E在CD的延长线上时,BG=DE+AE. 证明:过点A作AFAE交BC的延长线于F点. 同理可证得AF=FG=AE,BF=DE. AE=AF=FG=BG-BF=BG-DE. (12分),如图3,当E在DC延长线上时,AE=DE+BG,证明同. 综上所述,线段BG、DE、AE之间的数量关系是AE=DE+BG或AE=BG-DE. (13分),B组 20152019年全国中考题组,1.(2019重庆A卷,5,4分)下列命题正确的是 ( ) A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.四条边相等的四边形是矩形 C.有一组邻边相等的平行四边形是矩形 D.对角线相等的四边形是矩形,B

16、组 20152019年全国中考题组,考点一 矩形,答案 A 有一个角是直角的平行四边形是矩形, A选项正确; 四条边相等的四边形是菱形, B选项错误; 有一组邻边相等的平行四边形是菱形, C选项错误; 对角线相等的平行四边形是矩形, D选项错误.故选A.,2.(2016天津,10,3分)如图,把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B的对应点为B,AB与DC相交于点E,则 下列结论一定正确的是 ( ) A.DAB=CAB B.ACD=BCD C.AD=AE D.AE=CE,答案 D 由折叠知, EAC=BAC, ABCD, ECA=BAC, EAC=ECA, AE=CE.故选D.,3.(20

17、17四川绵阳,9,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F 两点.若AC=2 ,AEO=120,则FC的长度为 ( ) A.1 B.2 C. D.,答案 A 四边形ABCD是矩形, OA=OB=OC= AC= . ADBC,OFC=AEO=120, BFO=60. EFBD,BOF=90, OBF=OCB=30, COF=BFO-OCB=30,OF=FC. OF=OBtan 30=1, FC=1, 故选A.,4.(2019河南,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=a,点E在边BC上,且BE= a.连接AE,将ABE沿AE折叠

18、, 若点B的对应点B落在矩形ABCD的边上,则a的值为 .,答案 或,解析 在矩形ABCD中,AB=CD=1,AD=BC=a,B=C=D=90,由折叠得BE=BE= a,ABE=90. 当点B落在边AD上时,易证四边形ABEB是正方形,BE=AB,即 a=1,a= ; 当点B落在边CD上时,如图.,1+2=2+3=90, 1=3,又D=C=90,BCEADB, = . 在RtADB中,由勾股定理得BD= = , = ,a= . 综上所述,满足条件的a的值为 或 .,解题关键 本题是以矩形为背景的折叠型题目,由于未指明折叠后点B的具体位置,所以分情况讨论是解决 本题的关键.根据题意得,当点B在矩

19、形边上时,有两种可能:当点B在AD上时,由四边形ABEB是正方形可 求a的值;当点B在边CD上时,由“K字模型”中的相似三角形性质结合勾股定理可求a的值.,5.(2018四川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:分别以点A和C为圆心,以大于 AC的长 为半径作弧,两弧相交于点M和N;作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为 .,答案,解析 如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,EA=EC=3. 在RtADE中,AD= = = . 在RtADC中,AC= = = .,思路分析 连接AE,根据题中的作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=E

20、C=3,用勾股定理先计算出AD,再计 算出AC,得解.,解题关键 本题考查了矩形的性质,基本作图(作已知线段的垂直平分线),勾股定理,识别基本作图并熟练 应用勾股定理计算是解题的关键.,6.(2016广东,15,4分)如图,矩形ABCD中,对角线AC=2 ,E为BC边上一点,BC=3BE.将矩形ABCD沿AE所在的 直线折叠,B点恰好落在对角线AC上的B处,则AB= .,答案,解析 由折叠和矩形的性质,可知BE=BE,ABE=ABE=90,EBC=90. BC=3BE,EC=2BE=2BE, ACB=30,AB= AC. AC=2 , AB= .,评析 本题考查折叠和矩形的性质等知识.属中档题

