2020年北京中考数学复习课件§4.2 三角形及其全等.pptx

1、1.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长为1.2 km,则 M,C两点间的距离为 ( ) A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km,北京中考题组,答案 D ACBC,ACB=90,又M是AB的中点, MC= AB=AM=1.2 km.故选D.,2.(2019北京,10,2分)如图,已知ABC,通过测量、计算得ABC的面积约为 cm2.(结果保留一位小数),答案 2.6,解析 过点C作CD垂直AB于D,经过测量可知AB2.6 cm,CD2 cm,所以可求得ABC的面积约为2.6 cm2.,3.(201

2、9北京,12,2分)如图所示的网格是正方形网格,则PAB+PBA= (点A,B,P是网格线交点).,答案 45,解析 如图,延长AP到C,连接BC.易证PBC是等腰直角三角形.CPB=45.PAB+PBA=45.,4.(2016北京,14,3分)如图,小军、小珠之间的距离为2.7 m,他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m,1.5 m.已 知小军、小珠的身高分别为1.8 m,1.5 m,则路灯的高为 m.,答案 3,解析 如图,由题意可知,B=C=45,ADBC,BC=2AD=BF+FH+HC=1.8+2.7+1.5=6,AD=3.即路灯的 高为3 m.,5.(2018北京,17,5分)下面

3、是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程. 已知:直线l及直线l外一点P. 求作:直线PQ,使得PQl. 作法:如图,在直线l上取一点A,作射线PA,以点A为圆心,AP长为半径画弧,交PA的延长线于点B; 在直线l上取一点C(不与点A重合),作射线BC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交BC的延长线于点Q; 作直线PQ. 所以直线PQ就是所求作的直线. 根据小东设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:AB= ,CB= , PQl( )(填推理的依据).,解析 (1)补全图形,如图所示: (2)AP;CQ;三角形的

4、中位线平行于三角形的第三边.,6.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D. 求证:AD=BC.,证明 AB=AC,A=36,ABC=C=72. BD平分ABC,ABD=36,ABD=A,AD=BD. BDC=A+ABD=72,BDC=C, BD=BC,AD=BC.,解析 SAEF;SFMC;SANF;SAEF;SFGC;SFMC.,8.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E.求证:CBE=BAD.,证明 AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,BAD=CAD. BEAC,BEC

5、=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD.CBE=BAD.,9.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连接BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的长.,解析 (1)证明:在ABC中,ABC=90,M为AC的中点, BM= AC.N为CD的中点, MN= AD.AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC平分BAD,BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN

6、=BMC+CMN=90.AC=AD=2,BM=MN=1. 在RtBMN中,BN= = .,思路分析 (1)本题要考虑中点的作用,中点+直角三角形要想到斜边中线等于斜边一半;双中点要想到中位 线定理.(2)由(1)证明BMN=90,再应用勾股定理计算.,解题关键 解决本题的关键是要明确中点和特殊角的作用,同时要把已知条件放在三角形中来解决.,考点一 三角形的相关概念与性质,教师专用题组,1.(2019内蒙古包头,7,3分)如图,在RtABC中,B=90,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC于 点D、E,再分别以点D、E为圆心,大于 DE的长为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC

7、于点G,若BG= 1,AC=4,则ACG的面积是 ( ) A.1 B. C.2 D.,答案 C 由作图可知AF是BAC的平分线,B=90,BG=1,点G到AC的距离等于1,ACG的面积是 14=2.故选C.,思路分析 先判断AF是BAC的平分线,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求点G到AC的距 离,最后根据三角形面积公式求解即可.,2.(2019河南,9,3分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,D=90,AD=4,BC=3,分别以点A、C为圆心,大于 AC 长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为 ( ) A.2 B.4 C.

8、3 D.,答案 A 连接FC,由作图方法及点O是AC的中点可知,BF垂直平分AC,AF=CF,AB=CB,易得1=2, ADBC,2=3,1=3,AB=AF,BC=CF=AF=3,FD=AD-AF=1.在RtDCF中,由勾股定理得 CD= =2 ,故选A.,3.(2019贵州贵阳,9,3分)如图,在ABC中,AB=AC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交AB于点B和点D,再分别 以点B,D为圆心,大于 BD长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线CM交AB于点E,若AE=2,BE=1,则EC的长度 是 ( ) A.2 B.3 C. D.,答案 D 由作图叙述可知CEAB,AE=2,BE=1,AB=

9、AC=3,在RtACE中,CE= = ,故选D.,4.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD= AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为 ( ) A.17.5 B.12.5 C.12 D.10,答案 D AB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE, AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.,5.(2018贵州贵阳,2,3分)如图,在ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是ABC的中线,则该线 段是 ( ) A.线段DE

