欧式期权定价课件.ppt
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1、期权市场概述期权市场概述 金融期权(金融期权(Option),是指赋予其购买者在规定期限,是指赋予其购买者在规定期限内按双方约定的价格(简称协议价格内按双方约定的价格(简称协议价格Striking Price)或)或执执行价格行价格(Exercise Price)购买或出售一定数量和质量某种)购买或出售一定数量和质量某种金融资产(称为潜含金融资产金融资产(称为潜含金融资产 Underlying Financial Assets,或或标的资产标的资产)的权利的合约。)的权利的合约。(一)金融期权合约的定义(一)金融期权合约的定义 例如例如,一个投资者购买一份基于,一个投资者购买一份基于DELL股
2、票的期权股票的期权合约,该期权合约规定,投资者在支付合约,该期权合约规定,投资者在支付140美元的期权费美元的期权费之后,就可以获得在一个月后以之后,就可以获得在一个月后以32.5美元美元/每股的价格买每股的价格买入入100股股DELL股票的权利。股票的权利。到时候,如果到时候,如果DELL股票的价格高于股票的价格高于32.5美元,这个美元,这个投资者就可以执行期权,以投资者就可以执行期权,以32.5美元美元/每股的价格买入每股的价格买入100股股DELL股票,从中获利,显然这时股票,从中获利,显然这时DELL股票价格越高股票价格越高越好;如果越好;如果DELL股票价格低于股票价格低于32.5
3、美元,该投资者就可美元,该投资者就可以放弃执行期权,他的全部损失就是最初支付的每股以放弃执行期权,他的全部损失就是最初支付的每股1.4美元的期权费。美元的期权费。而对于这个期权的卖方来说,如果到期时而对于这个期权的卖方来说,如果到期时DELL股股票的价格高于票的价格高于32.5美元,期权买方必然执行期权,他就美元,期权买方必然执行期权,他就必须以必须以32.5的价格卖出的价格卖出100股股DELL股票,遭受损失;如股票,遭受损失;如果果DELL股票价格低于股票价格低于32.5美元,期权买方必然放弃执行美元,期权买方必然放弃执行期权,期权卖方的全部收入就是最初支付的每股期权,期权卖方的全部收入就
4、是最初支付的每股1.4美元美元的期权费。的期权费。可见,期权卖方通过获得一定的期权费收入,承担可见,期权卖方通过获得一定的期权费收入,承担了可能会有的所有损失。这一协议乍看之下不太合理,了可能会有的所有损失。这一协议乍看之下不太合理,但事实上市场是公平的,期权费的设定是通过对未来价但事实上市场是公平的,期权费的设定是通过对未来价格变化概率的精密计算得出的,在正常情形下足以弥补格变化概率的精密计算得出的,在正常情形下足以弥补期权卖方所承担的一般损失。期权卖方所承担的一般损失。按期权买者的权利划分,期权可分为看涨期权按期权买者的权利划分,期权可分为看涨期权(Call Option)和看跌期权()和
5、看跌期权(Put Option)。)。看涨期权看涨期权(call option):持有者有权在确定时间,按持有者有权在确定时间,按确定的价格购入一定数量和质量的原生资产的合约。确定的价格购入一定数量和质量的原生资产的合约。(买权)(买权)看跌期权看跌期权(put option):持有者有权在确定时间,按持有者有权在确定时间,按确定的价格出售一定数量和质量的原生资产的合约。确定的价格出售一定数量和质量的原生资产的合约。(卖权)(卖权)(二)期权的分类(二)期权的分类 按期权买者执行期权的时限(实施条款)划分,期按期权买者执行期权的时限(实施条款)划分,期权可分为欧式期权和美式期权。权可分为欧式期
6、权和美式期权。欧式期权欧式期权(European options):只能在合约规定的到只能在合约规定的到期日实施。期日实施。美式期权(美式期权(American options):能在合约规定的到能在合约规定的到期日以前(包括到期日)的任何一个工作日实施。期日以前(包括到期日)的任何一个工作日实施。按照期权合约的标的资产划分,金融期权合约可分按照期权合约的标的资产划分,金融期权合约可分为为利率期权、货币期权利率期权、货币期权(或称外汇期权)、(或称外汇期权)、股价指数期股价指数期权、股票期权权、股票期权以及以及金融期货期权,金融期货期权,而金融期货又可分为而金融期货又可分为利率期货、外汇期货和
7、股价指数期货三种。利率期货、外汇期货和股价指数期货三种。对于期权的买者来说,期权合约赋予他的只有权利,而对于期权的买者来说,期权合约赋予他的只有权利,而没有任何义务。没有任何义务。作为给期权卖者承担义务的报酬,期权买者要支付给期作为给期权卖者承担义务的报酬,期权买者要支付给期权卖者一定的费用,称为期权费(权卖者一定的费用,称为期权费(Premium)或期权价格)或期权价格(Option Price)。期权费视期权种类、期限、标的资产价)。期权费视期权种类、期限、标的资产价格的易变程度不同而不同。格的易变程度不同而不同。期权的实质仍然是:在支付了一定的期权费之后,期权期权的实质仍然是:在支付了一
