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1、第二章第二章 描写大气运动的基本方程组描写大气运动的基本方程组一切天气现象都与大气运动相关，一切天气现象都与大气运动相关，尽管大气运动很复杂，但始终要遵循一尽管大气运动很复杂，但始终要遵循一定的物理定律（定的物理定律（fundamental physical laws）。这些物理定律的数学表达式就）。这些物理定律的数学表达式就构成了研究大气运动具体规律的基本方构成了研究大气运动具体规律的基本方程组。程组。Basic Equations本章目的本章目的 依据基本物理定律依据基本物理定律，结合地球大气的特点，建，结合地球大气的特点，建立描写大气运动的基本方程组。立描写大气运动的基本方程组。建立方程

2、组要解决的几个主要问题建立方程组要解决的几个主要问题1、分析方法的转变（、分析方法的转变（Lagrange Euler）2、参考系的转变（惯性、参考系的转变（惯性 旋转）旋转）3、坐标系的选择（球坐标系、局地直角坐标系）、坐标系的选择（球坐标系、局地直角坐标系）一、地球与大气的基本特征一、地球与大气的基本特征地球：地球一方面绕太阳公转地球：地球一方面绕太阳公转（一年365.25天绕太阳一周），一方面绕自己的轴自西向东自转一方面绕自己的轴自西向东自转（一个太阳日24小时，一个恒星日23小时56分4秒）。地球自转角速度：地球自转对大气运动有重大影响，而地球公地球自转对大气运动有重大影响，而地球公转

3、主要决定一年四季的变化，但对大气运动的变转主要决定一年四季的变化，但对大气运动的变化影响化影响“不大不大”。1510292.78616422ss一个恒星日 地球可视为一个椭球体，但是一般作为球体处理，地球的平均半径为：其质量经推算为：ma610371.6kgM2410976.5大气：大气环绕地球并与地球一起旋转，必须大气：大气环绕地球并与地球一起旋转，必须考虑因旋转而产生的虚拟力。考虑因旋转而产生的虚拟力。大气的总质量约为：一标准大气压（即海平面气压）为：标准大气密度值为：kgMa1810136.5hPahPaP100025.101303029.1mKg大气的密度、压强和温度随着高度的增加而减

4、大气的密度、压强和温度随着高度的增加而减小，大约小，大约95%的大气质量集中在离地面的大气质量集中在离地面20km高度以下，这层大气相对于地球半径是高度以下，这层大气相对于地球半径是很薄的，但其中有千变万化的天气现象。很薄的，但其中有千变万化的天气现象。由于辐射和水汽相变，大气不断受到加热和冷由于辐射和水汽相变，大气不断受到加热和冷却，对大气的热力状况产生很大的影响，从而却，对大气的热力状况产生很大的影响，从而引起动力作用。引起动力作用。实际大气不是理想流体，需要考虑粘性作用实际大气不是理想流体，需要考虑粘性作用（主要表现在接近地面的边界层大气中）（主要表现在接近地面的边界层大气中）拉格朗日方

5、法拉格朗日方法流体流体。以流体中某一物质体积元物质体积元为研究对象，研究它的空间位置及其物理属性随时间变化的规律，并进而推广到整个流体的运动。欧拉方法欧拉方法流场流场。以流体空间中某一固定空间体积元空间体积元为研究对象，研究不同流体微团通过某一固定点时的运动状态及其它物理属性变化的规律，从而掌握流场中各物理量的空间分布及其变化规律。经典力学和热力学常以个别物体和个别热力经典力学和热力学常以个别物体和个别热力学系统作为研究对象，物理定律可以直接用于研学系统作为研究对象，物理定律可以直接用于研究个别空气微团运动状态和热力状态变化问题，究个别空气微团运动状态和热力状态变化问题，但是不能直接用于研究物

6、理量场的变化规律。但是不能直接用于研究物理量场的变化规律。能否找到场变量随个别空气微团在运动中的变化能否找到场变量随个别空气微团在运动中的变化率（场变量的全导数）与空间点上场变量随时间的变率（场变量的全导数）与空间点上场变量随时间的变化率（场变量的局地导数）之间的关系呢？化率（场变量的局地导数）之间的关系呢？But：二、全导数（二、全导数（Total differentiation）和局地）和局地导数（导数（Local derivative）以温度场温度场为例讨论场变量的全导数与局地导数之间的关系。在直角坐标系中，温度场可用函数表示T=T(x,y,z,t)，称温度场函数。个别空气微团的轨迹可表

