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1、随机过程与排队论随机过程与排队论2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰492上一讲内容回顾上一讲内容回顾 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望数学期望 方差方差 k阶矩阶矩 协方差协方差 条件数学期望条件数学期望 随机变量的特征函数随机变量的特征函数2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰493本讲主要内容本讲主要内容随机过程的基本概念随机过程的基本概念 随机过程的定义随机过程的定义 随机过程的分布随机过程的分布 随机过程的数字特征随机过程的数字特征重要随机过程重要随机过程 独立过程独立过程 独立增量过程独立增量过程202

2、2-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰494第二章第二章 随机过程的基本概念随机过程的基本概念v 随机过程的引入随机过程的引入v 随机过程的定义随机过程的定义v 随机过程的分布随机过程的分布v 随机过程的数字特征随机过程的数字特征v 几种重要的随机过程几种重要的随机过程2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰495一、随机过程的引入一、随机过程的引入 随机过程产生于二十世纪初，起源于统计物随机过程产生于二十世纪初，起源于统计物理学领域，布朗运动和热噪声是随机过程的最早理学领域，布朗运动和热噪声是随机过程的最早例子。随机过程理论例子。随机过

3、程理论社会科学社会科学、自然科学自然科学和和工程工程技术的各个领域技术的各个领域中都有着广泛的应用。例如：中都有着广泛的应用。例如：现现代电子技术代电子技术、现代通信现代通信、自动控制自动控制、系统工程的系统工程的可靠性工程可靠性工程、市场经济的预测和控制市场经济的预测和控制、随机服务随机服务系统的排队论系统的排队论、储存论储存论、生物医学工程生物医学工程、人口的人口的预测和控制预测和控制等等。等等。只要研究只要研究，就要用到随机过程的理论。，就要用到随机过程的理论。2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰496设有一个生物群体，由于繁殖而产生后代，设有一个生物群

4、体，由于繁殖而产生后代，对于固定的对于固定的n(n1)，令，令X(n,)表示第表示第n代生物群体代生物群体的个数，的个数，X(n,)是随机变量，可取非负整数值是随机变量，可取非负整数值0,1,2,，而，而X(n,),n=0,1,2,是一族随机变量，即是一族随机变量，即一个随机过程。一个随机过程。例例v电话问题电话问题设设X(t,)表示某电话台在表示某电话台在0,t)时间内收到用时间内收到用户的呼唤次数。对某个固定的户的呼唤次数。对某个固定的t(0 t)，X(t,)是一个随机变量，它可以是任意非负是一个随机变量，它可以是任意非负整数，随着时间整数，随着时间t的变化，就得到一族随机的变化，就得到一

5、族随机变量变量X(t,)，0 t，即一个随机过程。即一个随机过程。悬浮在液体中的微粒由于分子的随机碰撞而悬浮在液体中的微粒由于分子的随机碰撞而作布朗运动。设作布朗运动。设X(t,)表示时刻表示时刻t微粒所处位微粒所处位置的横座标，当置的横座标，当t变化时，变化时，X(t,)，0 t，是是一族随机变量一族随机变量，即一个随机过程。即一个随机过程。电子元件或器件由于内部电子的随机热运动电子元件或器件由于内部电子的随机热运动所引起的端电压所引起的端电压X(t,)称为热噪声电压。对称为热噪声电压。对于固定的于固定的t 0，X(t,)是一个随机变量，随着是一个随机变量，随着t的变化得到一族随机变量的变化

6、得到一族随机变量X(t,)，t 0，是，是一个随机过程。一个随机过程。v布朗运动布朗运动v热噪声热噪声v生物群体生物群体2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰497二、随机过程的定义二、随机过程的定义v 设设(,F,P)是一个概率空间，是一个概率空间，T是一个参数是一个参数集集(T R)，X(t,)，t T，是是T 上上的二元函数，如果对于每一个的二元函数，如果对于每一个t T，X(t,)是是(,F,P)上的随机变量，则称上的随机变量，则称随机随机变量族变量族X(t,)，t T为定义在为定义在(,F,P)上上的的随机过程随机过程(或或随机函数随机函数)。简记为。