8、定的期权费之后,期权赋予了其持有者(购买方)做某件事情的权利,但持有者却赋予了其持有者(购买方)做某件事情的权利,但持有者却不一定要行使这个权利。不一定要行使这个权利。(三)期权双方的权利和义务(三)期权双方的权利和义务(四)到期日期权的收益(期权的价值):(四)到期日期权的收益(期权的价值):()TTVSK-看涨期权看涨期权()TTVKS-看跌期权看跌期权其中其中K-敲定价格敲定价格T-原生资产在到期日的价格原生资产在到期日的价格TS-到期日到期日 期权金:期权金:期权是一种未定权益,具有价值,为获得这个未期权是一种未定权益,具有价值,为获得这个未定权益所需要付出的代价称为期权金。定权益所需
9、要付出的代价称为期权金。到期日期权的持有人到期日期权的持有人(购买者或多头购买者或多头)的总收益的总收益TP()TTPSKp-看涨期权看涨期权()TTPKSp-看跌期权看跌期权p-期权金期权金到期日期权的出售人到期日期权的出售人(空头空头)的总收益的总收益()TTPpSK-看涨期权看涨期权()TTPpK S-看跌期权看跌期权pKTSTP购买购买(持有持有)欧式看涨期权欧式看涨期权的收益的收益(欧式看涨期权的多头欧式看涨期权的多头)TSTPKp购买购买(持有持有)欧式看跌期权的收益欧式看跌期权的收益(欧式看跌期权的多头欧式看跌期权的多头)KTSTPp出售欧式看涨期权的收益出售欧式看涨期权的收益(
10、欧式看涨期权的空头欧式看涨期权的空头)TSTPKp出售欧式看跌期权的收益出售欧式看跌期权的收益(欧式看跌期权的空头欧式看跌期权的空头)期权定价问题就是求期权定价问题就是求(,)ttVV S t使得使得()(,)()TTTTSKVV STKS-看涨期权看涨期权-看跌期权看跌期权特别当特别当0t 时时,股票价格为股票价格为0S问问0(,0)?pV S()0t 时期权的价格时期权的价格(五)期权定价(五)期权定价欧式期权定价欧式期权定价-Black-Schole公式公式一、一、Black-Schole方程方程基本假设基本假设(a)原生资产价格演化遵循几何Brown运动tttdSdtdWS(b)无风险
11、利率r是常数,(c)原生资产不支付股息,(d)不支付交易费和税收,(e)不存在套利机会.,VV S t是期权的价格,则在期权的到期日时,SKV S TKS看涨期权看跌期权构造投资组合VS 选取适当的使得在,t tdt时段内,是无风险的。tt dtttdrdt tttttddVdSr VSdt 由Ito公式222212ttVVVVdVSSdtSdWtSSS无套利原理代入上式得222212tVVVVSSS dtSS dWtSSSr VS dt由于等式右端是无风险的,因此等式左端随机项dWt的系数必为0,即选取VS 消去dt后得到2222102VVVSrSrVtSSBlack-Schole方程确定期
12、权的价值,V S t就是要在区域:0,0StT 上求解如下定解问题2222102VVVSrSrVtSSt TSKVKS看涨期权看跌期权二、二、Black-Schole公式公式 1 1、先作如下变换,将、先作如下变换,将Black-ScholeBlack-Schole方程化为常系数抛物型方程化为常系数抛物型方程的初值问题(方程的初值问题(CauchyCauchy问题)令问题)令ln,xSTt原方程变为原方程变为22221022,0VVVrrVxxxT0 xxeKVKe看涨期权看跌期权方程(1)2、定理、定理(Poisson公式)齐次热传导方程公式)齐次热传导方程 2220,0uuatxu xx的
13、解为的解为 2241,2xa tu x tedat Poisson公公式式 3 3、将方程(、将方程(1 1)变为热传导方程)变为热传导方程作函数变换作函数变换,xVxuxe则则22xxxxxxxxxxVeuuVeuuVeuuu将它们代入方程(将它们代入方程(1 1)有)有22222202222xxxuururru 令令2222202022rrr 即即222222222112212222rrrrrr 则方程(则方程(1 1)化为如下热传导方程形式)化为如下热传导方程形式2220002xxxuuxueVeeK看涨期权的边界条件4 4、求方程的解析解、求方程的解析解 由由PoissonPoisso
14、n公式有公式有22222222ln12ln1,21212xxKxKu xeeKedeeK edeKeed 2222222222112221122122ln12,1()2rrrxxxrrrxKV xu xeeu xeeKeedII 22222222211221221ln122ln1212xrrrxKxrrKIeeedee e d 令令22xr 则则222222221ln2221ln2222rxrxKrxxKreIeedeed 再令再令2dd 则则222221ln2211ln22212121ln2xxKrxKrxxxeIedeede NxKre N d 211ln2dxKr 22222211222
15、22ln1()2xrrrxKIeKeed 同理同理2222221222lnln2222221ln2xrrKrxKrrrKIeedeKedKeNxKrKeNd 2211ln2dxKrd 变回原变量,有变回原变量,有2212lnln()2,()lnln()2()r Ttr TtSKrTtVS tSNTtSKrTtKeNTtSNdKeNd欧式看涨期权的定价公式其中其中2121lnln()2SKrTtdTtddTt利用欧式看涨期权与看跌期权的平价公式利用欧式看涨期权与看跌期权的平价公式2111r T tr T ttttpcKeSKeN dSN d以及以及111N dNd有欧式看跌期权定价公式为有欧式看
