2020年安徽中考数学复习课件§4.2 三角形及其全等.pptx

1、1.(2015安徽,8,4分)在四边形ABCD中,A=B=C,点E在边AB上,AED=60,则一定有 ( ) A.ADE=20 B.ADE=30 C.ADE= ADC D.ADE= ADC,A组 安徽中考题组,答案 D 由三角形内角和等于180,AED=60,可得ADE=120-A,由四边形内角和为360,A=B= C,得ADC=360-3A,所以ADE= ADC,故选D.,思路分析 由三角形内角和为180,AED=60可得ADE=120-A,再由四边形内角和为360,A=B=C可得ADC=360-3A,从而得到ADE与ADC的关系.,解题关键 由三角形内角和为180与四边形内角和为360找出

2、ADE和ADC分别与A之间的关系是 解题的关键.,2.(2011安徽,6,4分)如图,D是ABC内一点,BDCD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、 CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是 ( ) A.7 B.9 C.10 D.11,答案 D 由题意可得BC= =5,EF=HG= BC= ,EH=FG= AD=3,所以四边形EFGH的周长是 11,故选D.,3.(2014安徽,23,14分)如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上一动点,过P作PMAB交AF于M,作PN CD交DE于N. (1)MPN= ; 求证:PM+PN=3a; (2)如图2,点

3、O是AD的中点,连接OM、ON.求证:OM=ON; (3)如图3,点O是AD的中点,OG平分MON,判断四边形OMGN是不是特殊四边形,并说明理由. 图1 图2 图3,解析 (1)60. (2分) 证明:如图a,连接BE交MP于H点. 在正六边形ABCDEF中,PNCD,又BECDAF,所以BEPNAF. 又PMAB,所以四边形AMHB、四边形HENP为平行四边形,BPH为等边三角形. 所以PM+PN=MH+HP+PN=AB+BH+HE=AB+BE=3a. (5分) 图a (2)证明:如图b,连接BE,由(1)知AM=EN. 又AO=EO,MAO=NEO=60,所以MAONEO.所以OM=ON

4、. (9分) 图b (3)四边形OMGN是菱形.理由如下: 如图c,连接OE、OF,由(2)知MOA=NOE.,图c,因为AOE=120,所以MON=AOE-MOA+NOE=120. (11分) 由于OG平分MON,所以MOG=60, 又FOA=60,所以MOA=GOF. 又AO=FO,MAO=GFO=60, 所以MAOGFO.所以MO=GO. 又MOG=60,所以MGO为等边三角形. 同理可证NGO为等边三角形,所以四边形OMGN为菱形. (14分),思路分析 对于(1)中的,连接BE交MP于H点,先证BPH为等边三角形,然后证明PM+PN=AB+BE即可;对 于(2),连接BE,则BE过O

5、点,只需证明MAONEO即可;对于(3),连接OE、OF,由(2)知MOA=NOE,只 需证明MAOGFO即可得MO=GO,又由MOG=60,得MGO为等边三角形,同理可证NGO为等边 三角形,问题得解.,评析 本题是压轴题,综合性较强,每个小问都需作出辅助线,然后利用数形结合法、转化思想进行求解,如 (1)中的,将证明PM+PN=3a转化为AB+BE=3a,(3)中将问题转化为证明MGO与NGO都为等边三角形, 对学生的思维能力要求较高.,考点一 三角形的相关概念,B组 20152019年全国中考题组,1.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是 ( ) A.1,

6、1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5,答案 C 三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选 项A、B、D均不符合,故选C.,2.(2017山东泰州,3,3分)三角形的重心是 ( ) A.三角形三条边上中线的交点 B.三角形三条边上高线的交点 C.三角形三条边垂直平分线的交点 D.三角形三条内角平分线的交点,答案 A 三角形的重心是三角形三条边上中线的交点.,3.(2018内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且DAE=90,AD= AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为 ( ) A.1