7、示为x=x（t）,y=y（t）,z=z（t），则x、y、z方向上微团的速度分量为：dtdzwdtdyvdtdxu;若t时刻位于（x，y，z）处，经过t时刻后移至 处，则温度在运动中的变化为：利用泰勒（Taylor)级数展开，得：上式除以t，令其 0，略去高阶项，取极限，则有：zzyyxx,.tzyxTttzzyyxxTT,!2222ttTzzTyyTxxTttTTzTwyTvxTutTdtdT 等式左边：温度的个别变化，表示个别空气微团的温度在运动中随时间的变化率；等式右边：第1项为温度的局地变化，表示固定的空间点温度随时间的变化；右方第2、3项称之为平流变化项，是因水平面上温度分布不均匀，而

8、大气运动产生的变化；右方第4项为对流变化项，是因大气垂直运动及垂直方向上温度分布不均匀产生的变化。zTwyTvxTutTdtdT（1）平流变化的物理意义平流变化的物理意义平流变化TVtT 0,0 wdtdT为了讨论平流变化的意义，设：sTVtT S的方向为水平速度的方向，冷冷平平流流0 sT暖暖平平流流,0 sT低低沿沿水水平平速速度度方方向向温温度度降降高高沿沿水水平平速速度度方方向向温温度度升升,0,0 sTsT暖冷冷例如：寒潮气温骤降引入算子符号：zkyjxikwj vi uV则（1）式可以表示为：TVtTdtdT上述关系式对其他物理量也是成立的，即Vtdtd运动的描述运动的描述运动运动

9、 位置随时间的改变位置随时间的改变任何运动都是相对于确定的参考系的运动任何运动都是相对于确定的参考系的运动运动本身不受参考系的影响，但是对运动运动本身不受参考系的影响，但是对运动的描述却随着所用参考系的不同而不同的描述却随着所用参考系的不同而不同 三、绝对运动和相对运动、绝对运动和相对运动概念 在地球外某一固定点观测地球上的大气运动，是“绝对运动绝对运动”，可以看到大气随地球一起旋转。在地球上观测大气运动，是“相对相对运动运动”，观测者与地球一起旋转，感觉不到地球自转。2.参考系（坐标系）参考系（坐标系）为了确定物体位置和描述物体运动，应采用适当的坐标系。根据观测方式的不同，坐标系分为：惯性坐

10、标系惯性坐标系：原点位于地球中心，坐标轴方向相对于太阳是固定的坐标系。惯性坐标系下，可以看到大气随地球一起旋转，是“绝对运动绝对运动”；旋转坐标系旋转坐标系：原点位于地球中心，坐标轴固定在地球上的坐标系。旋转坐标系下，感觉不到地球自转，观察到的大气运动是“相对运动相对运动”。矢量表述导数表述参照物标架坐标 kAjAiAAzyx kdtAdjdtAdidtAddtAdzyxa kAjAiAAzyx kdtdAjdtdAidtdAdtAdzyxr 恒星地球kji kjizyxo xyzo 惯性坐标系与旋转坐标系absoluterelative惯性坐标系与旋转坐标系中矢量全导数的关系惯性坐标系与旋转

11、坐标系中矢量全导数的关系 任意矢量 kAjAiAdtddtAdzyxaa 矢矢量量在在惯惯性性系系中中可可视视为为位位置置idtida矢矢端端线线速速度度 角角速速度度线速度与角速度关系kdtkdjdtjdidtidaaa 同同理理可可得得 dtddtdAdtAddtAdraradtkdAdtjdAdtidAkdtdAjdtdAidtdAazayaxzyx 普适微分算子dtAdr3.两个参考系中物理量全导数的联系满足普适微分算子：dtddtda证明证明:见书见书P12P12（关键（关键2.122.12式）式）四、运动方程（牛顿第二定律）四、运动方程（牛顿第二定律）牛顿第二定律：（单位质量的气团

12、）牛顿第二定律：（单位质量的气团）成立条件：成立条件：惯性（绝对）坐标系惯性（绝对）坐标系 iiaafdtVdV研究对象研究对象大气运动（风）大气运动（风）相对于地球的相对速度相对于地球的相对速度;取地球取地球作为参照系更为方便；作为参照系更为方便；地球是旋转的，具有旋转角速度地球是旋转的，具有旋转角速度;非惯性坐标系非惯性坐标系旋转坐标系旋转坐标系;But，牛顿第二定律不能直接应用于，牛顿第二定律不能直接应用于旋转坐标系。旋转坐标系。惯性系惯性系旋转系旋转系？将算子作用于位置矢量rdtddtdrarVVa 3绝绝对对速速度度dtrdVaa 相相对对速速度度3dtrdVr 牵牵连连速速度度r

