2021-2022学年湖北省咸宁市高二下学期期末考试数学.docx

1、2021-2022学年湖北省咸宁市高二下学期期末考试一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知集合A=x|2x31，B=x|y=x1，则AB=()A. (,1(2，+)B. (,1)(2,+)C. 1,2)D. (1,2)2. |3+2i12i|=()A. 65B. 13C. 655D. 1353. 一组数据x1，x2，x8的方差为2，则另一组数据12x1+3，12x2+3，12x8+3的方差为()A. 5B. 4C. 1D. 124. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足关系式m1m2=12lgE2512lgE15，其中星等为mk的星的亮度为Ek

2、(k=1,2).已知牛郎星的星等是0.75，织女星的星等是0，则牛郎星与织女星的亮度的比值为()A. 10310B. 10310C. lg310D. lg1035. 已知O是坐标原点，F是抛物线C:y2=2px(p0)的焦点，P(x0,4)是C上一点，且|PF|=4，则POF的面积为()A. 8B. 6C. 4D. 26. 已知0，函数f(x)=23sin2x+2sinxcosx3的最小正周期为，则下列结论不正确的是()A. f(x)在12,512上单调递增B. 直线x=712是f(x)图象的一条对称轴C. 点(6,0)是f(x)图象的一个对称中心D. f(x)在23,56上的最大值为07.

3、已知P是直线l:x+y7=0上任意一点，过点P作两条直线与圆C:(x+1)2+y2=4相切，切点分别为A，B，则|AB|的最小值为()A. 14B. 142C. 23D. 38. 方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大正方体(由8个大小相同的小正方体构成)，若一只蚂蚁从A点出发，沿着竹根到达B点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有()A. 48种B. 60种C. 72种D. 90种二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知ab，kN，则()A. akb

4、kB. a2kb2kC. a2+b22abD. ak+bk+kkab+210. 已知向量a=(2,1)，b=(1,t)，c=(3,2)，则下列结论正确的有()A. 若b/c，则t=23B. 若ab，则t=2C. (a+b)(b+c)的最小值为334D. 若a,b的夹角为锐角，则t90三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=x3(aexex)是奇函数，则实数a=14. 已知圆锥的母线长为42，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为，体积为15. 过点A(1,1)且与曲线y=14x412x3+32x+14相切的直线共有条.16. 已知F1(c,0)，F2(c,0)

5、分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，且|PF1|=|F1F2|.若以点P为圆心，|PF2|为半径的圆与直线x=c相切，则椭圆C的离心率为四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在ABC中，AB=2，AC=27，BC=4，D为AC上一点(1)若BD为AC边上的中线，求BD;(2)若BD为ABC的角平分线，求BD18. 正项数列an的前n项和为Sn，已知a1=a，2Sn=anan+1(1)若an是等差数列，求an的通项公式(2)是否存在实数a，使得an是等比数列若存在，求出a的值;若不存在，说明理由19. 如图，在梯形ABCD中，已知AB=4，A

6、D=DC=BC=2，M为AB的中点.将ADM沿着DM翻折至PDM，连接PC，PB(1)证明：DMPC(2)若二面角PDMC的大小为60，求PB与平面ABCD所成角的正弦值20. 某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分.小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p(0p0,b0)的右焦点为F2，点F2到E的一条渐近线的距离为2，过点F2的直线与E相交于A，B两点.当ABx轴时，|AB

7、|=22(1)求E的方程;(2)若M(32,0)，N是直线x=1上一点，当B，M，N三点共线时，判断直线AN的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值;若不是定值，说明理由22. 已知函数f(x)=sinxx(1)当x0时，f(x)xlnx+sinx.答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查集合的并集运算，涉及函数定义域及区间的表示，属于基础题【解答】解：因为A=x|x2，B=x|x1，所以AB=(,1(2，+).2.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了复数的除法运算以及复数的模，属于基础题【解答】解：|3+2i12i|=(3+2i)(1+2i)5|=|15+85i|=6553.【

8、答案】D【解析】【分析】本题考查了方差的性质，属基础题【解答】解：因为一组数据x1，x2，x8的方差为2，所以，根据方差的性质可知另一组数据12x1+3，12x2+3，12x8+3的方差为2(12)2=124.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查对数运算的实际应用，属于基础题【解答】解：因为m1m2=12lgE2512lgE15=52lgE2E1=0.75，所以E2E1=103105.【答案】C【解析】【分析】本题考查了抛物线的定义和标准方程，属于基础题.解题时直接根据抛物线定义求解即可【解答】解：由题可知x0+p2=416=2px0，解得x0=2p=4，则F(2,0),P(2,4)，所以P