7、7.5 B.12.5 C.12 D.10,答案 D AB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90,AD=AE, AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.,解析 BAD=ABD=40,ADB=180-BAD-ABD=180-40-40=100, ADC=180-100=80. AED是由ABD翻折所得的,AEDABD, ADE=ADB=100.CDE=ADE-ADC=100-80=20,即CDE=20.,4.(2019江西,10,3分)如图,在ABC中,点D是BC上的点,BAD=ABC=40,将ABD沿着AD翻折得到 AED,则CDE=

8、 .,答案 20,5.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10x+21=0的根,则三角形的周 长为 .,答案 16,解析 x2-10x+21=(x-3)(x-7)=0, x1=3,x2=7, 3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长, 三角形的第三边长为7, 三角形的周长为3+6+7=16.,6.(2017陕西,12A,3分)如图,在ABC中,BD和CE是ABC的两条角平分线.若A=52,则1+2的度数为 .,答案 64,解析 BD平分ABC,CE平分ACB,1= ABC,2= ACB,又ABC+ACB=180-A,21 +22=180-A=12

9、8,1+2=64.,考点二 全等三角形的判定与性质,1.(2017陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合,点C 落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为( ) A.3 B.6 C.3 D.,答案 A 由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3 ,AB=3 ,在 ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形, BC= =3 .,2.(2019四川成都,12,4分)如图,在ABC中,AB=AC,点D,E都在边BC上,BAD=CAE,若BD=9,则CE的长为 .,答案 9,解析 A

10、B=AC,B=C. 又BAD=CAE,BADCAE(ASA),CE=BD=9.,3.(2019黑龙江齐齐哈尔,12,3分)如图,已知在ABC和DEF中,B=E,BF=CE,点B、F、C、E在同一条 直线上,若使ABCDEF,则还需添加的一个条件是 (只填一个即可).,答案 AB=DE(或A=D或ACB=DFE或ACDF),解析 由BF=CE可得BC=EF, 又B=E,此时可选择的判定方法有“SAS”“AAS”或“ASA”. (1)根据“SAS”,可添加AB=DE. (2)根据“AAS”,可添加A=D. (3)根据“ASA”,可添加ACB=DFE或ACDF.,方法点拨 本题属于条件开放题,属于中

11、考常见类型,根据隐含条件(FC为公共线段)把已知条件转化为一 边一角对应相等,所以可以根据“SAS”“AAS”或“ASA”添加不同的条件,需要注意的是不能根据 “SSA”添加条件.,4.(2018浙江衢州,12,4分)如图所示,点B,F,C,E在同一条直线上,BF=CE,ABDE.请添加一个条件,使ABC DEF,这个添加的条件可以是 (只需写一个,不添加辅助线).,答案 AB=DE(或ACB=DFE或A=D),解析 因为ABDE,所以B=E.因为BF=CE,则BF+CF=CE+CF,即BC=EF.在ABC和DEF中,添加AB= DE,则有 可得ABCDEF(SAS).,5.(2019河北,2

12、3,9分)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30.边AD与边BC交于点P(不与点 B,C重合),点B,E在AD异侧.I为APC的内心. (1)求证:BAD=CAE; (2)设AP=x,请用含x的式子表示PD,并求PD的最大值; (3)当ABAC时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值.,备用图,解析 (1)证明:AB=AD,B=D,BC=DE, ABCADE. (3分) BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC. BAD=CAE. (4分) (2)PD=6-x. (5分) 如图,当ADBC时,x最小,PD最大.,B=30,AB=6,x= AB=

13、6=3. PD的最大值为3. (7分) (3)m=105,n=150. (9分) 提示:根据I为APC的内心可得IAC= PAC,ACI= ACP,所以AIC=180- PAC- ACP=90 + APC,所以AIC的大小取决于APC的大小.假设点P与点B重合,此时AIC=90+ B=105,随着点 P接近点C,APC的最大值接近于120,假设APC=120,此时AIC=90+ 120=150,即105AIC150,所以m=105,n=150.,思路分析 (1)根据SAS可证明ABCADE,得出BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易得PD=6 -x,根据x的取值判断当AP最短(ADB