10、 B.线段BE C.线段EF D.线段FG,答案 B 连接三角形一个顶点和它对边中点,所得的线段叫做三角形这条边上的中线,从图形中看出,线 段DE、EF、FG都不经过ABC的顶点,仅有线段BE经过ABC的顶点B,所以线段BE是ABC的中线,故 选B.,6.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60, C=25,则BAD为 ( ) A.50 B.70 C.75 D.80,答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+25) =130.因为ADC=B+BAD,所以B

11、AD=ADC-B=130-60=70,故选B.,7.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40,C =36,则DAC的度数是 ( ) A.70 B.44 C.34 D.24,答案 C 由作图知BA=BD,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,故 选C.,8.(2017河北,11,2分)如图是边长为10 cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪 线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是 ( ),答案 A 由勾股定理得正方形的对角线的长是10 ,因为10 15,所以正方形内部

12、的每一个点到正方 形的顶点的距离都小于15,故选A.,9.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个 顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 D 如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形

13、; 如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形.故选D.,10.(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边 三角形,则满足上述条件的PMN有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上,答案 D 如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三角形.在OC, DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,则PMN为等边 三角形,因为满足CM

14、=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形有无数个.,思路分析 要寻找等边三角形,可以利用圆规得到等腰三角形,根据有一个角为60的等腰三角形为等边三 角形就可以判定其为等边三角形.,解题关键 解决本题的关键是要选择恰当判断等边三角形的方法,另外,本题还可以借助对称性发现等边 三角形一定有无数多个.,11.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使ABC为等腰三角 形,则满足条件的点C的个数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 A 如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除外),即O

15、(0,0),C0 (0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两 个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有两个交点,均符合题意.所以满足条件的 点C有5个,故选A.,12.(2016河北,10,3分)如图,已知钝角ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹. 步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧; 步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧,交弧于点D; 步骤3:连接AD,交BC延长线于点H. 下列叙述正确的是 ( ) A.BH垂直平分线段AD B.AC平分BAD C.SABC=BCAH D.AB=AD,答案 A

16、 由作图可知点B、C到线段AD的两个端点的距离分别相等,点B、C都在线段AD的垂直平分线 上,即直线BC垂直平分线段AD.故选A.,13.(2016安徽,10,4分)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满足PAB= PBC.则线段CP长的最小值为 ( ) A. B.2 C. D.,答案 B PAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中点为O,则P在 以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,OB= AB=3,BC=4,OC= =5,又OP= AB =3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,14

17、.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在ABC中,B、C的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42,A=60,则 BFC= ( ) A.118 B.119 C.120 D.121,答案 C 在ABC中,ACB=180-A-ABC=180-60-42=78. BE、CD分别平分ABC、ACB, FBC= ABC=21,FCB= ACB=39, BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120.故选C.,评析 本题主要考查三角形内角和定理,角平分线的概念,属容易题.,答案 B 点M,N分别为PA,PB的中点,无论点P怎样移动,总有MN= AB,直线l与直线MN的距离及直线 MN,AB之间

18、的距离不变,所以中的值不变.随着点P的移动,点P与点A,B的距离及APB的大小发生变 化,故选B.,16.(2015广西南宁,7,3分)如图,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,则C的度数为 ( ) A.35 B.40 C.45 D.50,答案 A AB=AD,ADB=B=70,AD=DC,C=DAC.ADB是ADC的外角,C= ADB =35.故选A.,17.(2019辽宁大连,13,3分)如图,ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长为 .,答案 2,解析 ABC是等边三角形,AB=2, BC=CA=AB=2,ABC=BCA=BAC=60. CA

19、=CD=2,CAD=D,BD=CB+CD=4, ACB=CAD+D,2D=ACB=60, D=60 =30,BAD=180-B-D=180-60-30=90.在RtABD中,AD= = =2 , 故答案为2 .,18.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”.已 知点A的坐标为(5,0),点B在x轴的上方,OAB的面积为 ,则OAB内部(不含边界)的整点的个数为 .,答案 4或5或6,解析 A(5,0),SOAB= ,点B在x轴的上方,点B的纵坐标为3.设边OB,AB分别与直线y=1交于点E,F,与直 线y=2交于点C,D,则BC

