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1、 什么是信号？什么是系统？为什么把这两什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？个概念连在一起？信号的概念信号的概念 系统的概念系统的概念1.1 1.1 绪论绪论第一章第一章 信号与系统信号与系统l 消息消息 (message):l 信息信息 (information):l 信号信号 (signal):人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。通常把消息中有意义的内容称为信息。通常把消息中有意义的内容称为信息。本课程中对本课程中对“信息信息”和和“消息消息”两词不加严格区分。两词不加严格区分。信号是信息的载体。信号是信息的载体。通过信号传递信息。

2、通过信号传递信息。一、信号的概念一、信号的概念信号实例 信号我们并不陌生。如信号我们并不陌生。如 刚才铃声刚才铃声声信号声信号，表示该上课了；，表示该上课了；十字路口的红绿灯十字路口的红绿灯光信号光信号，指挥交通；，指挥交通；电视机天线接受的电视信息电视机天线接受的电视信息电信号电信号；广告牌上的广告牌上的文字、图象信号文字、图象信号等等。等等。信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。这样的物理装置常称为系统。l 一般而言，系统一般而言，系统(system)(system)是指若干相互关联的是指若干相互关联的事物组合而成具有

3、特定功能的整体。事物组合而成具有特定功能的整体。如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以如手机、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。等都可以看成信号。l 系统的基本作用是对信号进行系统的基本作用是对信号进行传输传输和和处理处理。系统系统输入信号输入信号激励激励输出信号输出信号响应响应二、系统的概念二、系统的概念通信系统为传送消息而装设的全套技术设备为传送消息而装设的全套技术设备信号处理对信号进行某种加工或变换。对信号进行某种加工或变换。目的：目的：l消除信号中的多余内容；消除信号中的多余内容；

4、l滤除混杂的噪声和干扰；滤除混杂的噪声和干扰；l将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。选择它的特征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。信号传输通信的目的是为了实现消息的传输。通信的目的是为了实现消息的传输。l原始的光通信系统原始的光通信系统古代利用烽火传送边疆警报；古代利用烽火传送边疆警报；l声音信号的传输声音信号的传输击鼓鸣金。击鼓鸣金。l利用电信号传送消息。利用电信号传送消息。1837年，莫尔斯年，莫尔斯(F.B.Morse)发明电报；发明电报；1876年，贝尔年，贝尔(A.G

5、.Bell)发明电话。发明电话。l利用电磁波传送无线电信号。利用电磁波传送无线电信号。1901年，马可尼年，马可尼(G.Marconi)成功地实现了横渡大西洋成功地实现了横渡大西洋的无线电通信；全球定位系统的无线电通信；全球定位系统GPS(Global Positioning System)；个人通信具有美好的发展前景。；个人通信具有美好的发展前景。l 信号的描述信号的描述l 信号的分类信号的分类l几种典型确定性信号几种典型确定性信号1.2 1.2 信号的描述和分类信号的描述和分类一、信号的描述一、信号的描述l 信号信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或是信息的一种物理体现。它一般是随时间

6、或位置变化的物理量。位置变化的物理量。l 信号按信号按物理属性物理属性分：分：电信号电信号和和非电信号非电信号。它们。它们可以相互转换。可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号程讨论电信号-简称简称“信号信号”。l 电信号的基本形式电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。：随时间变化的电压或电流。l 描述信号的常用方法描述信号的常用方法（1 1）表示为时间的函数）表示为时间的函数 （2 2）信号的图形表示）信号的图形表示-波形波形“信号信号”与与“函数函数”两词常相互通用。两词常相互通用。二、信号的分类二、信号的分类l 按实际

7、用途划分：按实际用途划分：电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，广播信号，广播信号，信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。号进行分类。l 按所具有的时间特性划分：按所具有的时间特性划分：确定信号和随机信号确定信号和随机信号；连续信号和离散信号连续信号和离散信号；周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号能量信号与功率信号；一维信号与多维信号一维信号与多维信号；因果信号与反因果信号；因果信号与反因果信号；实信号与复信号；实信号与复信号；左边信号与右边信号；等左边信号与右边信号；等等。