21、.,7.(2019云南,20,8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且AOB=2OAD. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若AOBODC=43,求ADO的度数.,解析 (1)证明:AO=OC,BO=OD, 四边形ABCD是平行四边形. (1分) 又AOB=2OAD,AOB是AOD的外角, AOB=OAD+ADO. OAD=ADO. (2分) AO=OD. (3分) 又AC=AO+OC=2AO,BD=BO+OD=2OD, AC=BD. 四边形ABCD是矩形. (4分) (2)设AOB=4x,ODC=3x,则OCD=ODC=3x. (5分) 在

22、ODC中,DOC+OCD+CDO=180. 4x+3x+3x=180,解得x=18. (6分) ODC=318=54. (7分),ADO=90-ODC=90-54=36. (8分),名师点拨 (1)对角线相等的平行四边形为矩形.(2)三角形的内角和为180.(3)三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角之和.,1.(2019天津,8,3分)如图,四边形ABCD为菱形,A,B两点的坐标分别是(2,0),(0,1),点C,D在坐标轴上,则菱形 ABCD的周长等于 ( ) A. B.4 C.4 D.20,考点二 菱形,答案 C 由点A,B的坐标可得OA=2,OB=1,根据勾股定理可得AB= = ,

23、由菱形的性质可得AB= AD=CD=CB= , 所以菱形ABCD的周长等于4 ,故选C.,2.(2019贵州贵阳,4,3分)如图,菱形ABCD的周长是4 cm,ABC=60,那么这个菱形的对角线AC的长是 ( ) A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm,答案 A 由已知及菱形四条边都相等可知AB=BC=1 cm,因为ABC=60,所以三角形ABC为等边三角形, 所以AC=AB=1 cm,故选A.,3.(2019河北,5,3分)如图,菱形ABCD中,D=150,则1= ( ) A.30 B.25 C.20 D.15,答案 D 四边形ABCD是菱形, D+BAD=180,AC平分B

24、AD, D=150, BAD=30, 1=15,故选D.,4.(2016宁夏,5,3分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接EF.若EF= , BD=2,则菱形ABCD的面积为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8,答案 A 因为E,F分别是AD,CD边上的中点,所以EFAC,且EF= AC,所以AC=2EF=2 .所以S菱形ABCD= ACBD= 2 2=2 .故选A.,5.(2017河北,9,3分)求证:菱形的两条对角线互相垂直. 已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O. 求证:ACBD. 以下是排乱的证明过程: 又BO=D

25、O, AOBD,即ACBD. 四边形ABCD是菱形, AB=AD.,证明步骤正确的顺序是 ( ) A. B. C. D.,答案 B 证明:四边形ABCD是菱形,AB=AD, 又BO=DO,AOBD,即ACBD. 所以证明步骤正确的顺序是,故选B.,6.(2018河南,10,3分)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿ADB以1 cm/s的速度匀速运动到点B.图2是 点F运动时,FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为 ( ) 图1 图2 A. B.2 C. D.2,答案 C 如图,作DEBC于点E,在菱形ABCD中,当F在AD上时,y= BCDE,即a= aDE,D

26、E=2. 由题意知DB= ,在RtDEB中, BE= =1,EC=a-1. 在RtDEC中,DE2+EC2=DC2, 22+(a-1)2=a2. 解得a= .故选C.,思路分析 当点F在AD上运动时,y值不变,为a,可求得菱形BC边上的高为2,由点F在BD上运动的时间为 , 得BD的长,作出菱形BC边上的高,由勾股定理可求得a的值.,7.(2019北京,14,2分)把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形,将这四个直角三角形分别拼成如 图2,图3所示的正方形,则图1中菱形的面积为 .,答案 12,解析 设题图1中一个小直角三角形的两条直角边长分别为a,b,则由题图2,题图3可列方程组 解

27、得 所以题图1中菱形的面积为 46=12.,解题关键 解决本题的关键是要分析题目中已知的“5”和“1”是由怎样的线段构成的.,8.(2018四川成都,24,4分)如图,在菱形ABCD中,tanA= ,M,N分别在边AD,BC上,将四边形AMNB沿MN翻折, 使AB的对应线段EF经过顶点D,当EFAD时, 的值为 .,答案,解析 延长NF与DC交于点H, ADF=90,A+FDH=90, DFN+DFH=180,A+B=180,B=DFN, A=DFH, FDH+DFH=90,NHDC. 在RtEDM中,tanE=tanA= , 设DM=4k(k0),则DE=3k,EM=5k, AD=9k=DC