20、=CE=EO,CDEFOA,CD= OA= ,EF= OA= ,线段CD可以覆盖1个或2个 整点,线段EF可覆盖3个或4个整点,OAB内部(不含边界)的整点的个数为4或5或6.,19.(2019河北,19,4分)勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如图(单 位:km).笔直铁路经过A,B两地. (1)A,B间的距离为 km; (2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C的距离相等,则C,D间的距离为 km.,答案 (1)20 (2)13,解析 (1)由点A和点B的坐标可知,ABx轴,A,B间的距离=12-(-8)=20 k

21、m. (2)如图,由点C的坐标可知点C在y轴的负半轴上且OC=17 km,设y轴与直线AB的交点为E,易得AE=12 km, OE=1 km,所以CE=18 km,设CD=AD=x km,则DE=(18-x)km,在RtADE中,AD2=DE2+AE2,即x2=(18-x)2+122,解 得x=13,所以C,D间的距离为13 km.,思路分析 (1)根据点A与点B的坐标特点求出A,B间的距离;(2)首先确定直角坐标系,设y轴与直线AB的交点 为E,易得AE=12 km,CE=18 km,设CD=AD=x km,根据勾股定理列出含x的方程,求解即可.,解题关键 正确画出平面直角坐标系,准确运用勾

22、股定理得出方程是解决本题的关键.,20.(2019黑龙江齐齐哈尔,16,3分)等腰ABC中,BDAC,垂足为点D,且BD= AC,则等腰ABC底角的度数 为 .,答案 15或45或75,A=C= (180-90)=45. 如图,当AB=AC且A为锐角时, BD= AC= AB,A=30,ABC=ACB=75. 如图,当AB=AC且BAC为钝角时, BD= AC= AB,BAD=30, ABC=ACB= 30=15. 同理,当BC=AC时,可求得CBA=CAB=75或15. 故答案为15或45或75.,方法点拨 等腰三角形中没有指明顶角、底角或者没有指明底边、腰的都需要分类讨论.,21.(201

23、8云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 .,答案 1或9,解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,AB= ,AD=3,BD= =5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD= =4.BC=BD+CD=9. BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1. 综上,BC的长为1或9.,思路分析 根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易错警示 本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.,22.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在ABC中

24、,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一点.若DE平分 ABC的周长,则DE的长是 .,答案,解析 延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,D是AB的中点,AD=DB.DE平分ABC的周长,AC+CE+AD =DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位线,DEAF,ACB=60,ACF=12 0,又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF,则AH= AC, 所以AF= AC= ,DE= AF= .,思路分析 延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证明DE为ABF的中位线,由已知条件求得AF的长,从 而求得DE的长.,解题技巧 对于求线

25、段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,可以考虑运用中位线性质来解答.,23.(2017陕西,12A,3分)如图,在ABC中,BD和CE是ABC的两条角平分线.若A=52,则1+2的度数为 .,答案 64,解析 BD平分ABC,CE平分ACB,1= ABC,2= ACB,又ABC+ACB=180-A, 21+22=180-A=128,1+2=64.,24.(2017河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA, CB,分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200 m,则A,B间的距离为 m.,答案 100,解析 AM=A

26、C,BN=BC,AB是CMN的中位线, AB= MN,MN=200 m,AB=100 m.,25.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC= +1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿MN 所在的直线折叠B,使点B的对应点B 落在边AC上.若MBC为直角三角形,则BM的长为 .,答案 或1,26.(2019内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. (1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出A与B的和与C的大小关系; (2)求证:ABC的内角和等于180; (3)若 = ,求证:ABC是直角三角形.,考点二 三

27、角形全等,1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是 ( ) A.A=D B.ACB=DBC C.AC=DB D.AB=DC,答案 C 根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全等的AAS, ASA,SAS定理,能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符合全等三角形的判定定 理,不能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选C.,2.(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的点A与PRQ 的顶点R重合,调整AB和AD,使

28、它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE,AE就是PRQ的平分线. 此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ABCADC,这样就有QAE=PAE.则说明这两个三角 形全等的依据是 ( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS,答案 D 因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABCADC(SSS),故选D.,3.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及其 中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.其 中正确的命题的序号为 .,答案 ,解析 等腰三角

29、形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等腰 三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由SAS 证得原两三角形全等,命题正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不能证得 两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是.,4.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=CAE,若BD=9,则CE的长为 .,答案 9,解析 AB=AC,B=C. 又BAD=CAE,BADCAE(ASA),CE=BD=9.,5.(2017新疆,15,5分)如图,在