13、绝对速度与相对速度之间的关系式rVdtddtVdraa3rVdtVdr332abca c ba b c RR0cosRRR2araVdtddtd将算子作用于速度矢量绝对加速度与相对加速度之间的关系ooPRrcosrRRcossinrrrr向心加速度科氏加速度相对加速度RVdtVddtVdraa2332 相对加速度 视示力 真实力RVfdtVdii2332 真实力是物体与物体之间的相互作用，而“视示力”是一种虚拟的力，反映地球旋转效应对相对运动的作用和影响。iiaafdtVd旋转参考系中牛顿第二定律的表达式RVdtVddtVdraa2332？气压梯度力（Pressure Gradient For

14、ce）zyxxPzyxxpppGxx)(方向上的合压力：zyxxPzyxxpppGxx)(方向上的合压力：左图为空气微团（体左图为空气微团（体积元）在介质中所受积元）在介质中所受到的周围空气对其的到的周围空气对其的作用图，以作用图，以x方向为例。方向为例。方向同理可得。和方向上的合压力：上因此，单位质量空气块zyxPmzyxxPmGxx1/)(结果，周围空气介质对单位质量的空气微团的作用力为：PkzpjyPixPmG31111p1记作：气压梯度力 万有引力（Gravitational Force）)(2*rrrGMgMmr以a为地球半径，万有引力可近似表示为，)(20*rraGMg 分子粘性力

15、（Viscous Force）VVF2)()(31广义牛顿粘性假设，有 分子运动论观点来看，摩擦力乃是不同速度两层空气的分子动量交换的结果。大气是低粘流体，分子粘性力作用甚小，一般都将其略去。物理模型物理模型转盘试验转盘试验o1t2t3t4t5t4t1t2t3t5toAA正上方视图试验设置：O点固定在转盘中心，A位置为转盘外固定点，由O向A抛出小球A 科氏力（Coriolis Force）V 2又称地转偏向力 科氏力Note:只有物体相对于地球有运动时才有科氏力，它只改变运动方向，不改变运动速度。地球风系分布(distribution of wind belt)低层高层EQEQ赤道低压带副极地

16、低压带极地高压带副热带高压带赤道东风极地东风副热带西风实际应用R2惯性离心力项惯性离心力项(Centrifugal Force)万有引力惯性离心力重力万有引力惯性离心力重力grraGMR)(22垂直地面向下垂直地面向下 重力（Gravity Force）科氏力 地球引力RVfdtVdii2332 Fgp 1 iiaafdtVd 真实力 视示力RV232 重重力力gRg 2FgVpdtVd 33321 相相对对运运动动方方程程矢矢量量形形式式气压梯度力 科氏力摩擦力重力旋转坐标系下运动方程的矢量形式重力：重力：保守力保守力科氏力：不做功，只改变运动方向科氏力：不做功，只改变运动方向 （运动形式）

17、（运动形式）摩擦力：耗散摩擦力：耗散驱动大气运动的主要动力：压力梯度力驱动大气运动的主要动力：压力梯度力FgVpdtVd 33321 相相对对运运动动方方程程矢矢量量形形式式左边：加速度项；左边：加速度项；右边：引起大气运动变化的原因右边：引起大气运动变化的原因从以上讨论可见：从以上讨论可见：物理上压力梯度力是驱动大气运动物理上压力梯度力是驱动大气运动的主要因子，而压力的变化与热力与动的主要因子，而压力的变化与热力与动力过程相关联，因此描写大气过程必须力过程相关联，因此描写大气过程必须考虑热力过程。考虑热力过程。数学上：运动方程：数学上：运动方程：1个（矢量）个（矢量）3个（分量）个（分量）未

18、知量：速度、气压、密度未知量：速度、气压、密度必须寻找描写气压、密度变化的方程必须寻找描写气压、密度变化的方程方程才能闭合方程才能闭合五、连续方程（质量守恒定律）五、连续方程（质量守恒定律）。压缩，则；体积膨胀，则两种表达形式：0Vdtd L观点：dtd：气团密度随体变化率 dtdV1：气团体积的相对变化率 质量守恒：质量守恒：0)(0)(dtdmdtd速度散度速度散度欧拉观点：0)(Vt ：固定空间密度的局地变化率 t.,0);,0)VV（净流出时，（净流入时，单位时间单位空间体积（固定）内的质量变化：单位时间单位空间体积内流体质量的流出流入量)(V连续方程的物理意义 连续方程描写了速度场与