28、,DF=6k. tan A=tanDFH= , 则sinDFH= , DH= DF= k,CH=9k- k= k, cosC=cosA= = , CN= CH=7k, BN=2k, = .,解题关键 本题主要考查了菱形的性质,翻折变换以及解直角三角形,灵活运用锐角三角函数表示线段之 间的关系是解题的关键.,9.(2019甘肃兰州,22,7分)如图,AC=8,分别以A,C为圆心,以长度5为半径作弧,两条弧分别相交于点B和D,依 次连接A,B,C,D,连接BD交AC于点O. (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由; (2)求BD的长.,解析 (1)由题可知,BD垂直平分AC,且AB=BC=CD=

29、AD=5, 四边形ABCD为菱形. (2)AC=8,BDAC且BD平分AC, OA=OC=4, 在RtAOB中,OB= = =3, BD=2OB=23=6, BD的长为6.,1.(2019安徽,10,4分)如图,在正方形ABCD中,点E,F将对角线AC三等分,且AC=12.点P在正方形的边上,则满 足PE+PF=9的点P的个数是( ) A.0 B.4 C.6 D.8,考点三 正方形,答案 D 如图,作E,F关于AD的对称点E1,F1,连接E1F,EF1,交AD于H点,连接EE1,FF1,过点F作FOEE1,交E1 E的延长线于点O,当P点在H点时,PE+PF取得最小值,由已知得AE=EF=CF

30、=4, 四边形ABCD是正方形, 易求OE=EM=ME1=2 ,OF=OE=2 ,OE1=6 ,由勾股定理可得EF1=E1F= = 9, 在AH和HD上各存在一点P,使得PE+PF=9,同理在AB、BC、CD上各存在2个这样的P点, 一共有8个这样的P点,故选D.,思路分析 因为正方形具有对称性,所以只需找出正方形一条边上满足条件的个数,然后乘4即可,由E,F为 定点且为AC的三等分点,分别作E,F关于AD的对称点,这样可求出PE+PF的最小值为 9,从而可得AD上 满足条件的点有两个,问题解决.,难点突破 确定PE+PF的最小值是解答本题的突破口.,2.(2017河北,11,2分)如图是边长

31、为10 cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪 线长度所标的数据(单位:cm) 的是 ( ),答案 A 由勾股定理得正方形的对角线的长是10 ,因为10 15,所以正方形内部的每一个点到正方 形的顶点的距离都小于15,故选A.,3.(2016陕西,8,3分)如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若M、N是边AD上的两点,连接MO、 NO,并分别延长交边BC于两点M、N,则图中的全等三角形共有 ( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对,答案 C 易知ABDCBD,MONMON,DONBON,DOMBOM,故选C.,4.(2019陕西,14,3分)如

32、图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是AO的中点,点M在BC边上,且BM=6, P为对角线BD上一点,则PM-PN的最大值为 .,答案 2,解析 作点N关于直线BD的对称点G,连接MG并延长交BD于点P,此时PM-PN有最大值,最大值为线段GM 的长. 点N为OA的中点,点G为OC的中点,过点O作OHBC,由正方形的性质可知OH=HC= BC=4.BM=6, CM=2,点M为CH的中点,GM为COH的中位线,GM= OH=2.,5.(2018江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP 的长为 .,答案

33、 2, - 或2,解析 四边形ABCD是正方形,AB=6,ACBD,AC=BD=6 ,OA=OD=3 . 有三种情况:点P在AD上时, AD=6,PD=2AP,AP= AD=2; 点P在AC上时,不妨设AP=x(x0),则DP=2x,在RtDPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2, 即(2x)2=(3 )2+(3 -x)2, 解得x= - (舍去负值),即AP= - ; 点P在AB上时,PAD=90,PD=2AP,ADP=30, AP=ADtan 30=6 =2 . 综上所述,AP的长为2, - 或2 .,解题关键 熟记正方形的性质,分析符合题意的情况,并准确画出图形是解题的关键.,易错警