7、简记为X(t)，t T，其中，其中t称为称为参数参数，T称为称为参数集参数集。2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰498样本函数与状态空间样本函数与状态空间v 随机过程随机过程X(t,)是定义在是定义在T 上的二元函上的二元函数数：一方面，：一方面，当当t T固定时，固定时，X(t,)是定是定义在义在上的随机变量上的随机变量；另一方面，；另一方面，当当固定时，固定时，X(t,)是定义在是定义在T上的函数上的函数，称为随机过程的称为随机过程的样本函数样本函数。v 随机过程在时刻随机过程在时刻t所取的值所取的值X(t)=x称为时称为时刻刻t时随机过程时随机过程X(

8、t),t T处于处于状态状态x，随，随机过程机过程X(t),t T所有状态构成的集合称所有状态构成的集合称为为状态空间状态空间，记为，记为E，即：，即：Ex：X(t)=x,t T2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰499随机过程的分类随机过程的分类1.按状态空间和参数集分类按状态空间和参数集分类按状态空间和参数集分类按状态空间和参数集分类独立过程独立过程独立增量过程独立增量过程正态过程正态过程泊松过程泊松过程参数集参数集T离散离散连续连续状态空间状态空间E离散离散(离散参数离散参数)链链(连续参数连续参数)链链连续连续随机序列随机序列随机过程随机过程维纳过程维

9、纳过程平稳过程平稳过程马尔可夫过程马尔可夫过程2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4910三、随机过程的分布三、随机过程的分布设设X(t),t T是一个随机过程，对于每一个是一个随机过程，对于每一个t T，X(t)是一个随机变量，它的分布函数是一个随机变量，它的分布函数F(t,x)PX(t)x，t T，x R=(-,+)称为称为随机过程随机过程X(t),t T的的一维分布函数一维分布函数。如果对于每一个如果对于每一个t T，随机变量，随机变量X(t)是连续型是连续型随机变量，存在非负可积函数随机变量，存在非负可积函数f(t,x)，使得，使得Rx,Tt,dy)y

10、,t(f)x,t(Fx 则称则称f(t,x)，t T,x R为随机过程为随机过程X(t),t T的的一一维概率密度维概率密度(函数函数)。此时。此时f(t,x)Fx(t,x)，t T，x R2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4911二维分布函数二维分布函数设设X(t),t T是一个随机过程，对任意是一个随机过程，对任意s,t T，(X(s),X(t)是一个二维随机变量，是一个二维随机变量，它的联合分布函数它的联合分布函数F(s,t;x,y)PX(s)x,X(t)y，t T，x R称为称为随机过程随机过程X(t),t T的的二维分布函数二维分布函数。2022-

11、7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4912二维概率密度二维概率密度如果如果(X(s),X(t)是连续型二维随机变量，是连续型二维随机变量，存在非负可积函数存在非负可积函数f(s,t;x,y)，使得，使得Ry,xTt,s,dvdu)v,u;t,s(f)y,x;t,s(Fxy 成立，则称成立，则称f(s,t;x,y)，s,t T，x,y R为随机为随机过程过程X(t),t T的的二维概率密度二维概率密度(函数函数)。此。此时时yx)y,x;t,s(F)y,x;t,s(f2 2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4913n维分布函数维分布函数

12、设设X(t),t T是一个随机过程，对任意是一个随机过程，对任意t1,t2,tn T，n维随机变量维随机变量(X(t1),X(t2),X(tn)的联合分布函数的联合分布函数F(t1,t2,tn;x1,x2,xn)PX(t1)x1,X(t2)x2,X(tn)xn，t1,t2,tn T，x1,x2,xn R称为称为随机过程随机过程X(t),t T的的n维分布函数维分布函数。2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4914n维概率密度维概率密度如果如果(X(t1),X(t2),X(tn)是连续型是连续型n维随机变量，维随机变量，存在非负可积函数存在非负可积函数f(t1,