14、C)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易知AIC=90+ APC,可得AIC的大小取决于APC的大小,根据30APC120进而确定105AIC150,所以m=105, n=150.,6.(2019福建,18,8分)如图,点E,F分别在矩形ABCD的边AB,CD上,且DF=BE.求证:AF=CE.,证明 四边形ABCD是矩形,D=B=90,AD=CB. 在ADF和CBE中, ADFCBE,AF=CE.,7.(2019湖北黄冈,19,6分)如图,ABCD是正方形,E是CD边上任意一点,连接AE,作BFAE,DGAE,垂足分别 为F,G.求证:BF-DG=FG.,证明 在ABF和DAG中

15、, BFAE,DGAE,AFB=DGA=90. 又DAG+FAB=DAG+ADG=90, FAB=ADG.又AB=AD,ABFDAG. BF=AG,AF=DG.BF-DG=AG-AF=FG.,思路分析 由题意可证明ABFDAG,从而得到BF=AG,AF=DG,问题解决.,8.(2018内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,ABDE,且AB=DE. (1)求证:ABCDEF; (2)若EF=3,DE=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.,解析 (1)证明:ABDE,A=D, AF=CD,AF+FC=CD+FC,即AC=DF

16、, 又AB=DE,ABCDEF(SAS). (2) . 详解:过点E作EOCF于O, 由EF=3,ED=4,DEF=90,可得DF=5, 所以EO=2.4, 又四边形EFBC为菱形, 所以FO=CO=1.8, 所以AF=CD=5-3.6=1.4.,考点一 三角形的相关概念,C组 教师专用题组,1.(2019河北,10,3分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是 ( ),答案 C 由作图痕迹可以判断选项A作了一个角平分线和一边的垂直平分线,选项B作了两个角的角平分 线,选项C作了两条边的垂直平分线,选项D作了一边的高线和一边的垂直平分线,而三角形的外心是三边垂 直平分线的交点,所以

17、在选项C中可以用直尺成功找到三角形的外心,故选C.,2.(2018河北,1,3分)下列图形具有稳定性的是 ( ),答案 A 三角形具有稳定性.故选A.,3.(2016河南,6,3分)如图,在ABC中,ACB=90,AC=8,AB=10.DE垂直平分AC交AB于点E,则DE的长为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3,答案 D 在ABC中,ACB=90, DE垂直平分线段AC,AD=DC,DEBC, E为AB的中点,DE= BC, 在RtABC中,BC= =6, DE= BC=3.故选D.,4.(2017湖南长沙,6,3分)一个三角形三个内角的度数之比为123,则这个三角形一定是 ( ) A.

18、锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形,答案 B 根据三角形的内角和为180,可知三个角分别为30、60、90,因此这个三角形是直角三角形. 故选B.,5.(2016湖南长沙,7,3分)若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是 ( ) A.6 B.3 C.2 D.11,答案 A 设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得7-3x7+3,即4x10,故选A.,6.(2015贵州遵义,11,3分)如图,四边形ABCD中,C=50,B=D=90,E、F分别是BC、DC上的点,当 AEF的周长最小时,EAF的度数为 ( ) A.50 B.60 C.70 D.80,答案

19、 D 如图,作点A关于BC所在直线的对称点M,及关于CD所在直线的对称点N,连接MN,分别交BC、 DC于点E、F,此时AEF的周长最小.易知M=BAE,N=DAF.在四边形ABCD中,BAD=360-90-90-50=130,在AMN中,M+N=180-MAN=180-130=50,所以BAE+DAF=50.所以EAF= 13050=80.故选D.,评析 本题考查了轴对称、四边形内角和、三角形内角和等知识,属中档题.,7.(2017福建,12,4分)如图,ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,连接DE,若DE=3,则线段BC的长等于 .,答案 6,解析 D,E分别是边AB,AC的中点,

