机械工程控制基础ppt课件-第2章：-系统的数学模型-.ppt

1、第二章第二章 系统的数学模型系统的数学模型2.1 系统的微分方程系统的微分方程2.2 系统的传递函数系统的传递函数2.3 系统的传递函数方框图及其简化系统的传递函数方框图及其简化2.4 反馈控制系统的传递函数反馈控制系统的传递函数2.5 相似原理相似原理数学模型定义数学模型定义：数学模型是描述系统输入、输出量以及数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。的内在关系。描述控制系统在动态过程中各变量描述控制系统在动态过程中各变量之间的数学表达式之间的数学表达式

2、 数学模型的形式数学模型的形式 时间域：时间域：微分方程组、差分方程、状微分方程组、差分方程、状态方程态方程 复数域：复数域：传递函数、结构图传递函数、结构图 频率域：频率域：频率特性频率特性 能用线性微分方程描述的系统称为线性能用线性微分方程描述的系统称为线性系统系统 线性微分方程的系数为常数，称为线性线性微分方程的系数为常数，称为线性定常系统定常系统线性定常系统线性定常系统线性时变系统线性时变系统系统数学模型系统数学模型线性系统线性系统非线性系统非线性系统)()(2)(4)(2)(300202txdttdxtxdttdxdttxdii 线线性性定定常常系系统统：)()(2)(4)(2)(3

3、00202txdttdxtxdttdxdttxdtii 线性时变系统：线性时变系统：)()(2)(4)(2)(3020202txdttdxtxdttdxdttxdii 非非线线性性系系统统：线性（叠加）定理线性（叠加）定理：系统总的输出为单个输入产生的输系统总的输出为单个输入产生的输出的线性叠加出的线性叠加xi2(t)xo2(t)系统系统xi1(t)xo1(t)系统系统xi1(t)+xi2(t)xo1(t)+xo2(t)建立数学模型的方法建立数学模型的方法1、分析法分析法根据系统和元件所遵循的物理或化学定根据系统和元件所遵循的物理或化学定律来推导出数学表达式，从而建立数学律来推导出数学表达式，

4、从而建立数学模型模型2、实验法、实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为逼近。这种方法也称为系统辨识系统辨识。所谓合理的数学模型是指它具有最简化所谓合理的数学模型是指它具有最简化的形式，但又能正确地反映所描述系统的形式，但又能正确地反映所描述系统的特性。的特性。在工程上，常常是做一些必要的假设和在工程上，常常是做一些必要的假设和简化，忽略系统特性影响小的因素，并简化，忽略系统特性影响小的因素，并对一些非线性关系进行线性化，建立一对一些非线性关系进行线性化，建立一个比较纯粹的

5、近似数学模型。个比较纯粹的近似数学模型。2.1 系统的微分方程系统的微分方程一、系统微分方程的列写一、系统微分方程的列写1、机械平移系统、机械平移系统 三要素：质量、阻尼、弹簧三要素：质量、阻尼、弹簧 ma=fi(t)质量质量mfm(t)参考点参考点x(t)v(t)22)()(dttxdmmatfm 弹簧弹簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)ttKdttvKdttvtvKtKxtxtxKtf)()()()()()()(2121阻尼阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)dttdxCdttdxdttdxCtCvtvtvCtfC)()()()(

6、)()()(2121 例：一机械系统如图所示，试列出其微分方程例：一机械系统如图所示，试列出其微分方程mkcf(t)y(t)CkFFtfdttydm )()(22mFk(t)Fc(t)f(t)0)(tykFK0)(dttdycFC ky(t)Fk(t)cy(t)Fc(t)CkFFtfdttydm )()(220)(tykFK0)(dttdycFC dttdyctkytfdttydm)()()()(22 微分方程标准形式：微分方程标准形式：等号左边：与输出有关的信息等号左边：与输出有关的信息 等号右边：与输入有关的信息等号右边：与输入有关的信息 各项元素按降阶排列各项元素按降阶排列)()()()