8、等。1.确定信号和随机信号确定信号和随机信号可用确定的时间函数表示的信号可用确定的时间函数表示的信号。对于指定的某一时刻对于指定的某一时刻t，有确定的函数值，有确定的函数值f(t)。确定性信号确定性信号随机信号随机信号伪随机信号伪随机信号 貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。取值具有不确定性的信号取值具有不确定性的信号。如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。2.连续信号和离散信号连续信号和离散信号l连续时间信号：连续时间信号：在连续的时间范围内在连续的时间范围内(-t）有）有定义的信号，简称连

9、续信号。定义的信号，简称连续信号。这里的这里的“连续连续”指函数的定义域指函数的定义域时间是连续的，时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。用用t t表示连续时间变量。表示连续时间变量。值域连值域连续续值域不连续值域不连续l离散时间信号：离散时间信号：仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称仅在一些离散的瞬间才有定义的信号，简称离散信号。离散信号。定义域定义域时间是离散的时间是离散的，它只在，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。如右图的其余时间无定义。如右图的f(t)仅在仅在一些离散时刻一些离散时

10、刻tk(k=0,1,2,)才才有定义，其余时间无定义。有定义，其余时间无定义。离散点间隔离散点间隔Tk=tk+1-tk可以相等也可以相等也可不等。通常取等间隔可不等。通常取等间隔T，离散信，离散信号可表示为号可表示为f(kT)，简写为，简写为f(k)，这种，这种等间隔的离散信号也常称为序列。等间隔的离散信号也常称为序列。其中其中k称为序号。称为序号。上述离散信号可简画为上述离散信号可简画为用表达式可写为用表达式可写为k，k，k,k,k,.k,k,kf其他04130221510211)(或写为或写为f(k)=，0，1，2，-1.5，2，0，1，0，k=0=0通常将对应某序号通常将对应某序号m的序

11、列值称为第的序列值称为第m个样点的个样点的“样值样值”。模拟信号，抽样信号，数字信号数字信号：数字信号：时间和幅值均为离散时间和幅值均为离散 的信号的信号。模拟信号：模拟信号：时间和幅值均为连续时间和幅值均为连续 的信号的信号。抽样信号：抽样信号：时间离散的，幅值时间离散的，幅值 连续的信号连续的信号。量化量化Ot tf抽样抽样连续信号与模拟信号，离散信连续信号与模拟信号，离散信号与数字信号常通用。号与数字信号常通用。3.周期信号和非周期信号周期信号和非周期信号 定义在定义在(-，)区间，每隔一定时间区间，每隔一定时间T(或整数或整数N），），按相同规律重复变化的信号。按相同规律重复变化的信号

12、。连续周期信号连续周期信号f(t)满足满足 f(t)=f(t+mT)，m=0,1,2,离散周期信号离散周期信号f(k)满足满足 f(k)=f(k+mN)，m=0,1,2,满足上述关系的最小满足上述关系的最小T T(或整数或整数N N)称为该信号的称为该信号的周期周期。不具有周期性的信号称为不具有周期性的信号称为非周期信号非周期信号。举例由上面几例可看出由上面几例可看出：连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。是周期序列。两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。序列

13、之和一定是周期序列。例例1 1例例2 2例例3 3连续周期信号示例连续周期信号示例离散周期信号示例离散周期信号示例1离散周期信号示例离散周期信号示例24能量信号与功率信号能量信号与功率信号 将信号将信号f(t)施加于施加于1电阻上，它所消耗的瞬时功率电阻上，它所消耗的瞬时功率为为|f(t)|2，在区间，在区间(,)的能量和平均功率定义为的能量和平均功率定义为（1）信号的能量）信号的能量EttfEd)(2def（2）信号的功率）信号的功率P222defd)(1limTTTttfTP 若信号若信号f(t)的能量有界，即的能量有界，即 E ,则称其为能量有则称其为能量有限信号，简称限信号，简称能量信