30、四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对角线AC,BD相交于点O.下列结论中: ABC=ADC; AC与BD互相平分; AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角; 四边形ABCD的面积S= ACBD. 正确的是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 在ABC和ADC中, ABCADC(SSS),ABC=ADC,正确. ABCADC,BAC=DAC, 在ABO和ADO中, ABOADO.同理,CBOCDO. OB=OD,AOD=AOB=BOC=DOC=90,ACBD,AO与OC不一定相等,不正确. ABCADC,BAC=DAC,ACB=ACD,ABD和CBD不一定相等,不正确. AC

31、BD, 四边形ABCD的面积S=SABD+SBCD= BDAO+ BDCO= BD(AO+CO)= ACBD,正确.,解题关键 掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.,6.(2019辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:AF=DE.,证明 BE=CF,BE+EF=CF+EF,BF=CE. 在ABF和DCE中, ABFDCE(SAS),AF=DE.,7.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且DF=BE.求证:AF=CE.,证明 本小题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质等基础知识.考查推理能力,满分8分.

32、 四边形ABCD是矩形,D=B=90,AD=CB. 在ADF和CBE中, ADFCBE,AF=CE.,8.(2019河南,17(1),5分)如图,在ABC中,BA=BC,ABC=90.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是 上 不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.求证:ADFBDG.,证明 BA=BC,ABC=90,CAB=C=45. AB为半圆O的直径,ADF=BDG=90. DBA=DAB=45,AD=BD. (3分) DAF和DBG都是 所对的圆周角, DAF=DBG.ADFBDG. (5分),思路分析 (1)根据SAS可证明ABCADE,得出

33、BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易得PD=6-x, 根据x的取值判断当AP最短(ADBC)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易知AIC=90+ APC,可得 AIC的大小取决于APC的大小.根据30APC120进而确定105AIC150,所以m=105,n=150.,10.(2018云南昆明,15,6分)如图,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求证:BC=DE.,11.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交于 点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.,证明 ABCD,A=D.

34、ECBF,BHA=CGD. (2分) AB=CD,ABHDCG,AH=DG,AG=DH. (5分),思路分析 首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABHDCG,最后根据全 等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果.,归纳总结 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根据已知条件恰当选择判定定理. 当已知两边对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.当已知两角对应相等时可考虑证夹边相等或 一角对边相等.当已知角及邻边对应相等时可选用SAS、ASA或AAS.,12.(2018吉林,16,5分)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=

35、CF.求证:ABEBCF.,证明 在正方形ABCD中, AB=BC,ABC=C=90. (2分) 又BE=CF, (3分) ABEBCF. (5分),13.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接MP, 并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=. (1)求证:APMBPN; (2)当MN=2BN时,求的度数; (3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.,解析 (1)证明:P为AB中点,PA=PB. 又A=B,MPA=NPB,APMBPN. (2)由(1)得PM=PN,MN=2PN, MN=2BN,PN=B

36、N,=B=50. (3)4090. 详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形,BPN和BNP都为锐角,又B=50, 40BPN90,即4090.,思路分析 (1)根据ASA可证明:APMBPN; (2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果; (3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围.,14.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、 BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=B

37、D; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.,图2,图1,解析 (1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE,ACEBCD,AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM,AOBDOE,NCBMCE.,15.(2016河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB=DE,AC=DF, BF=EC. (1)求证:ABCDEF; (2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.,解析 (1)证明

38、:BF=EC,BF+FC=EC+CF,即BC=EF. (3分) 又AB=DE,AC=DF,ABCDEF. (5分) (2)ABDE,ACDF. (7分) 理由:ABCDEF,ABC=DEF,ACB=DFE.ABDE,ACDF. (9分),考点一 三角形的相关概念与性质,1.(2018北京门头沟一模,1)如图所示,有一条线段是ABC(ABAC)的中线,该线段是 ( ) A.线段GH B.线段AD C.线段AE D.线段AF,答案 B 通过观察可知,点D为线段BC的中点,则线段AD符合题意.故选B.,2.(2019北京西城一模,9)如图,在线段AD,AE,AF中,ABC的高是线段 .,答案 AF,

39、解析 因为AFBC,所以ABC的高是线段AF.,3.(2019北京密云一模,9)如图所示的网格是正方形网格,则线段AB和CD的长度关系为:AB CD(填 “”“”或“=”).,答案 ,解析 设网格小正方形的边长为1,由勾股定理可得,AB= ,CD= , ,即ABCD.,4.(2017北京丰台一模,14)如图,小量角器的0刻度线在大量角器的0刻度线上,且小量角器的中心在大量角 器的外缘边上.如果它们外缘边上的公共点P在大量角器上对应的度数为40,那么在小量角器上对应的度 数为 .(只考虑小于90的角度),答案 70,解析 由题意可知,点P和两个量角器的中心组成一个等腰三角形,所以小量角器上对应的