7、(22tftkxdttdxcdttxdm mkcf(t)x(t)mf(t)f1122)()(ftfdttxdm ckfff 1)()(11dttdxdttdxcf )(11tkxf )()()()()(tftfkctxctxmtxkm kcf1f1x1(t)x(t)例例例例mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)机械平移系统及其力学模型机械平移系统及其力学模型fC(t)静止（平衡）静止（平衡）工作点作为零工作点作为零点，以消除重点，以消除重力的影响力的影响 )()()()()()()()(22txdtdCtftKxtftxdtdmtftftfoCoKoKCi)(

8、)()()(22tftKxtxdtdCtxdtdmiooo )(0dtdxdtdxcFic 例例mx0 xick1k2)(011xxkFik 21202kckFFFdtxdm )0(022 xkFkiixkdtdxcxkkdtdxcdtxdm10210202)(2、机械旋转系统机械旋转系统K i(t)o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液体粘性液体齿轮齿轮JJ 旋转体转动惯量；旋转体转动惯量；K 扭转刚度系数；扭转刚度系数；C 粘性阻尼系数粘性阻尼系数柔性轴柔性轴 )()()()()()()()(22tTtTtdtdJtdtdCtTttKtTCKooCoiK )()()()(22tKtKtd

9、tdCtdtdJiooo 3、无源网络、无源网络 三要素：电阻、电容、电感三要素：电阻、电容、电感 主要掌握：电压电流关系主要掌握：电压电流关系 电阻电阻Ri(t)u(t)()(tRitu 电容：电容：电感电感Ci(t)u(t)dttiCtu)(1)(Li(t)u(t)dttdiLtu)()(例：例：uiRCLu00uuuuCRi iRuR idtCuC1dtdiLu 0 dtuLi01 0001udtuLCdtuLRui2200202)()(1)()(dttudtuLCdttduLRdttudi 例例uiC1RC2u0i1i2i02uRiui 0111udtiCui idtCu20121ii

10、i Ruuii02 )(011dtdudtduCii dtduCi02 iiuRdtduCuRdtduCC11)(10021 列写方程的一般步骤：列写方程的一般步骤：（1）分析系统，确定系统或各元件的输入）分析系统，确定系统或各元件的输入量、输出量量、输出量（2）按照信号的传递顺序，从系统的输入）按照信号的传递顺序，从系统的输入端开始，根据各变量所遵循的运动规律，端开始，根据各变量所遵循的运动规律，列写出在运动过程中的各个环节的动态列写出在运动过程中的各个环节的动态微分方程；（注意列写时按工作条件，微分方程；（注意列写时按工作条件，忽略一些次要因素，并对非线性项进行忽略一些次要因素，并对非线性

11、项进行线性化处理）线性化处理）（3）消除所列各微分方程的中间变量，得）消除所列各微分方程的中间变量，得到描述系统的输入量、输出量之间关系到描述系统的输入量、输出量之间关系的微分方程；的微分方程；（4）整理所得微分方程，一般将与输出量）整理所得微分方程，一般将与输出量有关的各项放到方程左侧，与输入量有有关的各项放到方程左侧，与输入量有关的各项放到方程的右侧，各阶导数项关的各项放到方程的右侧，各阶导数项按降幂排列。按降幂排列。二、非线性微分方程的线性化二、非线性微分方程的线性化1、线性化问题的提出、线性化问题的提出 非线性现象：非线性现象：机械系统中的高速阻尼器，机械系统中的高速阻尼器，阻尼力与速

12、度的平方成反比；齿轮啮合阻尼力与速度的平方成反比；齿轮啮合系统由于间隙的存在导致的非线性传输系统由于间隙的存在导致的非线性传输特性；具有铁芯的电感，电流与电压的特性；具有铁芯的电感，电流与电压的非线性关系等。非线性关系等。线性化：线性化：在一定条件下作某种近似或缩在一定条件下作某种近似或缩小系统工作范围，将非线性微分方程近小系统工作范围，将非线性微分方程近似为线性微分方程进行处理。似为线性微分方程进行处理。线性化的提出线性化的提出 线性系统是有条件存在的，只在一定的线性系统是有条件存在的，只在一定的工作范围内具有线性特性；工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的；非线性系统的