13、t2,tn;x1,x2,xn)，使得，使得,dududu)u,u,u;t,t,t(f)x,x,x;t,t,t(F12nxnx2x1n21n21n21n21 t1,t2,tn T；x1,x2,xn R成立，则称成立，则称f(t1,t2,tn T；x1,x2,xn)为随机过程为随机过程X(t),t T的的n维概率密度维概率密度(函数函数)。此时。此时n21n21n21nn21n21xxx)x,x,x;t,t,t(F)x,x,x;t,t,t(f 2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4915n+m维联合分布函数维联合分布函数设设X(t),t T和和Y(t),t T是两

14、个随机过程，对任是两个随机过程，对任意意s1,s2,sn,t1,t2,tm T，把，把n+m维随机变量维随机变量(X(s1),X(s2),X(sn),Y(t1),Y(t2),Y(tm)的联合分布函数的联合分布函数FXY(s1,s2,sn,t1,t2,tm;x1,x2,xn,y1,y2,yn)PX(s1)x1,X(s2)x2,X(sn)xn,Y(t1)y1,Y(t2)y2,Y(tm)ym，t1,t2,tn T，x1,x2,xn R称为称为随机过程随机过程X(t),t T和和Y(t),t T的的n+m维联合分布维联合分布函数函数。2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小

15、丰4916n+m维联合概率密度维联合概率密度),y,y,x,;x,t,t,s,(sFm1n1m1n1XY成立，则称成立，则称fXY(s1,s2,sn,t1,t2,tm;x1,x2,xn,y1,y2,ym)为随机过程为随机过程X(t),t T和和Y(t),t T的的n+m维联合概率密维联合概率密度度(函数函数)。如果如果(X(s1),X(s2),X(sn),Y(t1),Y(t2),Y(tm)是是连续型连续型n+m维随机变量，存在非负可积函数维随机变量，存在非负可积函数fXY(s1,s2,sn,t1,t2,tm;x1,x2,xn,y1,y2,ym)，使得使得 1n1mxxyym1n1XY;,t,t

16、,s,(sfm1n1m1n1dvdvdu)du,v,v,u,u2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4917相互独立的随机过程相互独立的随机过程设设X(t),t T和和Y(t),t T是两个随机过程，如果对是两个随机过程，如果对任意任意n,m 1，其其n+m维联合分布满足维联合分布满足FXY(s1,s2,sn,t1,t2,tm;x1,x2,xn,y1,y2,yn)FX(s1,s2,sn;x1,x2,xn)FY(t1,t2,tm;y1,y2,yn)或者其或者其n+m维联合概率密度满足维联合概率密度满足fXY(s1,s2,sn,t1,t2,tm;x1,x2,xn,y

17、1,y2,yn)fX(s1,s2,sn;x1,x2,xn)fY(t1,t2,tm;y1,y2,yn)则称则称随机过程随机过程X(t),t T和和Y(t),t T的的相互独立相互独立。2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4918n维特征函数维特征函数随机过程随机过程X(t),t T的的n维特征函数维特征函数定义为定义为(t1,t2,tn;u1,u2,un)Ee)X(tu)X(tu)X(tiunn2211 称称(t1,t2,tn;u1,u2,un)，t1,t2,tn T，n 1为随机过程为随机过程X(t),t T的的有限维特征函数族有限维特征函数族。2022-7-