14、号能量信号。此时。此时 P=0 若信号若信号f(t)的功率有界，即的功率有界，即 P 0，则将，则将f()右移；否则左移。右移；否则左移。如如t t 1右移右移t t+1左移左移雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。3.信号的展缩(尺度变换）将将 f(t)f(a t)，称为对信号称为对信号f(t)的的尺度变换尺度变换。若若a 1，则波形沿横坐标压缩；若，则波形沿横坐标压缩；若0 a 1，则扩展，则扩展。如如t 2t 压缩压缩t 0.5t 扩展扩展对于离散信号，由于对于离散信号，由于 f(a k)仅在为仅在为a k 为为整数整数时才有意义，时才有意义，进行尺

15、进行尺度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。度变换时可能会使部分信号丢失。因此一般不作波形的尺度变换。4.混合运算举例例例1 1例例3 3平移与反转相结合平移与反转相结合平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。平移、反转、尺度变换相结合，正逆运算。abtafbatftf例例2 2平移与尺度变换相结合平移与尺度变换相结合可以看出：可以看出：l 混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要混合运算时，三种运算的次序可任意。但一定要注意注意一切变换都是相对一切变换都是相对t 而言而言。l 通常，对正向运算，先平移，后反转和展缩不易通常，对正向运算，先平移，后反转和展缩不易出错；对逆运

16、算，反之。出错；对逆运算，反之。三微分和积分Ot tf2 2 Ot1 2 tf 1 2 2 Ot tf2 2 Ot1 tf d2 2 ddd tfttftf积积分分：，微微分分：冲激信号冲激信号平移、展缩、反折相结合平移、展缩、反折相结合举例例例 已知已知f(t)如图所示，画出如图所示，画出 f(-2t-4)。解答解答压缩，得压缩，得f(2t 4)反转，得反转，得f(2t 4)右移右移4，得，得f(t 4)也可以先压缩、再平移、最后反转。也可以先压缩、再平移、最后反转。压缩，得压缩，得f(2t)右移右移2，得，得f(2t 4)反转，得反转，得f(2t 4)若已知若已知f(4 2t)，画出，画出

17、 f(t)。反转，得反转，得f(2t 4)展开，得展开，得f(t 4)左移左移4，得，得f(t)验证：验证：自变量自变量t 自变量自变量-2t-4 函数值函数值t=-2-2t-4=-2，t=-11t=0-2t-4=0，t=-21t=2-2t-4=2，t=-30计算特殊点计算特殊点平移与反转相结合平移与反转相结合举例例例 已知已知f(t)如图所示，画出如图所示，画出 f(2 t)。解答解答 法一法一：先平移先平移f(t)f(t+2)再反转再反转 f(t+2)f(t+2)法二法二：先反转先反转 f(t)f(t)再平移再平移 f(t)f(t+2)左移左移右移右移=f (t 2)平移与展缩相结合平移与

18、展缩相结合举例例例 已知已知f(t)如图所示，画出如图所示，画出 f(3t+5)。解答解答Ot)(tf1 11t)5(tf6 14 5 Ot)53(tf12 34 时移时移 尺度尺度变换变换尺度尺度变换变换时移时移l 阶跃函数阶跃函数l 冲激函数冲激函数是两个典型的奇异函数。是两个典型的奇异函数。l 阶跃序列和单位样值序列阶跃序列和单位样值序列1.4 1.4 阶跃函数和冲激函数阶跃函数和冲激函数 函数本身有不连续点函数本身有不连续点(跳变点跳变点)或其导数与积或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异奇异信号或奇异函数。函数。一、一、单位阶跃函数0,10

19、,210,0)(lim)(deftttttnn下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。选定一个函数序列选定一个函数序列n(t)如图所示。如图所示。1.1.定义定义2.延迟单位阶跃信号延迟单位阶跃信号0 ,10)(0000ttttttt0 ,1 0)(0000ttttttt3.阶跃函数的性质阶跃函数的性质（1）可以方便地表示某些信号）可以方便地表示某些信号 f(t)=2(t)-3(t-1)+(t-2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间）用阶跃函数表示信号的作用区间(a)(b)f(t)f(t)(t)oottot(c)f(t)(t-t1)-(t-t2)t1