19、密度场之间的相互制约关系。连续方程描写了速度场与密度场之间的相互制约关系。当物质体积元在运动中体积增大（辐散）时，因质量守恒当物质体积元在运动中体积增大（辐散）时，因质量守恒其密度要减小；运动中体积减小（辐合）时，其密度要增其密度要减小；运动中体积减小（辐合）时，其密度要增大。大。对于固定空间体积元而言，当有质量净流入时，固定体积对于固定空间体积元而言，当有质量净流入时，固定体积元的密度要增大；当有质量净流出时，固定体积元的密度元的密度要增大；当有质量净流出时，固定体积元的密度要减小。要减小。ABxyzxyz),(zyx2)(xxuu2)(xxuuABxyz),(zyxAuBu六、状态方程（热

20、力学方程）六、状态方程（热力学方程）RTp理想气体：理想气体：pTp;R是干空气比气体常数，是干空气比气体常数，287J287JK K-1-1kgkg-1-1七、热力学第一定律（热流量方程）七、热力学第一定律（热流量方程）能量守恒定律：能量守恒定律：QdtdPdtdTCV单位质量气团外界加热率内能变化率气团膨胀反抗压力作功率内能变化率气团膨胀反抗压力作功率 Cv=718J/kg*K 干空气定容比热另外一种常用表达：另外一种常用表达：RTp)()(RTdtdPdtd dtdTRdtdPdtdPQdtdTCQdtdPdtdTARCpV,)(A:热功当量热功当量,Cp=1005J/kg*K 干空气定

21、压比热 QdtdTCRTpVtFVpgdtVdp0)(21个）方程个（个）未知量个（6464,TPV闭合闭合总结总结：八、局地直角坐标中的基本方程组八、局地直角坐标中的基本方程组球坐标 解决全球问题(global)局地直角坐标 解决局地问题(local)sin 球面局地切平面 局地切平面问题的引入局地切变面近似局地切平面近似：在局地范围内，可以把球面视为平面，不考虑单位矢量 的空间变化，即0 dtkddtjddtidkji,矢量运动标量运动又称：z坐标系 o:地面区域中心z:垂直地面向上 (天顶方向）y:与经圈相切向北x:与纬圈相切指向东忽略地球的曲面性。适用于中低纬局忽略地球的曲面性。适用于

22、中低纬局部地区大气运动，不适用于靠近极地部地区大气运动，不适用于靠近极地区域区域sfsffufkfujfvwfiukujvwivukwujwviwvukjiVkjkwj vi uV451010292.7;sin2,cos2:)()()()cos2()sin2()sin2cos2()cos0sin0sincos(2sincos022sincos其中QdtdPPRTdtdTCRTPzwyvxuzwyvxutFgufzpzwwywvxwutwFfuypzvwyvvxvutvFfvwfxpzuwyuvxuutuPzyx0)(111u、v、w、p、T六个未知量，六个方程；闭合方程描述各种尺度的大气运动九

23、、初始条件和边界条件九、初始条件和边界条件 前面已介绍了描写大气运动的六个独立方程、（对于干空气来说），如果方程中摩擦力 及非绝热项 已知，该方程组含有 六个未知数，共有六个方程，该方程组是闭合的。方程组中 参数 ，作为已知的。上方程组中未包括水汽方程。这样只能研究没有相变的干空气。zyxFFF,QTpwvu,pCRgf,1.初始条件 要求解上述方程组还必须给出初始条件。其一般形式为：0,0,0,0,0,0,0zyxzyxTTzyxppzyxwwzyxvvzyxuut时其中，w和不是观测值，需要通过诊断方法获得。2.边界条件 边界条件又分为内边界条件和外边界条件（下、上边界条件和侧边界条件）。对于全球大气运动，一般只需给出上、下边界条件。下边界条件：下边界条件：地球表面（若不考虑大气的粘性，不考虑地表起伏，空气微团只沿地表滑行）z=0时，w0=0上边界条件：上边界条件：连续介质假设成立极限高度可视为大气上界。由于重力的作用，90%左右的大气质量集中在对流层中，因此可以认为大气上界无质量交换，上边界条件可写为：0wz时，02wz时，也有人倡导这样的上边界条件：即假定在大气上边界每单位体积中垂直运动动能趋于零。内边界与侧边界暂时省略。从数学观点来看，要注意边界条件与方程解的适定问题。适定问题适定问题：指给定初始边界条件下，闭合方程组是否有解，解是否唯一，稳定，即解的适定。