18、22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4919例例1利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程 21,t2,tcos),t(X)t(X出现反面出现反面出现正面出现正面假定假定“出现正面出现正面”和和“出现反面出现反面”的概率的概率各为各为0.5，试求：，试求：X(t)的一维分布函数的一维分布函数F(0.5,x)和和F(1,x)；1.X(t)的二维分布函数的二维分布函数F(0.5,1;x,y)。2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4920例例1(续续1)解解：1.由由X(t)的定义求得概率分布为：的定义求得概率分布

19、为：X(0.5)01X(1)-12P0.50.5P0.50.5所以一维分布函数为：所以一维分布函数为：x111x05.00 x0 x)5.0(XP)x,5.0(F x212x15.01x0 x)1(XP)x,1(F2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4921例例1(续续2)2.由于掷硬币试验是相互独立的，故由于掷硬币试验是相互独立的，故(X(0.5),X(1)的联合概率密度为：的联合概率密度为：X(1)X(0.5)-1200.250.2510.250.25所以二维分布函数为：所以二维分布函数为：y2x11)2y1,1x(or)2y,1x0(5.02y1,1x0

20、25.0)1y(or)0 x(0y)1(X,x)5.0(XP)y,x;1,5.0(F，2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4922四、随机过程的数字特征四、随机过程的数字特征给定随机过程给定随机过程X(t),t T，称，称m(t)EX(t)，t T为随机过程为随机过程X(t),t T的的均值函数均值函数(数学期望数学期望)。若若X(t),t T的状态空间是离散的，则的状态空间是离散的，则X(t),t T是离散型随机变量，是离散型随机变量，X(t)的概率分布为的概率分布为pk(t)PX(t)=Xk，k=1,2,，则，则 1kkk)t(px)t(XE)t(m dx

21、)x,t(xf)t(XE)t(m若若X(t),t T的状态空间是连续的，则的状态空间是连续的，则X(t),t T是连续型随机变量，是连续型随机变量，X(t)的一维概率密度为的一维概率密度为f(t,x)为，则为，则2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4923方差函数方差函数给定随机过程给定随机过程X(t),t T，称，称D(t)DX(t)EX(t)m(t)2，t T为随机过程为随机过程X(t),t T的的方差函数方差函数。显然，。显然，D(t)EX(t)m(t)2EX2(t)m2(t)。称称为随机过程为随机过程X(t),t T的的均方差函数均方差函数(标准标准方

22、差函数方差函数)。若若X(t),t T是离散型随机变量，是离散型随机变量，X(t)的概率分布为的概率分布为pk(t)PX(t)=Xk，k=1,2,，则，则 1kk2k2)t(p)t(mx()t(m)t(XE)t(D dx)x,t(f)t(mx()t(m)t(XE)t(D22若若X(t),t T是连续型随机变量，是连续型随机变量，X(t)的一维概率密度为的一维概率密度为f(t,x)为，则为，则)t(D)t(2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4924协方差函数和相关函数协方差函数和相关函数给定随机过程给定随机过程X(t),t T，称，称C(s,t)cov(X(s

23、),X(t)EX(s)m(s)X(t)m(t)为随机过程为随机过程X(t),t T的的协方差函数协方差函数。显然，。显然，C(s,t)EX(s)X(t)m(s)m(t)，C(t,t)D(t)EX(t)m(t)2。给定随机过程给定随机过程X(t),t T，称，称R(s,t)EX(s)X(t)为随机过程为随机过程X(t),t T的的相关函数相关函数。显然，。显然，C(s,t)R(s,t)m(s)m(t)，R(s,t)C(s,t)m(s)m(t)给定随机过程给定随机过程X(t),t T，称，称)t(D)s(D)t(X),s(Xcov()t()s()t,s(C)t,s(为随机过程为随机过程X(t),t