20、t2（3）积分）积分)(d)(ttt二二单位冲激函数 单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。作用时间极短一种物理量的理想化模型。l 狄拉克(Dirac)定义定义l 函数序列定义函数序列定义(t t)l 冲激函数与阶跃函数关系冲激函数与阶跃函数关系l 冲激函数的性质冲激函数的性质1.狄拉克(Dirac)定义 1d)(0 0)(tttt 00d)(d)(tttt 函数值只在函数值只在t=0时不为零；时不为零；积分面积为积分面积为1 1；t=0 时，时，为无界函数。，为无界函数。t 2.函数序列定义函数序列定义(t)对

21、对n(t)求导得到如图所示的矩形脉冲求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t)。)(lim)(deftptnn求导求导高度无穷大，宽度无穷小，面积为高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。的对称窄脉冲。3.(t)与与(t)的关系的关系tttpnnd)(d)(求导求导tttd)(d)(ttd)()(求导求导引入冲激函数之后，间断点的导数也存在引入冲激函数之后，间断点的导数也存在f(t)=2(t+1)-2(t-1)f(t)=2(t+1)-2(t-1)求导求导三三 冲激函数的性质冲激函数的性质l 取样性取样性l冲激偶冲激偶 l尺度变换尺度变换l复合函数形式的冲激函数复合函数形式的冲激函数1.取样性(

22、筛选性)()0()()(tftft 对于平移情况：对于平移情况：)(d)()(00tfttftt 如果如果f(t)在在t=0处连续，且处处有界，则有处连续，且处处有界，则有 )0(d)()(fttft)()()()(000tttftttf证明证明举例举例2.冲激偶Ot)(t )1(0 Ot)(t 冲激偶的性质)0(d)()(fttft)0()1(d)()()()(nnnfttft)(d)()(00tfttftt f(t)(t)=f(0)(t)f(0)(t)证明证明 证明证明(n)(t)的定义：的定义：(t)的平移：的平移：tttt d)(4)2(2)2(ddd)()2(0022tttttttt

23、例例3.对(t)的尺度变换)(1|1)()()(taaatnnn taat 1 证明证明 taaat 11推论推论:(1)(|1)(taat)(|1)(00attatat(2t)=0.5(t)()1()()()(ttnnn(2)当当a=1时时所以，所以，(t)=(t)为偶函数，为偶函数，(t)=(t)为奇函数为奇函数举例举例举例已知已知f(t)，画出，画出g(t)=f(t)和和 g(2t)求导，得求导，得g(t)o2tf(t)-24(4)o2tg(t)=f(t)-2-1压缩，得压缩，得g(2t)(2)o1tg(2t)-1-14.复合函数形式的冲激函数复合函数形式的冲激函数 实际中有时会遇到形如

24、实际中有时会遇到形如f(t)的冲激函数，其的冲激函数，其中中f(t)是普通函数。并且是普通函数。并且f(t)=0有有n个互不相等的个互不相等的实根实根 ti(i=1，2，n)ttftftftd)(d)()(dd)(dd)(1)(tfttftf(t2 4)=1(t+2)+(t 2)f(t)t-4-22o1 f(t)2-2tof(t)图示说明：图示说明：例例f(t)=t2 4)2(41)2(41)2(221)2(221)2()2(21)4(dd21422ttttttttttt一般地，一般地，niiitttftf1)()(1)(这这表明表明，f(t)是位于各是位于各ti处，强度为处，强度为 的的n个

25、冲激个冲激函数构成的冲激函数序列。函数构成的冲激函数序列。)(1itf)21(41)21(41)14(2ttt注意注意：如果：如果f(t)=0有重根，有重根，f(t)无意义。无意义。(t 2 4)=1(t+2)+(t 2)#冲激函数的性质总结（1 1）取样性）取样性 )0(d)()(ftttf )()0()()(tfttf （2 2）奇偶性）奇偶性 )()(tt （3 3）比例性）比例性 taat 1)(（4 4）微积分性质）微积分性质tttd)(d)()(d)(tt（5 5）冲激偶）冲激偶 )()(tt 0d)(tt tttt)(d)()()0()()0()()(tftfttf )0(d)(