20、DE是ABC的中位线,BC=2DE, DE=3,BC=6.,8.(2017四川成都,12,4分)在ABC中,ABC=234,则A的度数为 .,答案 40,解析 设A=2x,则B=3x,C=4x, 所以2x+3x+4x=180,解得x=20, 所以A=40.,9.(2016广东,19,6分)如图,已知ABC中,D为AB的中点. (1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法); (2)在(1)的条件下,若DE=4,求BC的长.,解析 (1)如图. (2分) E点,DE即为所求. (3分) (2)DE是ABC的中位线,且DE=4, BC=2DE=24=8. (6分),

21、评析 本题主要考查平面几何中尺规作图的基本方法(中点的作法),以及三角形中位线的性质.,10.(2016江苏南京,21,8分)用两种方法证明“三角形的外角和等于360”. 如图,BAE、CBF、ACD是ABC的三个外角. 求证:BAE+CBF+ACD=360. 证法1: , BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540. BAE+CBF+ACD=540-(1+2+3). , BAE+CBF+ACD=540-180=360. 请把证法1补充完整,并用不同的方法完成证法2.,BAE+CBF+ACD=360.,解析 BAE+1=CBF+2=ACD+3=180; 1+2+3=180. 证法2:

22、如图,过点A作射线AP,使APBD. APBD,CBF=PAB,ACD=EAP. BAE+PAB+EAP=360,考点二 全等三角形的判定与性质,1.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及其 中一边上的中线对应相等的两个三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等.其 中正确的命题的序号为 .,答案 ,解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等腰 三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由SAS 证得原两三角形全等,命

23、题正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不能证得 两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是.,2.(2017黑龙江龙东,3,3分)如图,BCEF,ACDF,添加一个条件 ,使得ABCDEF.,答案 AB=DE(或BC=EF或AC=DF),解析 BCEF,ACDF, ABC=DEF,BAC=EDF, 根据AAS或ASA知,只需有一组边相等即可.,3.(2016江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO.下列结论:AC BD;CB=CD;ABCADC;DA=DC.其中所有正确结论的序号是 .,答案 ,解析 ABOADO, BAC=

24、DAC,AOB=AOD,AB=AD. AOB+AOD=180, AOB=90,ACBD,正确; AB=AD,BAC=DAC,AC=AC, ABCADC,正确; ABCADC,CB=CD,正确; DA与DC不一定相等,不正确.,4.(2019云南,16,6分)如图,AB=AD,CB=CD. 求证:B=D.,证明 在ABC和ADC中, ABCADC. (4分) B=D. (6分),思路分析 利用全等三角形的判定和性质来证明.,方法总结 证明一般三角形全等的方法有4种:边边边,角角边,角边角,边角边.,5.(2019山西,17,7分)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,ACEF,C=F.求

25、证:BC=DF.,证明 AD=BE,AD-BD=BE-BD. AB=DE. (2分) ACEF,A=E. (4分) 在ABC和EDF中, (5分) ABCEDF. (6分) BC=DF. (7分),6.(2019河南,17,9分)如图,在ABC中,BA=BC,ABC=90.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是 上不 与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G. (1)求证:ADFBDG; (2)填空: 若AB=4,且点E是 的中点,则DF的长为 ; 取 的中点H,当EAB的度数为 时,四边形OBEH为菱形.,解析 (1)证明:BA=BC,ABC=90, CA

26、B=C=45. AB为半圆O的直径, ADF=BDG=90. DBA=DAB=45, AD=BD. (3分) DAF和DBG都是 所对的圆周角, DAF=DBG. ADFBDG. (5分) (2)4-2 . (7分) 30(注:若填为30,不扣分). (9分) 详解:如图,过F作FMAB于M,点E是 的中点,BAE=DAE, FDAD,FMAB, FM=FD, =sinFBM=sin 45= , = ,即BF= FD. AB=4,BD=4cos 45=2 , BF+FD=2 ,即( +1)FD=2 , FD= =4-2 . 连接OH,EH,点H是 的中点, OHAE, AEB=90, BEAE

27、, BEOH, 四边形OBEH为菱形, BE=OH=OB= AB, sinEAB= = , EAB=30.,7.(2017吉林,18,5分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:A=D.,证明 BE=CF,BE+EF=CF+EF.BF=CE. (2分) 又B=C,AB=DC, ABFDCE. (4分) A=D. (5分),8.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、BD 交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的