13、分析和综合是非常复杂的；对于实际系统而言，在一定条件下，采对于实际系统而言，在一定条件下，采用线性化模型近似代替非线性模型进行用线性化模型近似代替非线性模型进行处理，能够满足实际需要。处理，能够满足实际需要。2、非线性数学模型的线性化、非线性数学模型的线性化（1）泰勒级数展开法泰勒级数展开法 函数函数y=f(x)在其平衡点（在其平衡点（x0,y0）附近的泰）附近的泰勒级数展开式为勒级数展开式为：3003320022000)()(!31)()(!21)()()()(xxxxdxxfdxxxxdxxfd xxxxdxxdfxfxfy略去含有高于一次的增量略去含有高于一次的增量 x=x-x0的项，则

14、：的项，则：上式即为非线性系统的线性化模型，称上式即为非线性系统的线性化模型，称为为增量方程增量方程。y0=f(x0)称为系统的称为系统的静态静态方程方程；)()()(000 xxxxdxxdfxfy 0)(xxdxxdfK 或：或：y-y0 =y=K x，其中：其中：增量方程的数学含义就是将参考坐标的增量方程的数学含义就是将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。的初始条件均为零。对多变量系统，如：对多

15、变量系统，如：y=f(x1,x2)，同样，同样可采用泰勒级数展开获得线性化的增量可采用泰勒级数展开获得线性化的增量方程。方程。)()(),(202210112010202101202101xxxfxxxfxxfyxxxxxxxx22110 xKxKyyy 增量方程：增量方程：),(20100 xxfy 静态方程：静态方程：2021012021012211,xxxxxxxxxfKxfK 其中：其中：（2）滑动线性化）滑动线性化切线法切线法 线性化增量增量线性化增量增量方程为：方程为：y y=x tg 切线法是泰勒级切线法是泰勒级数法的特例。数法的特例。0 xy=f(x)y0 x0 x y y非线

16、性关系线性化非线性关系线性化A3、系统线性化微分方程的建立、系统线性化微分方程的建立（1）步骤）步骤1）确定系统各组成元件在平衡态的工作点；）确定系统各组成元件在平衡态的工作点；2）列出各组成元件在工作点附近的增量方程；）列出各组成元件在工作点附近的增量方程；3）消除中间变量，得到以增量表示的线性化）消除中间变量，得到以增量表示的线性化微分方程微分方程；（2）实例：液位系统的线性化）实例：液位系统的线性化)()()(tqtHtHdtdAi 20022000)(!21)(HHHdHHdHHHdHHdHH0000,ioiqHqq 解：稳态时：解：稳态时：)(tH非线性项非线性项的泰勒展开为：的泰勒

17、展开为：节流阀节流阀节流阀节流阀qi(t)qo(t)H(t)液位系统液位系统HHHHHHdHHdHH 0000021)(则：则：iiqqHHHHHdtdA 000021)(由于：由于：注意到：注意到：HdtdHHdtd )(0)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi 实际使用中，常略去增量符号而写成：实际使用中，常略去增量符号而写成：)(1)(21)(0tqAtHHAtHdtdi 所以：所以：此时，上式中此时，上式中H(t)和和qi(t)均为平衡工作点的均为平衡工作点的增量。增量。4、线性化处理的注意事项、线性化处理的注意事项 线性化方程的系数与平衡工作点的选择线性化方程的系数与平衡工作

18、点的选择有关；有关；线性化是有条件的，必须注意线性化方线性化是有条件的，必须注意线性化方程适用的工作范围；程适用的工作范围；线性化后的微分方程是以增量为基础的线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。增量方程。某些典型的本质非线性，如继电器特性、某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续间隙、死区、摩擦等，由于存在不连续点，不能通过泰勒展开进行线性化，只点，不能通过泰勒展开进行线性化，只有当它们对系统影响很小时才能忽略不有当它们对系统影响很小时才能忽略不计，否则只能作为非线性问题处理。计，否则只能作为非线性问题处理。inout0近似特近似特性曲线性曲线真实特性真实