26、)(ftttf 四.序列序列(k)和和(k)这两个序列是普通序列。这两个序列是普通序列。1.1.单位单位(样值样值)序列序列(k)0,00,1)(defkkk取样性质：取样性质：f(k)(k)=f(0)(k)0()()(fkkfkf(k)(k k0)=f(k0)(k k0)例例?)(kk?)()5(kkk?)(iik定定义义2.单位阶跃序列单位阶跃序列(k)定义定义0,00,1)(defkkko11-1k(k)23(k)与与(k)的关系的关系(k)=(k)(k 1)kiik)()(或或0)()(jjkk(k)=(k)+(k 1)+定义定义冲激函数取样性质证明分分t=0和和t 0 两种情况两种情

27、况讨论讨论 当当t 0 时，时，(t)=0，f(t)(t)=0，(注意：当注意：当t 0 时时)积分结果为积分结果为0 0 当当t=0 时，时，(t)0，f(t)(t)=f(0)(t)，(注意：当注意：当t=0 时时)0000)0(d)()0(d)()0(fttfttf 积积分分为为 )0(d)()(fttft 即即冲激偶积分证明 dttft)()(dtttfttf)()()()()0(f 利用分部积分运算利用分部积分运算冲激偶取样性证明 f(t)(t)=f(t)(t)+f(t)(t)f(t)(t)=f(t)(t)f(t)(t)=f(0)(t)f(0)(t)取样性质举例)(22)()4sin(

28、)()4sin(tttt?d)1()4sin(03ttt?d)()4sin(91ttt?d)(211t?d)()1(12t022其它,011,2tt(t)(e2)()(e2)(e)(edd2222tttttttttt22d)()4sin(ttt冲激信号尺度变换的证明Ot tp 12 2 Ot atp 1a2 a a2,0时时,ttp)()()(1)(taatp 从从 定义看：定义看：)(t p(t)面积为面积为1，强度为强度为1 t p(at)面积为面积为 ，强度为强度为 a1a1 at 冲激信号尺度变换举例例例1?d)2)(5(2ttt54的的波波形形。请请画画出出的的波波形形，已已知知信信

29、号号)()25(tftf 例例2l 系统的定义系统的定义l 系统的分类及性质系统的分类及性质1.5 系统的特性与分类系统的特性与分类一、一、系统的定义 系统：系统：具有特定功能的总体，可以看作信号的变具有特定功能的总体，可以看作信号的变换器、处理器。换器、处理器。电系统是电子元器件的集合体。电系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于整体。电路侧重于局部，系统侧重于整体。电路、系统两词通用。电路、系统两词通用。二二.系统的分类及性质系统的分类及性质 可以从多种角度来观察、分析研究系统的特可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。常用的分类有：征，提出对系统进

30、行分类的方法。常用的分类有：连续系统与离散系统连续系统与离散系统 动态系统与即时系统动态系统与即时系统 单输入单输出系统与多输入多输出系统单输入单输出系统与多输入多输出系统 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 时不变系统与时变系统时不变系统与时变系统 因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 稳定系统与不稳定系统稳定系统与不稳定系统1.连续系统与离散系统连续系统与离散系统 连续连续(时间时间)系统系统：系统的激励和响应均为连续信号。系统的激励和响应均为连续信号。离散离散(时间时间)系统系统：系统的激励和响应均为离散信号。系统的激励和响应均为离散信号。混合系统混合系统：系统的激励和响应一个

31、是连续信号，一个为离散系统的激励和响应一个是连续信号，一个为离散信号。如信号。如A/D，D/A变换器。变换器。2.动态系统与即时系统动态系统与即时系统 动态系统动态系统也称为也称为记忆系统。记忆系统。若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关关，而且与它过去的历史状况有关，则称为则称为动态系统动态系统 或或记忆系统记忆系统。含有记忆元件含有记忆元件(电容、电感等电容、电感等)的系统是动态系统。的系统是动态系统。否则称否则称即时系统即时系统或或无记忆系统无记忆系统。3.单输入单输出系统与多输入多输出系统单输入单输出系统与多输