9、OF的面积为1224=46.【答案】B【解析】【分析】本题考查了正弦型三角函数的性质，以及二倍角公式、两角差的正弦公式，属中档题【解答】解：f(x)=23sin2x+2sinxcosx3=2sin(2x3)，由f(x)的最小正周期为，得=1，所以f(x)=2sin(2x3).令2k22x32k+2，kZ，得k12xk+512，kZ，A正确令2x3=k+2，kZ，则x=k2+512，kZ，B不正确令2x3=k，kZ，得x=k2+6，kZ，可知(6,0)是f(x)图象的一个对称中心，C正确当x23,56时，2x3,43，f(x)的最大值为0，D正确7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查圆的切点

10、弦问题，属于中档题【解答】解：圆C是以C(1,0)为圆心，2为半径的圆，由题可知，当ACP最小时，|AB|的值最小cosACP=|AC|PC|=2|PC|，当|PC|取得最小值时，cosACP最大，ACP最小.点C到直线l的距离d=|8|2=42，故当|PC|=42时，cosACP最大，且最大值为24，此时sinACP=|AB|2|AC|=|AB|4=144，则|AB|=148.【答案】D【解析】【分析】本题考出分步乘法计数原理，组合问题，属于基础题【解答】解：由题意可知，从A到B最少需要6步完成，其中有2步是横向的，2步是纵向的，2步是竖向的，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有C62C42C22

11、=90种9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查了利用不等式的基本性质判断不等关系、利用作差法比较代数式的大小，属基础题【解答】解：因为ab，kN，所以akbk，A正确;a2+b22ab=(ab)20，即a2+b22ab，C正确;取a=0，b=1，k=1，可知B，D不正确10.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查向量平行，向量垂直，向量数量积的坐标运算，属于中档题【解答】解：若b/c，则2+3t=0，解得t=23，A不正确.若ab，则2t=0，解得t=2，B正确a+b=(3,t1)，b+c=(2,t+2)，(a+b)(b+c)=t2+t8=(t+12)2334334，C正确.若a,b的夹角

12、为锐角，则2t0,2t+10,解得tAO，则以AC为直径的圆与线段MN没有交点，所以不存在点P，使得APPC，故选项C正确；如图(2)所示，分别取线段AC，CD1，A1B，AB的中点O，Q，M，N，当=12时，点P在直线OQ上运动，易证O，N，M，Q四点共面，因为OBOA1，所以以M为球心，MB为半径的球经过点O，又易得OMOQ，所以PMOM，即点P在球面上或球面外，此时A1PB90，故选项D不正确 图(1) 图(2)13.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查利用函数的奇偶性求参，属于基础题【解答】解：因为f(x)是奇函数，所以f(x)=(x)3(aexex)=x3(aexex)=f(x)=

13、x3(aexex)，所以a=114.【答案】221663【解析】【分析】本题主要考查了圆锥的体积和侧面展开图，属于基础题【解答】解：设圆锥的底面半径为r，由条件可得2r=42，解得r=22，则该圆锥的高=(42)2(22)2=26，体积为13r2=166315.【答案】2【解析】【分析】本题考查了求过曲线上一点的切线方程，属基础题【解答】解：设切点的坐标为(x0,14x0412x03+32x0+14)，因为y=x332x2+32，所以切线的方程为y(14x0412x03+32x0+14)=(x0332x02+32)(xx0)，将A(1,1)代入方程整理得34(x021)2=0，解得x0=1或x

14、0=1.故切线方程为y=x或y=x+2，即过点A(1,1)且与曲线y=14x412x3+32x+14相切的直线共有2条16.【答案】33【解析】【分析】本题主要考查椭圆的离心率，焦点三角形及直线与圆相切问题，属于较难题【解答】解：如图，过点P作PQ直线x=c，垂足为Q，连接PF2.由|PF1|=|F1F2|知，|PF1|=2c，所以|PF2|=2a2c则|PQ|=2a2c，所以cosF1PQ=2a2c2c=acc在PF1F2中，由余弦定理知，cosPF1F2=4c2+4c2(2a2c)222c2c=c2a2+2ac2c2因为cosPF1F2=cosF1PQ，所以c2a2+2ac2c2=acc，