28、情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形. 图1 图2,解析 (1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形, ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE, ACEBCD, AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE.,9.(2016重庆,19,7分)如图,点A,B,C,D在同一条直线上,CEDF,EC=BD,AC=FD.求证:AE=FB.,证明 CEDF,ACE=D. 在ACE和FDB中, EC=BD,ACE=D,AC=FD, ACEFDB. AE=FB.,10.(2016四川南充,19,8分)已知AB

29、N和ACM位置如图所示,AB=AC,AD=AE,1=2. (1)求证:BD=CE; (2)求证:M=N.,证明 (1)在ABD和ACE中, ABDACE(SAS). (3分) BD=CE. (4分) (2)ABDACE, ADB=AEC. (5分) 又MDO=ADB,NEO=AEC, MDO=NEO. (6分) MOD=NOE, 180-MDO-MOD=180-NEO-NOE, 即M=N. (8分),评析 本题考查了全等三角形的判定与性质,要根据题意选择合适的判定方法.,11.(2016福建福州,21,8分)一个平分角的仪器如图所示,其中AB=AD,BC=DC. 求证:BAC=DAC.,证明

30、在ABC与ADC中, ABCADC(SSS). BAC=DAC.,12.(2015江苏苏州,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC.分别以B、C为圆心,BC长为半径在BC下方画弧,设两弧 交于点D,与AB、AC的延长线分别交于点E、F,连接AD、BD、CD. (1)求证:AD平分BAC; (2)若BC=6,BAC=50,求 、 的长度之和(结果保留).,解析 (1)证明:由题意可知BD=CD, 在ABD和ACD中, ABDACD(SSS). BAD=CAD, 即AD平分BAC. (2)AB=AC,BAC=50,ABC=ACB=65. BD=CD=BC,BDC为等边三角形.DBC=DCB=60

31、,DBE=DCF=55,BC=6,BD=CD=6. 的长度= 的长度= = . 、 的长度之和为 + = .,一、选择题(每小题4分,共12分),25分钟 42分,1.(2018安徽铜陵十中一模,5)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的是 ( ) A.A=D B.ACB=DBC C.AC=DB D.AB=DC,答案 C 已知ABC=DCB,BC=CB,根据全等三角形的判定,可知添加夹这组对应角的另一边对应相等 或添加另一组角对应相等均可判定ABCDCB.添加A,B,D中的条件,均能判定ABCDCB.添加C 中的条件,不能判定ABCDCB.故选C.,2.(2019安徽宣

32、城二模,9)我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正 方形和两对全等的直角三角形,后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示,若a=3,b=4, 则该三角形的面积为 ( ) A.10 B.12 C. D.,答案 B 设正方形的边长为m,则大三角形的面积为am+bm+m2=m2+7m,也可表示为 (a+m)(b+m)= (12+7m +m2),即m2+7m= (12+7m+m2),化简得m2+7m=12,所以大三角形的面积为12,故选B.,3.(2019安徽合肥168教育集团一模,8)如图,在平行四边形ABCD中,ABC,BCD的平分线BE,CF分别与

33、AD 相交于点E、F,BE与CF相交于点G,若AB=3,BC=5,CF=2,则BE的长为 ( ) A.2 B.4 C.4 D.5,答案 C 四边形ABCD是平行四边形,ABCD, ABC+BCD=180, ABC、BCD的平分线BE、CF分别与AD相交于点E、F, EBC+FCB= ABC+ DCB=90,EBFC,再过A作AMFC,交BC、BE于M、O,如图所示, AMFC, AOB=FGB,EBFC,FGB=90,AOB=90, BE平分ABC,ABE=EBC,ADBC,AEB=CBE, ABE=AEB,AE=AB=3,AOBE,BO=EO,在AOE和MOB中, AOEMOB(ASA),A

34、O=MO, AFCM,AMFC, 四边形AMCF是平行四边形,AM=FC=2,AO=1, EO= =2 , BE=4 ,故选C.,思路分析 根据平行四边形两组对边分别平行可得ABC+BCD=180,再根据角平分线的性质可得 EBC+FCB=90,可得BECF.过A作AMFC,交BE、BC于O、M,证明ABE是等腰三角形,进而得到BO= EO,再证AOEMOB,得到AO=MO,最后利用勾股定理计算出EO的长,进而可得答案.,解题关键 本题主要考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和 性质,而证明AO=MO,BO=EO是解决问题的关键.,二、解答题(共30分),4.