32、入多输出系统单输入单输出系统：单输入单输出系统：系统的输入、输出信号都只有一个。系统的输入、输出信号都只有一个。多输入多输出系统：多输入多输出系统：系统的输入、输出信号有多个。系统的输入、输出信号有多个。4.线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统 线性系统线性系统：指指满足线性性质的系统。满足线性性质的系统。线性性质：线性性质：齐次性齐次性和和可加性可加性可加性：可加性：齐次性齐次性：f()y()y()=T f()f()y()a f()a y()f1()y1()f2()y2()f1()+f2()y1()+y2()af1()+bf2()ay1()+by2()综合综合，线性性质线性性质：动态系统

33、是线性系统的条件动态系统是线性系统的条件 动态系统不仅与激励动态系统不仅与激励 f()有关，而且与系统的有关，而且与系统的初始状态初始状态x(0)有关。有关。初始状态也称初始状态也称“内部激励内部激励”。可分解性可分解性：y()=yzs()+yzi()零状态线性零状态线性：Taf1(t)+bf2(t),0=aT f1(),0+bT f2(),0 y()=T f(),x(0)，yzs()=T f(),0，yzi()=T 0，x(0)零输入线性零输入线性：T0,ax1(0)+bx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0)举例举例1 1举例举例2 25.时不变系统与时变系统时不变系统与时变系统

34、时不变系统时不变系统：指指满足时不变性质的系统。满足时不变性质的系统。时不变性时不变性（或移位不变性）（或移位不变性）：f(t)yzs(t)f(t-td)yzs(t-td)举举例例LTI连续系统的微分特性和积分特性连续系统的微分特性和积分特性 本课程重点讨论线性时不变系统本课程重点讨论线性时不变系统(Linear Time-Invariant)，简称，简称LTI系统。系统。微分特性微分特性：若若 f(t)yzs(t)，则则 f(t)y zs(t)积分特性积分特性：若若 f(t)yzs(t)，则则tzstxxyxxfd)(d)(证证明明6.因果系统与非因果系统因果系统与非因果系统 因果系统：因果

35、系统：指零状态响应不会出现在激励之前的系统。指零状态响应不会出现在激励之前的系统。即对因果系统，即对因果系统，当当t t0，f(t)=0时，有时，有t t0，yzs(t)=0。输出不超前于输入。输出不超前于输入。判断方法：判断方法：举举例例综合举例综合举例 实际的物理可实现系统均为因果系统 非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。号的压缩、扩展，语音信号处理等。若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。等为变量的物理系统中研究因果性显

36、得不很重要。因果信号)()()(ttftf0)(,0tft相当于相当于可表示为：可表示为：t=0接入系统的信号称为因果信号。接入系统的信号称为因果信号。7.稳定系统与不稳定系统稳定系统与不稳定系统 一个系统，若对有界的激励一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态响所产生的零状态响应应yzs(.)也是有界时，则称该系统为也是有界时，则称该系统为有界输入有界输出有界输入有界输出稳定稳定，简称，简称稳定稳定。即。即 若若f(.)，其，其yzs(.)则称则称系统是稳定的。系统是稳定的。如如yzs(k)=f(k)+f(k-1)是稳定系统；而是稳定系统；而tzsxxftyd)()(是不稳定系统。是不

37、稳定系统。因为，当因为，当f(t)=(t)有界，有界，tttxx)(d)(当当t 时，它也时，它也，无界。，无界。LTI系统微分特性证明 f(t)yzs(t)f(t-t)yzs(t-t)根据时不变性质，有根据时不变性质，有利用线性性质得利用线性性质得对零状态系统对零状态系统tttftf)()(tttytyzszs)()(t 0 得得ttyttfzsd)(dd)(d判断时不变系统举例例：判断下列系统是否为时不变系统？例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yzs(k)=f(k)f(k 1)（2）yzs(t)=t f(t)（3）y zs(t)=f(t)解解(1)令令g(k)=f(k kd)T0，g