16、跌期权定价公式为21,r T tV S tKeNdSNd三、三、Black-Schole公式的风险中性定价方法公式的风险中性定价方法1、对数正态分布的密度函数、对数正态分布的密度函数定理定理 设设2,Ne 则则的密度函数为的密度函数为 22ln21,020,0 xexPxxx2、股票价格、股票价格S(t)满足的随机微分方程的解满足的随机微分方程的解定理定理 若股票价格若股票价格S(t)S(t)满足如下随机微分方程满足如下随机微分方程ttd Srd td Wd t则则22TtrTtWWTtSS e3、ST的密度函数的密度函数222lnln2,2TtTtSSrTtWWNrTtTtST的密度函数为的
17、密度函数为 222lnln221,020,0txSrT tT tP xexxTtx4、风险中性定价方法、风险中性定价方法,r T tQTV S teESK222222222ln22ln22ln221212122xrT tST tQTKxrT tST tKxrT tST tKESKxKedxxTtedxTtKedxxTtII22222222ln2121ln22ln212ln22ln12121212xrTtSTtKySrTtTt yKrTtSTtyTtr TtKrTtSTtur TtKrSIedxTteedySeedySeedu22TtTt2ln2xrT tSyT tyTtu 22ln22112K
18、rTtSur TtTtr TtSeeduSeN d21ln2SrTtKdTt222ln2222xrT tST tKKIedxxTt2222222lnln222lnln22122lnln()()21ln2lnln2121212xSrT tT tKxSrT tT tKuKSrT tT tIKedxTtxSrTtKedTtKeduK2222lnln()()lnln()()2222212KSrT tSKrT tuuT tT teduKeduKN d所以所以()()()12()12,r TtQTr Ttr Ttr TtV S teESKeSeN dKN dSN dKeN d五、五、Black-Schol
19、e模型的推广(模型的推广(1)-支付红利支付红利基本假设1,原生资产的价格适合随机微分方程2,无风险利率r=r(t),3,原生资产连续支付股息(红利)红利率是q(t),4,不支付交易费和税收,5,不存在套利机会.tttdSt dtt dWS(一)构造投资组合(一)构造投资组合VS 选取 ,使得 在t,t+dt内无风险,则 t dtttt dtt dtttttt dtt dttt dtttttt dttttt dtttt dtttttttttttttttttttrdtVS q dtSVS q dtSVSVVSSS q dtdVdSS q dtrdtdVdSrdtS q dt 利用Ito公式,取t
20、VS 得 222202tVVVSr tq tSr t VtSS有红利情况下的期权定价的Black-Scholes方程(二)方程的求解(二)方程的求解 222202,0t TtVVVSr tq tSr t VtSSVSKS 1,作变换消除方程中包含 和V的项,设VS ,tttttttttttttttttuVeySeV S tu y t eSyeVu yuu y teu eeeut etyttuuSet eeut eytuuyt eeut eyt 222222,ttVuVuSyeSyeSySy代入方程,消去 ,得到 te 2222020,0,0,TTtttuuyyr tq ttyr ttutytt
21、r tq tr ttTTtrqdtrd 令得原方程可化为 222202tt Tt TtuuytyuVeyK2,再作变换消去 ,取 2t 2022220102tTTtduuyyTt dtuyK3,应用,应用Black-Scholes公式(其中公式(其中 )得)得1,0,rTT t 12121,1ln2u yyN dKN dyTKdTddT其中4,代回到原变量得到欧式看涨期权的定价公式,代回到原变量得到欧式看涨期权的定价公式 1212212221,ln2TTttttqdrdTtTtTtVS teSeNdKNdSeNdKeNdSrqdKddddd其中(三)看涨(三)看涨看跌平价公式看跌平价公式定理定
22、理5.1:设 ,分别全具有相同敲定价K,到期日T的欧式看涨与看跌期权的定价,其中无风险利率r=r(t),红利率q=q(t),波动率 ,则看涨看跌平价公式为,c S t,p S t t ,TTttrdqdc S tKep S tSePr,oofW S tc S tp S tW S TSKKSSK令所以,W是下面定解问题的解 222202,0t TtWWWSr tq tSr t WtSSWSKS 设 W a t S b t K是方程的解,把W代入方程,得 00,0,0,1,TTttTTttqdrdqdrda t Sb t Kr tq tSa tr ta t Sb t Ka tr tq ta tr
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