35、(2019安徽合肥长丰二模,17)如图,四边形ABCD是正方形,E为BC上的任意一点或BC延长线上一点(除B点 以外),AEF=90,且EF交正方形外角的平分线CF于点F,求证:AE=EF.,证明 如图,在边AB上截取AH=EC, AH+HB=EC+BE,HB=BE. HBE是等腰直角三角形,BHE=HEB=45, AHE=135. (2分) 正方形外角的平分线为CF,FCG=45,FCE=135. AEF=90,AEB+FEC=90, 在RtABE中,AEB+BAE=90, BAE=FEC,即EAH=FEC.,在AHE和ECF中, AHEECF(ASA).AE=EF. (8分),解题关键 在

36、边AB上截取AH=EC,构造两个三角形并证明全等是解答本题的关键.,5.(2017安徽安庆期末联考,19)如图,ABC为等边三角形,D为边BA延长线上一点,连接CD,以CD为一边作等 边三角形CDE,连接AE. (1)求证:CBDCAE; (2)判断AE与BC的位置关系,并说明理由.,解析 (1)证明:ABC、DCE为等边三角形, AC=BC,EC=DC,ACB=ECD=DBC=60, ACD+ACB=DCB,ECD+ACD=ECA, ECA=DCB, 在ECA和DCB中, ECADCB(SAS). (2)AEBC. ECADCB,EAC=DBC=60, 又ACB=DBC=60,EAC=ACB

37、,AEBC.,6.(2018安徽黄山期末联考,18)如图,已知ABC是等边三角形,D、E分别是AC、BC上的点,BD、AE交于点 R,BFAE.若AD=CE,求证:BR=2FR.,证明 ABC是等边三角形,AB=AC,BAC=C=60. 在ABD和CAE中, ABDCAE(SAS).ABD=CAE. BRF=ABD+BAE=CAE+BAE=BAC=60. 又BFAE,BRF是直角三角形. RBF=90-BRF=30,BR=2FR.,一、选择题(每小题4分,共12分),30分钟 52分,1.(2017安徽合肥包河一模)如图,ABC中,BC=a,AC=b,AB=c(bca),线段BC的垂直平分线D

38、G交BAC的 平分线AD于点D,DEAB于E,DFAC交AC的延长线于F,则下列结论一定成立的是 ( ) A.DG= (a+b) B.CF=c-b C.BE= (a-b) D.AE= (b+c),答案 D 如图,连接DB,DC,AD平分BAC,DEAB,DFAC,DE=DF,DEB=DFC=90,DG垂直 平分线段BC,DB=DC,在RtDEB和RtDFC中, RtDEBRtDFC,BE=CF,同理,Rt ADERtADF,AE=AF,AB+AC=(AE+BE)+(AF-CF)=2AE,AE= (AB+AC)= (b+c),故选D.,难点突破 如果题干中出现了线段的垂直平分线,往往需要连接垂直

39、平分线上的点和线段的两个端点,然 后应用垂直平分线的性质进行解题.,2.(2019安徽合肥瑶海二模,10)如图1,点P从ABC的顶点B出发,沿BCA匀速运动到点A,图2是点P运动 时,线段BP的长度y随时间x变化的函数关系图象,其中M为曲线部分的最低点.下列说法错误的是 ( ) A.ABC是等腰三角形 B.AC边上的高为4 C.ABC的周长为16 D.ABC的面积为10,答案 D 根据题意观察图象可得BC=5,点P在AC上运动时,若BPAC,则BP有最小值,观察图象可得,BP的 最小值为4,即BPAC时,BP=4,由勾股定理求得CP=3,因点P从点C运动到点A,根据函数图象的对称性可得 CP=