38、(k)=g(k)g(k 1)=f(k kd)f(kkd 1)而而 yzs(k kd)=f(k kd)f(kkd 1)显然显然 T0，f(k kd)=yzs(k kd)故该系统是时不变的。故该系统是时不变的。(2)令令g(t)=f(t td)，T0，g(t)=t g(t)=t f(t td)而而 yzs(t td)=(t td)f(t td)显然显然T0，f(t td)yzs(t td)故该系统为时变系统。故该系统为时变系统。(3)令令g(t)=f(t td),T0，g(t)=g(t)=f(t td)而而 yzs(t td)=f(t td)，显然，显然 T0，f(t td)yzs(t td)故该

39、系统为时变系统。故该系统为时变系统。直观判断方法：直观判断方法：若若f()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。系统为时变系统。判断线性系统举例例例1：判断下列系统是否为线性系统？：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t)=3 x(0)+2 f(t)+x(0)f(t)+1 （2）y(t)=2 x(0)+|f(t)|（3）y(t)=x2(0)+2 f(t)解解：（1）yzs(t)=2 f(t)+1，yzi(t)=3 x(0)+1显然，显然，y(t)yzs(t)yzi(t)不满足可分解性，故为非线性不满足可分解性，故为非线性（2）yzs(t)=|

40、f(t)|，yzi(t)=2 x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)满足可分解性；满足可分解性；由于由于 Ta f(t),0=|af(t)|a yzs(t)不满足零状态线性。不满足零状态线性。故为非线性系统。故为非线性系统。（3）yzi(t)=x2(0)，T 0,a x(0)=a x(0)2 a yzi(t)不满不满足零输入线性。故为非线性系统。足零输入线性。故为非线性系统。例例2：判断下列系统是否为线性系统？：判断下列系统是否为线性系统？xxfxxtyttd)()sin()0(e)(0解：解：xxfxtyxtytzstzid)()sin()(),0(e)(0y(t)=yzs(t)+yz

41、i(t)，满足可分解性满足可分解性；Ta f1(t)+b f2(t),0 xxfxxxfxxxfxfxtttd)()sin(bd)()sin(ad)(b)()asin(0201021=aTf1(t),0+bT f2(t),0，满足零状态线性满足零状态线性；T0,ax1(0)+bx2(0)=e-tax1(0)+bx2(0)=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT0,x1(0)+bT0,x2(0),满足零输入线性满足零输入线性；所以，所以，该系统为线性系统该系统为线性系统。微分方程描述系统的线性判断判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?0 )(

42、5)(10d)(dttftytty分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有齐次性齐次性和和可加性可加性。可以证明：。可以证明：所以所以此系统为非线性系统。此系统为非线性系统。请看下面证明过程请看下面证明过程系统不满足均匀性系统不满足均匀性系统不具有叠加性系统不具有叠加性证明齐次性设信号设信号f(t)作用于系统，响应为作用于系统，响应为y(t)1(0 )(5)(10d)(d ttAetArttAr原方程两端乘原方程两端乘A：)2(0 )(5)(10d)(d ttAetrttrA(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足齐次性两式矛盾。故此系统不满足齐次

43、性当当Af(t)作用于系统时，作用于系统时，若此系统具有线性若此系统具有线性，则，则证明可加性 )4(0510dd)3(0510dd222111ttftyttyttftytty )5(0510dd212121ttftftytytytyt )6(01010dd212121ttftftytytytyt(5)、(6)式矛盾，系统不具有可加性式矛盾，系统不具有可加性假设有两个输入信号假设有两个输入信号 分别激励系统，则由分别激励系统，则由所给微分方程式分别有：所给微分方程式分别有：)()(21tftf及当当 同时作用于系统时，若该系统为线性系统，同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有应有)()(2

44、1tftf(3)+(4)得得因果系统判断举例如下列系统均为如下列系统均为因果系统：因果系统：tzsxxftyd)()(yzs(t)=3f(t 1)而下列系统为而下列系统为非因果系统非因果系统：(1)yzs(t)=2f(t+1)(2)yzs(t)=f(2t)因为，令因为，令t=1时，有时，有yzs(1)=2f(2)因为，若因为，若f(t)=0，t t0，有，有yzs(t)=f(2t)=0,t 0；当当x(0-)=2，输入信号，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应时，全响应 y2(t)=2e t+3 cos(t)，t0；求输入求输入f3(t)=+2f1(t-1)时，系统的零状态响应时，系统的