19、特性饱和非线性饱和非线性inout0死区非线性死区非线性inout0继电器非线性继电器非线性inout0间隙非线性间隙非线性2.2 系统的传递函数系统的传递函数一、拉普拉斯变换与反变换一、拉普拉斯变换与反变换1、拉普拉斯变换拉普拉斯变换设函数设函数f(t)(t 0)在任一有限区间上分段连续，在任一有限区间上分段连续，且存在一正实常数且存在一正实常数，使得：，使得：0)(lim tfett 则函数则函数f(t)的的拉普拉氏变换拉普拉氏变换存在，并定义为：存在，并定义为：0)()()(dtetftfLsFst 0dtest称为称为拉普拉氏积分拉普拉氏积分；F(s)称为函数称为函数f(t)的拉普拉氏

20、变换或的拉普拉氏变换或象函象函数数，它是一个复变函数；，它是一个复变函数；f(t)称为称为F(s)的的原函数原函数；L为拉氏变换的符号。为拉氏变换的符号。0)()()(dtetftfLsFst式中：式中：s=+j（，均为实数）均为实数）例如：求例如：求单位阶跃函数单位阶跃函数1(t)的的Laplace变换变换10tf(t)单位阶跃函数单位阶跃函数 0100)(1ttt )0)(Re(101)(1)(10 sses dtettLstst2、拉氏反变换、拉氏反变换 0,)(21)()(1 tdsesFjsFLtfjjst L1为拉氏反变换的符号。为拉氏反变换的符号。由于拉氏反变换比较复杂，实际求由

21、于拉氏反变换比较复杂，实际求f(t)时不时不直接用拉氏反变化公式求解，而是通过直接用拉氏反变化公式求解，而是通过Laplace定理来求解。定理来求解。3、拉氏变换的主要定理、拉氏变换的主要定理（1）叠加定理）叠加定理 齐次性：齐次性：Laf(t)=aLf(t)，a为常数；为常数；叠加性：叠加性：Laf1(t)+bf2(t)=aLf1(t)+bLf2(t)a，b为常数；为常数；显然，拉氏变换为线性变换显然，拉氏变换为线性变换。（2 2）微分定理）微分定理0)()0(),0()()(ttff fssFdttdfL )0()0()0()()()0()0()()()1(21222nnnnnnffsfs

22、sFsdttfdLfsfsFsdttfdL式中，式中，f(0)，f(0)，为函数为函数f(t)的各阶的各阶导数在导数在t=0时的值。时的值。当当f(t)及其各阶导数在及其各阶导数在t=0时刻的值均为零时时刻的值均为零时（零初始条件）：（零初始条件）：)()()()()()(222sFsdttfdLsFsdttfdLssFdttdfLnnn2200202)()(1)()(dttudtuLCdttduLRdttudi )()(1)()(20002sUssULCssULRsUsi 例，求下列微分方程在零初始条件下的拉普例，求下列微分方程在零初始条件下的拉普拉斯变换拉斯变换Laplace变换的作用：变

23、换的作用：将微分方程转变为代数方程将微分方程转变为代数方程（3 3）位移定理）位移定理 )()(asFtfeLat 22cos1)(1 sstLstL例例：22)()(cos1 asasteLaseLatat（4）终值定理）终值定理 终值定理说明终值定理说明f(t)稳定值与稳定值与sF(s)在在s=0时的时的初值相同。初值相同。)(lim)()(lim0ssFftfst 若若sF(s)的所有极点位于左半的所有极点位于左半s平面，平面，即：即：)(limtft 存在。则：存在。则：4、Laplace变换和反变换的作用变换和反变换的作用原函数原函数（微分方程的解）（微分方程的解）象函数象函数微分方

24、程微分方程象函数的象函数的代数方程代数方程拉氏反变换拉氏反变换拉氏变换拉氏变换解解代代数数方方程程拉氏变换法求解线性微分方程的过程拉氏变换法求解线性微分方程的过程例：例：设系统微分方程为：设系统微分方程为：解：对微分方程左边进行拉氏变换：解：对微分方程左边进行拉氏变换：)()0()0()()(2222sXsxsxsXsdttxdLooooo )()(6)(5)(22txtxdttdxdttxdiooo 若若xi(t)=1(t)，初始条件分别为，初始条件分别为xo(0)=0、xo(0)=0，试求，试求xo(t)。)()65()(6)(5)(222sXss txdttdxdttxdLoooo 即：