40、度数为 (180-40)2=70.,5.(2018北京海淀一模,19)如图,ABC中,ACB=90,D为AB的中点,连接CD,过点B作CD的平行线EF,求证: BC平分ABF.,证明 ACB=90,D为AB的中点, CD= AB=BD,ABC=DCB. DCEF,CBF=DCB, CBF=ABC,BC平分ABF.,6.(2018北京朝阳一模,19)如图,在ACB中,AC=BC,AD为ACB的高线,CE为ACB的中线. 求证:DAB=ACE.,证明 AC=BC,CE为ACB的中线, CAB=B,CEAB,CAB+ACE=90, B+ACE=90.AD为ACB的高线,D=90, DAB+B=90,

41、DAB=ACE.,7.(2018北京平谷一模,19)如图,在ABC中,AB=AC,点D是BC边上一点,EF垂直平分CD,交AC于点E,交BC于 点F,连接DE,求证:DEAB.,证明 AB=AC,B=C.EF垂直平分CD, ED=EC,EDC=C,EDC=B,DEAB.,8.(2017北京西城一模,20)如图,在ABC中,BC的垂直平分线交BC于点D,交AB的延长线于点E,连接CE. 求证:BCE=A+ACB.,证明 DE垂直平分BC,BE=CE.BCE=CBE. CBE=A+ACB,BCE=A+ACB.,9.(2017北京朝阳二模,20)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,过点

42、C作CEAB交AD的延长线于点 E.求证:CE=AB.,证明 AB=AC,AD是BC边上的高,AD也是BAC的平分线,BAE=CAE. CEAB,E=BAE,E=CAE,CE=AC. AB=AC,CE=AB.,考点二 全等三角形,1.(2019北京平谷一模,12)如图,在ABC中,射线AD交BC于点D,BEAD于E,CFAD于F,请补充一个条件, 使BEDCFD,你补充的条件是 (填出一个即可).,答案 答案不唯一,如BD=DC,解析 由已知条件可知BDE=CDF,BED=CFD=90,所以只需要添加一对边相等的条件,如BD=CD, 答案不唯一.,2.(2018北京丰台二模,19)如图,E,C

43、是线段BF上的两点,BE=FC,ABDE,A=D,AC=6,求DF的长.,解析 ABDE,ABC=DEF. BE=FC,BE+EC=FC+EC,BC=EF. 又A=D,ABCDEF,AC=DF. 又AC=6,DF=6.,3.(2018北京丰台一模,19)如图,在ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,DEAB于点E,DFAC于点F.求证:DE =DF.,证明 连接AD.AB=AC,D是BC边的中点, ADBC,BD=CD,ADB=ADC=90, 又AD=AD,ABDACD, BAD=CAD,即AD为BAC的平分线. DEAB于点E,DFAC于点F,DE=DF.,4.(2017北京海淀一模,19

44、)如图,在ABC中,D,E是BC边上两点,AD=AE,BAD=CAE. 求证:AB=AC.,5.(2017北京海淀二模,19)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD.请你添加一条线把它分成两个全等的三 角形,并给出证明.,解析 连接AC,则ABCADC. 证明如下: 在ABC与ADC中, ABCADC.,一、选择题(每小题2分,共6分),30分钟 40分,1.(2019北京门头沟一模,4)如图,ABC为等边三角形,如果沿图中虚线剪去B,那么1+2等于 ( ) A.120 B.135 C.240 D.315,答案 C 如图,3+4=180-B=120.1+3=180,2+4=180,1

45、+2=360-120=240.故选C.,2.(2018北京海淀一模,1)用三角板作ABC的边BC上的高,下列三角板的摆放位置正确的是 ( ),答案 A 由高线的定义可知选项A符合题意.故选A.,3.(2017北京石景山一模,9)用尺规作图法作已知角AOB的平分线的步骤如下: 以点O为圆心,任意长为半径作弧,交OB于点D,交OA于点E; 分别以点D,E为圆心,以大于 DE的长为半径作弧,两弧在AOB的内部相交于点C; 作射线OC,则射线OC为AOB的平分线. 由上述作法可得OCDOCE的依据是 ( ) A.SAS B.AAS C.ASA D.SSS,答案 D 由作图可知,OE=OD,EC=DC,OC=OC,OCDOCE(SSS).故选D.,解题关键 解决本题的关键是要明确使用圆规的目的,同时要掌握全等三角形的判定方法.,二、填空题(每小题2分,共6分) 4.(2019北京顺义一模,14)如图,DE为ABC的中位线,点F在