45、零状态响应y3f(t)。ttfd)(d1解解 设当设当x(0)=1，输入因果信号，输入因果信号f1(t)时，系统的零输时，系统的零输入响应和零状态响应分别为入响应和零状态响应分别为y1zi(t)、y1zs(t)。当。当x(0-)=2，输入信号输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态时，系统的零输入响应和零状态响应分别为响应分别为y2zi(t)、y2zs(t)。由题中条件，有由题中条件，有y1(t)=y1zi(t)+y1zs(t)=e t+cos(t)，t0 （1）y2(t)=y2zi(t)+y2zs(t)=2e t+3 cos(t)，t0 （2）根据线性系统的齐次性，根据线

46、性系统的齐次性，y2zi(t)=2y1zi(t)，y2zs(t)=3y1zs(t)，代入式（，代入式（2）得）得 y2(t)=2y1zi(t)+3 y1zs(t)=2e t+3 cos(t)，t0 （3）式式(3)2式式(1)，得，得 y1zs(t)=4e-t+cos(t)，t0由于由于y1zs(t)是因果系统对因果输入信号是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响的零状态响应，故当应，故当t0，y1zs(t)=0；因此；因此y1zs(t)可改写成可改写成 y1zs(t)=4e-t+cos(t)(t)(4)f1(t)y1zs(t)=4e-t+cos(t)(t)根据根据LTI系统的微分特性系统

47、的微分特性ttyttfzsd)(dd)(d11=3(t)+4e-t sin(t)(t)根据根据LTI系统的时不变特性系统的时不变特性f1(t1)y1zs(t 1)=4e(t1)+cos(t1)(t1)由线性性质，得：当输入由线性性质，得：当输入f3(t)=+2f1(t1)，ttfd)(d1y3zs(t)=+2y1(t1)=3(t)+4e tsin(t)(t)+24e(t1)+cos(t1)(t1)ttyd)(d1l 系统的系统的数学模型数学模型：系统物理特性的数学抽象。系统物理特性的数学抽象。l 系统的系统的框图描述框图描述：形象地表示其功能。形象地表示其功能。l 系统分析方法概述系统分析方法

48、概述1.6 系统的描述和分析方法系统的描述和分析方法一、一、系统的数学模型 连续系统解析描述连续系统解析描述：微分方程微分方程 离散系统解析描述离散系统解析描述：差分方程差分方程1.连续系统的解析描述连续系统的解析描述 图示图示RLC电路，以电路，以uS(t)作激励，以作激励，以uC(t)作为响作为响应，由应，由KVL和和VAR列方程，并整理得列方程，并整理得)(0)0(dddd22CCSCCCuuuutuRCtuLC，二阶常系数线性微分方程。二阶常系数线性微分方程。)()(d)(dd)(d01222tftyattyattya抽去具有的物理含义，微分方程写成抽去具有的物理含义，微分方程写成这个

49、方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。这个方程也可以描述下面的一个二阶机械减振系统。机械减振系统机械减振系统其中，其中，k为弹簧常数，为弹簧常数，M为物体质为物体质量，量，C为减振液体的阻尼系数，为减振液体的阻尼系数，x为物体偏离其平衡位置的位移，为物体偏离其平衡位置的位移，f(t)为初始外力。其运动方程为为初始外力。其运动方程为)()(d)(dd)(d22tftkxttxCttxM 能用相同方程描述的系统称能用相同方程描述的系统称相似系统。相似系统。2.离散系统的解析描述离散系统的解析描述例：例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为元元/元，求

50、第元，求第k个月初存折上的款数。个月初存折上的款数。设第设第k个月初的款数为个月初的款数为y(k),这个月初的存款为这个月初的存款为f(k),上个上个月初的款数为月初的款数为y(k-1)，利息为，利息为y(k-1),则则 y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(k)即即 y(k)-(1+)y(k-1)=f(k)若设开始存款月为若设开始存款月为k=0，则有，则有y(0)=f(0)。上述方程就称为上述方程就称为y(k)与与f(k)之间所满足的差分方程。之间所满足的差分方程。所谓所谓差分方程差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序