40、AP=3,当BPAC时,AC边上的高BP=4,此时可得BA= =5,可得ABC是等腰三角形,则ABC的 周长为5+5+6=16,则A、B、C中说法正确,ABC的面积为 46=12,所以D中说法错误.,思路分析 根据图象可知点P在BC上运动时,BP不断增大,而从C向A运动时,BP先变小后变大.,解题关键 本题的解题关键是能够结合图象求出线段BP的最小值.,3.(2019安徽铜陵一模,10)如图,在ABC和ABD中,AB=AC=AD,ACAD,AEBC于点E,AE的反向延长线 与BD交于点F,连接CD.则线段BF,DF,CD三者之间的关系为 ( ) A.BF-DF=CD B. BF+DF=CD C

41、.BF2+DF2=CD2 D. 无法确定,答案 C 如图,连接CF. AC=AD,ACAD, ACD=ADC=45. AB=AC=AD, ABC=ACB,ADB=ABD. ABC+ACB+ADB+ABD+ACD+ADC=180, CBD=45,AB=AC,AEBC,AE垂直平分线段BC,BF=CF.,CBD=BCF=45,即CFD=90,BF2+DF2=CF2+DF2=CD2,故选C.,思路分析 由题意可得ACD=ADC=45,由AB=AC=AD可得ABC+ABD=45=CBD,由AB=AC,AE BC可得AE垂直平分线段BC,从而BF=CF,再根据勾股定理可得BF2+DF2=CD2.,解题关

42、键 本题的解题关键是作出辅助线并证明CFD=90.,二、解答题(共40分),4.(2018安徽安庆一模,23)在等腰直角ABC中,ACB=90,AC=BC,点P在斜边AB上(APBP).作AQAB,且 AQ=BP,连接CQ(如图1). (1)求证:ACQBCP; (2)延长QA至点R,使得RCP=45,RC与AB交于点H,如图2. 求证:CQ2=QAQR; 判断三条线段AH、HP、PB的长度满足的数量关系,并说明理由.,解析 (1)证明:ACB=90,AC=BC,CAB=B=45, 又AQAB,QAC=CAB=45=B, 在ACQ和BCP中, ACQBCP(SAS). (2)证明:由(1)知A

43、CQBCP,则QCA=PCB, ACB=90,RCP=45, ACR+PCB=45, ACR+QCA=45,即QCR=45=QAC, 又Q是CQR和AQC的公共角, CQRAQC, = ,CQ2=QAQR.,AH2+PB2=HP2. 理由:连接QH, CQ=CP,QCH=PCH=45,CH=CH, QCH PCH(SAS). HQ=HP. 在RtQAH中,QA2+AH2=HQ2,又QA=PB,AH2+PB2=HP2.,思路分析 (1)由AQAB 及ACB为等腰直角三角形可得QAC=CAB=45=B,从而可证ACQ BCP;(2)由ACQBCP可得QCA=PCB,进一步得出QCR=QAC,从而可

44、证CQRAQC,问 题解决;连接QH,先证QCH PCH,可得HQ=HP,结合RtQAH中QA2+AH2=HQ2可使问题解决.,5.(2019安徽定远二模,23)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E在AB上,点F在BC的延长 线上,且AE=CF,连接EF交AC于点P,分别连接DE,DF,DP. (1)求证:ADECDF; (2)求证:ADPBDF; (3)如图,若PE=BE,PC= ,求CF的值.,解析 (1)证明:四边形ABCD为正方形, AD=DC,BAD=DCF=90. 又AE=CF,ADECDF. (2)证明:ADECDF, DE=DF,ADE=CDF. CDF+EDC=ADE+EDC=90. DEF为等腰直角三角形. 过点F作FGBF交AC延长线于点G, 则CFG为等腰直角三角形, FG=CF,又CF=AE,FG=AE, ABFG,AEP=GFP,又APE=GPF, AEPGFP,PE=PF,