15、则a=3c，所以e=3317.【答案】解：(1)在ABC中，cosA=AB2+AC2BC22ABAC=277，因为BD为AC边上的中线，所以AD=7在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=4+7227277=3，所以BD=3(2)在ABC中，cosABC=AB2+BC2AC22ABBC=4+1628224=12，则ABC=23，因为BD为ABC的角平分线，所以ABD=CBD=3，由SABC=SABD+SCBD，得12ABBCsinABC=12ABBDsinABD+12BCBDsinCBD，即122432=12(2+4)32BD，解得BD=43【解析】本题考查了余弦定理在解三角形中

16、的应用以及三角形的面积公式，属于中档题18.【答案】解：(1)当n=1时，2S1=2a1=a1a2，又a10，则a2=2当n2时，2an=2Sn2Sn1=anan+1an1an，即an+1an1=2因为an是等差数列，设an的公差为d，所以an+1an1=2d=2，解得d=1，则a1=a=a21=1，故an的通项公式为an=n(2)假设存在实数a，使得an是等比数列由(1)可知，a3=a1+2=2+a，a4=a2+2=4因为an是等比数列，所以a2a3=a1a4，即2(2+a)=4a，解得a=2，此时a2a1=22=1，a3a2=42=2，不符合题意，则假设错误故不存在实数a，使得an是等比数

17、列【解析】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的判定，属中档题19.【答案】解：(1)证明：连接AC，交DM于点O，连接PO因为AB=4，AD=DC=BC=2，M为AB的中点，所以AM=AD=CD又四边形ABCD为梯形，则四边形AMCD为菱形，所以DMAC又PD=PM，O是DM的中点，所以DMPO因为AC平面PCO，PO平面PCO，ACPO=O，所以DM平面PCO又PC平面PCO，所以DMPC(2)解：以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为二面角PDMC的大小为60，所以POC=60，易得BAD=60，则B(2,3,0)，P(0,32,32)，PB=(2,32,32).平面AB

18、CD的一个法向量m=(0,0,1)，设PB与平面ABCD所成的角为，则sin=|cos|=327=3714【解析】本题主要考查线面垂直的判定及性质，二面角及直线与平面所成角的向量求法，属于中档题20.【答案】解：(1)由题可知，X的可能取值为2，3，4，5因为p=23，所以P(X=2)=1312=16，P(X=3)=1312=16，P(X=4)=2312=13，P(X=5)=2312=13，故X的分布列为x2345p16161313E(X)=216+316+413+513=236(2)设一天得分不低于4分为事件A，则P(A)=p2+p2=p，则f(p)=C53p3(1p)2=10p3(1p)2

19、，则f(p)=30p2(1p)220p3(1p)=10p2(1p)(35p)当0p0；当35p1时，f(p)0,m210,得m1，则y1+y2=4mm21，y1y2=2m21设N(1,t)，因为B，M，N三点共线，所以t12=y2x232，整理得t=y22x23因为y1t=y1+y22x23=y1(2x23)+y22x23=y1(2my2+1)+y22x23=2my1y2+(y1+y2)2x23=0，所以kAN=y1tx11=0，即直线AN的斜率为定值0当直线AB的斜率为0时，A，B，M，N都在x轴上，则直线AN的斜率为定值0综上所述，直线AN的斜率为定值0【解析】本题考查了直线与双曲线的位置

20、关系的问题，涉及求双曲线的标准方程、点到直线的距离、过两点的斜率公式等知识，属较难题22.【答案】(1)解：当x0时，f(x)0令函数F(x)=axsinx，则F(x)=acosx.若a1，则F(x)0，F(x)单调递减，F(x)F(0)=0，不符合题意若1a1，则F(0)=a10，因为函数F(x)=acosx在(0,)上单调递增，所以x0(0,)，F(x0)=0.当x(0,x0)时，F(x)0，F(x)单调递减，F(x)F(0)=0，符合题意综上所述，实数a的取值范围是1,+).(2)证明：由(1)知sinxxlnx+sinx，只需证x3exxlnx+x，即证exxlnx+1x3令函数g(x)=exx，(x)=lnx+1x3，则g(x)=ex(x1)x2，(x)=23lnxx4当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增故g(x)g(1)=e，即exxe.当x(0,e23)时，(x)0，(x)单调递增;当x(e23,+)时，(x)e23，所以g(x)(x)，即exxlnx+1x3，从而x3exxlnx+sinx.