34、示 此题没有给出图形,需将点P的位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点P在正方形边上而致错.,6.(2018呼和浩特,16,3分)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的动点(不与点A重合),且AMAB, CBE由DAM平移得到.若过点E作EHAC,H为垂足,则有以下结论:点M位置变化,使得DHC=60时,2 BE=DM;无论点M运动到何处,都有DM= HM;无论点M运动到何处,CHM一定大于135,其中正确结 论的序号为 .,答案 ,解析 如图所示, 取CE的中点O,以点O为圆心,OH 为半径画圆,连接DH,延长EH交AD于F,连接FM,BH,HM,易知EH=HA=HF. 当DHC=

35、60时,易得CEB=CHB=60,则BCE=30,所以2BE=CE=DM,故正确.因为CHE=90 ,所以AHF=90,易知DHF=AHM,所以DHM=90,易知DH=HM,所以无论点M运动到何处,都有DM= HM,故正确.由可知DHM=90,而CHD45,所以无论点M 运动到何处,CHM 一定大于135,故 正确.所以都正确.,解题关键 解决本题的关键是借助中点发现辅助圆.,7.(2017陕西,19,7分)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接AF、CE交于 点G.求证:AG=CG.,8.(2016黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:如图,在正方形ABCD中

36、,点E在边CD上,AQBE于点Q,DPAQ于点P. (1)求证:AP=BQ; (2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长度的差等于 PQ长.,解析 (1)证明:四边形ABCD为正方形,AB=AD,DAB=90,BAQ+DAP=90. DPAQ,APD=90, ADP+DAP=90, ADP=BAQ. (1分) AQBE,AQB=90, APD=AQB, (2分) DAPABQ, (3分) AP=BQ. (4分) (2)AQ与AP,DP与AP,AQ与BQ,DP与BQ. (8分),评析 解本题的关键是掌握正方形的性质,三角形全等的判定和性质.,1.(20

37、17甘肃兰州,8,4分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30,AB=4,则OC= ( ) A.5 B.4 C.3.5 D.3,C组 教师专用题组,考点一 矩形,答案 B 因为四边形ABCD为矩形,所以AC=BD,OC= AC.已知ADB=30,故在直角三角形ABD中,BD=2 AB=8,所以AC=8,所以OC= AC=4,故选B.,2.(2015江西南昌,5,3分)如图,小贤为了体验四边形的不稳定性,将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD, B与D两点之间用一根 拉直固定,然后向右扭动框架,观察所得四边形的变化.下列判断 的是 ( ) A.四边形ABCD由矩形变为平行

38、四边形 B.BD的长度增大 C.四边形ABCD的面积不变 D.四边形ABCD的周长不变,答案 C 向右扭动框架ABCD的过程中,AD与BC的距离逐渐减小,即ABCD的高发生变化,所以面积改 变,选项C错误,故选C.,3.(2015山东临沂,12,3分)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.添加一个 条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是 ( ),A.AB=BE B.BEDC C.ADB=90 D.CEDE,答案 B 四边形ABCD是平行四边形,ADBC,AD=BC,AB=CD,DEBC,又DE=AD,DE=BC,四 边形DBCE是平行四边形.若AB

39、=BE,则CD=BE,则平行四边形DBCE是矩形.若CEDE,即DEC=90,则平 行四边形DBCE是矩形.若ADB=90,则BDE=90,则平行四边形DBCE是矩形.当BEDC时,平行四边形 DBCE是菱形.故选B.,4.(2016四川南充,8,3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再一次折叠,使 点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后DAG的大小为 ( ) A.30 B.45 C.60 D.75,答案 C 如图,根据第二次折叠可知,1=2,MGA=90,由第一次折叠可知,MN=AN,即NG是RtAMG 的中线,故AN=GN,所以2=3.又E

40、FAB,所以3=4,故1=2=4,又因为1+2+4=90,所以1 =2=4=30,所以1+2=DAG=60,故选C.,5.(2017新疆乌鲁木齐,9,4分)如图,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点D 恰好落在BC边上的G点处,若矩形面积为4 且AFG=60,GE=2BG,则折痕EF的长为 ( ),A.1 B. C.2 D.2,答案 C 四边形ABCD是矩形, ADBC,H=D=FGH=C=90. 由折叠知GFE=DFE,FD=FG. GFD=180-AFG=120, GFE=DFE=60. ADBC, FGE=AFG=60,FEG=DFE=60, GEF