24、 T的的相关系数相关系数。2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4925互协方差函数和互相关函数互协方差函数和互相关函数给定两个随机过程给定两个随机过程X(t),t T和和Y(t),t T，称，称CXY(s,t)EX(s)mX(s)Y(t)mY(t)，s,t T为随机过程为随机过程X(t),t T和和Y(t),t T的的互协方差函数互协方差函数。其中：其中：mX(s)EX(s)，mY(t)EY(t)。称。称RXY(s,t)EX(s)Y(t)为随机过程为随机过程X(t),t T和和Y(t),t T的的互相关函数互相关函数。显然，显然，CXY(s,t)RXY(s,t

25、)mX(s)mY(t)。如果如果CXY(s,t)0，等价地，等价地RXY(s,t)mX(s)mY(t)，即，即EX(s)Y(t)EX(s)EY(t)，则称，则称X(t),t T和和Y(t),t T互不相关互不相关。如果随机过程如果随机过程X(t),t T和和Y(t),t T相互独立，则它相互独立，则它们一定互不相关；反之，如果随机过程们一定互不相关；反之，如果随机过程X(t),t T和和Y(t),t T互不相关，一般不能推出它们相互独立。互不相关，一般不能推出它们相互独立。2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4926例例1给定随机过程给定随机过程X(t),t0

26、，X(t)X0Vt，t0其中其中X0与与V是相互独立的随机变量，它们都服从是相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1)。求。求其数字特征和一、二维概率密度。其数字特征和一、二维概率密度。解解1.均值函数均值函数m(t)EX(t)=E(X0)tE(V)0；2.方差函数方差函数D(t)EX2(t)-m2(t)=E(X0Vt)2-0E(X02)2tE(X0V)+t2E(V2)1+t2；3.一维概率密度一维概率密度因为因为X0与与V相互独立且都服从相互独立且都服从N(0,1)，故故X(t)X0Vt服从正态分布服从正态分布N(0,1+t2)，所以，所以X(t),t0的的一维概率密度为：一维概率密度为：x

27、,0t,e)t1(21)x,t(f)t1(2x2222022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4927例例1(续续1)4.协方差函数与相关函数协方差函数与相关函数因为因为m(t)=0，所以，所以C(s,t)R(s,t)EX(s)X(t)EX0VsX0VtEX02+(s+t)EX0V+stEV21+st因为因为X0与与V相互独立且服从相互独立且服从N(0,1)，记，记 tVX)t(XsVX)s(X00 VXt1s1)t(X)s(X0 1001,00NVX0从而从而(X(s),X(t)N(,C)，其中，其中均值均值=(m(s),m(t)T=(0,0)T，协方差矩阵协方差

28、矩阵C 22t1st1st1s1)t,t(C)t,s(C)t,s(C)s,s(C2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4928例例1(续续2)5.5.二维概率密度二维概率密度 yxC)y,x(21211eC21)y,x;t,s(fy)s1(xy)st1(2x)t1()ts(2122222ets21 2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4929例例2随机相位正弦波随机相位正弦波X(t)cos(t)，-t+其中其中,为常数，为常数，是在是在0,2 上均匀分布上均匀分布的随机的随机变量。求变量。求X(t),-t+的均值函数、方差函的均

29、值函数、方差函数、相关函数、协方差函数。数、相关函数、协方差函数。解解 的的概率密度概率密度为为1.均值函数均值函数m(t)EX(t)其它。其它。，,020,21)(f0d21)tcos(d)(f)t(x20 2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4930例例2(续续1)2.2.相关函数相关函数)t(X)s(XE)t,s(R 202d21)tcos()scos(202d)2)st(cos()st(cos212)st(cos22 2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4931例例2(续续2)3.协方差函数协方差函数)st(cos2)

30、t(m)s(m)t,s(R)t,s(C2 4.方差函数方差函数2)t,t(C)t(D2 2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4932五、重要随机过程五、重要随机过程1.独立过程独立过程给定随机过程给定随机过程X(t),t T，如果对，如果对任意正整数任意正整数n及及任意任意t1,t2,tn T，随机变量，随机变量X(t1),X(t2),X(tn)相互独立，则称随机过程相互独立，则称随机过程X(t),t T为为独立过程独立过程。特别，如果特别，如果X(n),n=1,2,3,是是相互独立的相互独立的随机随机变量变量，则称，则称X(n),n=1,2,3,为为独立随机