41、是等边三角形, FG=GE=FE.,设BG=x,则GF=GE=EF=FD=2x. 作GMAD,交AD于点M,则四边形ABGM是矩形,GM=GFsin 60= x,MF=GFcos 60=x, AD=AM+MF+FD=BG+MF+FD=4x, ADGM=4 ,4x x=4 , 解得x=1或x=-1(不符合题意,舍去), EF=2x=2,故选C.,6.(2018乌鲁木齐,10,4分)如图1,在矩形ABCD中,E是AD上一点,点P从点B沿折线BE-ED-DC运动到点C时停 止;点Q从点B沿BC运动到点C时停止,速度均为每秒1个单位长度.如果点P,Q同时开始运动,设运动时间为t, BPQ的面积为y,已

42、知y与t的函数图象如图2所示,以下结论:BC=10;cosABE= ;当0t10时,y= t2;当t=12时,BPQ是等腰三角形;当14t20时,y=110-5t中正确的有( ) 图1 图2 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,答案 B 由题图1、2可知,t=10时,P点运动到E点,再由10t14时y不变得,P点在线段ED上运动时,Q点 已运动至C点,又0t10时,函数图象为一条光滑的曲线,P点运动至E点时,Q点恰好运动至C点,BC=1 0,故正确;由t=10时P点运动到E点得,BE=10,由题图2知三角形PBQ的最大面积为40,作EFBC于点F,如 图所示, = =40,解得EF=8,

43、即AB=8,cosABE= = ,故错; 作PMBQ于点M,当0t10时,BMPBFE, = ,即 = ,解得PM= t,SBPQ= =,= t2,即y= t2,易知t=0时,y=0, 当0t10时,y= t2,故正确; 当t=12时,Q点与C点重合,P点在ED上,且BQ=BC=10,DP=2,在直角三角形PQD中,PQ= = = =2 BE=10,t=12时,BPQ不是等腰三角形,故错误;由上述易知,当14t 20时,P点在CD上,此时CP=8-(t-14)=22-t,y= 10(22-t)=110-5t,故正确,故选B.,思路分析 根据题图1及10t14时函数的图象可以得到BE=BC,从而

44、可以判断;作辅助线EFBC于点 F,由于EF=AB,从而可以得到cosABE的值,可以判断;当0t10时,求得BPQ底边BQ上的高,从而可以 得到BPQ的面积,再验证t=0时y的值,从而可以判断;根据题意可以分别求得t=12时BQ、PQ的长及BP的 范围,从而判断;先求14t20时CP关于t的表达式,再由直角三角形的面积公式即可求出y关于t的表达 式,从而判断.,解题关键 本题的解题关键是明确题意,利用数形结合的思想,找出所求问题需要的条件.,7.(2019贵州贵阳,15,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,DCA=30,点F是对角线AC上的一个动点,连接DF,以 DF为斜边作DFE=30

45、的直角三角形DEF,使点E和点A位于DF两侧,点F从点A到点C的运动过程中,点E的 运动路径长是 .,答案,解析 连接BD,交AC于点O, 矩形ABCD中,DCA=30, 三角形AOD为等边三角形. AB=4, AD=OD=ABtan 30= . 当点F与点A重合时,点E在OD的中点E1处,DE1= OD= ;当点F与点C重合时,点E(即E2)在DC的上方.连接 E1E2,易知E1DE2=ADC=90,DE1E2=60. DFE=DAE1=30, = = ,又FDE=ADE1=60,FDA=EDE1,ADFE1DE,DAF=DE1E=60,由此 可知点E的运动轨迹为线段E1E2,E1DE2=90,DE1E=60,E1E2=2DE1= .,思路分析 首先确定点E的始点和终点,进而确定点E的运动轨迹,最后利用直角三角形的性质求得结果.,易错警示 本题的关键是确定点E的运动轨迹,错误得出点E的位置变化也就造成了误解.,8.(2016安徽,14,5分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10.点E在CD上,将BCE沿BE折叠,点C恰落在边 AD上的点F处;点G在AF上,将ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上的点H处.有下列结论: EBG=45;DEFABG; SA