31、序列独立随机序列。独立过程的独立过程的n维概率分布由一维概率分布确定：维概率分布由一维概率分布确定：n1kkk1n21n21n)x;t(F)x,x,x;t,t,t(F2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4933例例如果如果X(n),n=1,2,3,是是相互独立的伯努利相互独立的伯努利随机随机变量变量，它们的概率分布律为，它们的概率分布律为X(n)010p1n=1,2,3,PqpP+q=1则称则称X(n),n=1,2,3,为伯努利为伯努利随机序列。随机序列。伯努利伯努利随机随机序列是一个随机随机序列是一个独立独立随机序列。其随机序列。其均值均值EX(n)=p，方

32、差方差DX(n)=pq，相关函数相关函数协方差函数协方差函数 nm,pnm,p)n(X)m(XE)n,m(R2 nm,pqnm,0)n(XE)m(XE)n,m(R)n,m(C2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰49342.独立增量过程独立增量过程设随机过程设随机过程X(t),t T，T0,+)，如果对任意正整数如果对任意正整数n 2，t1,t2,tn T且且t1t20,s+h,t+h TX(t+h)-X(s+h)与与X(t)-X(s)有相同的概率分布，则称有相同的概率分布，则称X(t),t T为为平稳独立平稳独立增量过程增量过程。平稳独立增量过程平稳独立增量过

33、程X(t),t T的增量的增量X(t+)-X(t)，t T,t+T的概率分布仅依赖于的概率分布仅依赖于 而与而与t无关，即仅与时间区无关，即仅与时间区间的长度有关，而与起点无关，具有间的长度有关，而与起点无关，具有平稳性平稳性，即，即增量具有平稳性增量具有平稳性。2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4936例例设设X(n),n=1,2,3,是是独立独立随机序列，随机序列，则则Y(n),n=0,1,2,是独立增量过程是独立增量过程。若若X(n),n=1,2,3,是相互是相互独立且同分布的独立且同分布的随机变量，且随机变量，且0)0(X,)k(X)n(Yn0k 则

34、则Y(n),n=0,1,2,是平稳独立增量过程是平稳独立增量过程。0)0(X,)k(X)n(Yn0k 2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4937例例设设X(n),n=1,2,3,是相互是相互独立独立同分布的同分布的伯努利伯努利随机随机变量序列变量序列X(n)010ps，否则变形为，否则变形为EX(s)-X(t)+X(t)X(t)-m(s)m(t)EX(t)-X(s)EX(s)+EX2(s)-m(s)m(t)m(t-s)m(s)+D(s)-m2(s)-m(s)m(t)a(t-s)as+2s-a2s2-a2stts 2s2022-7-22计算机科学与工程学院顾小

35、丰计算机科学与工程学院顾小丰4943证明证明(续续3)2.任取任取t1t2-，PX(a)=01。因为增量。因为增量X(t2)-X(t1)的分布的分布与与X(t2-t1+a)-X(a)与与X(t2-t1)的分布相同，所以的分布相同，所以实际上只要知道实际上只要知道X(t)的一维分布就可以推出它的一维分布就可以推出它的有限维分布。的有限维分布。2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4947本讲主要内容本讲主要内容随机过程的基本概念随机过程的基本概念 随机过程的定义随机过程的定义 随机过程的分布随机过程的分布 随机过程的数字特征随机过程的数字特征重要随机过程重要随机过程 独立过程独立过程 独立增量过程独立增量过程2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4948下一讲内容预告下一讲内容预告 正态过程正态过程 维纳过程维纳过程2022-7-22计算机科学与工程学院顾小丰计算机科学与工程学院顾小丰4949P66691.9.15.19.习习题题二二