25、即：)(5)0(5)(5)(5ssXxssXdttdxLoooo )(6)(6sXtxLoo 对方程右边进行拉氏变换：对方程右边进行拉氏变换：stLsXtxLii1)(1)()(ssXsso1)()65(:2 从从而而)65(1)(2 ssssXo33122151)3)(2(1 ssssss则则xo(t)解得：解得：33122151)()(110 sssLsXLtxo)0(312151)(131)(121)(1513232 teetetettttt二、传递函数的定义二、传递函数的定义线性定常系统，在零初始条件下，系统输线性定常系统，在零初始条件下，系统输出量的出量的Laplace变换与输入的变

26、换与输入的Laplace变换变换之之比比)()()(0sXsXsGi 线性定常系统：线性定常系统：)()(.)()()()(.)()(0)1(1)1(1)(00)1(01)1(01)(0txbtxbtxbtxbtxatxatxatxaiimimmimnnnn （零零初初始始条条件件下下）L)()(.)()()()(.)()(01111000110110sXbsXsbsXsbsXsbsXasXsasXsasXsaiiimmimmnnnn 011101110.)()()(asasasabsbsbsbSXSXSGnnnnmmmmi 系统的传递函数为：系统的传递函数为：L)()()()(0002sFs

27、kXscsXsXms kcsmssXsXsGi 201)()()(例：控制系统的微分方程如下所示，例：控制系统的微分方程如下所示，)()()()(22tftkxdttdxcdttxdm 试求出系统的传递函数。试求出系统的传递函数。三、传递函数的特点三、传递函数的特点1、传函是系统在复数域上的数学模型传函是系统在复数域上的数学模型，其参，其参数仅取决于系统本身的结构及参数，与系数仅取决于系统本身的结构及参数，与系统的输入形式无关。统的输入形式无关。2、若输入给定，则系统输出特性完全由传函若输入给定，则系统输出特性完全由传函G(s)决定，即决定，即传函表征了系统内在的固有传函表征了系统内在的固有动

28、态特性。动态特性。3 3、传递函数通过系统输入量与输出量之间、传递函数通过系统输入量与输出量之间的关系来描述系统的固有特性。即的关系来描述系统的固有特性。即以系以系统外部的输入输出特性来描述系统的统外部的输入输出特性来描述系统的内部特性。内部特性。4、传函的分母由系统本身的结构参数决定，、传函的分母由系统本身的结构参数决定，反映系统本身的固有特性，分子反映了反映系统本身的固有特性，分子反映了系统与外界联系系统与外界联系5、物理性质不同的系统、环节或元件可有物理性质不同的系统、环节或元件可有相同的传函相同的传函6、当输入给定，系统的输出完全取决于传函、当输入给定，系统的输出完全取决于传函 7、分

29、母的阶次、分母的阶次n分子的阶次分子的阶次m 011101110.)()()(asasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmi 典型环节表达式：典型环节表达式：)1).(1)(1()1.().1)(1()(2121 sTsTsTssssKsGnm 零极点式零极点式).()().()()(2121nnmmPsPsPsaZsZsZsbsG 四、传函的零点、极点和放大系数四、传函的零点、极点和放大系数其中：其中：bm(s-z1)(s-z2)(s-zm)=0的根的根s=zi (i=1,2,m)，称为传递函数的，称为传递函数的零点零点；an(s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根的根s=p

30、j (j=1,2,n)，称为传递函数的，称为传递函数的极点极点；注意：注意：系统传递函数的极点就是系统的特征根系统传递函数的极点就是系统的特征根.。零零点和极点的数值完全取决于系统的结构参数点和极点的数值完全取决于系统的结构参数。).()().()()(2121nnmmPsPsPsaZsZsZsbsG 复平面上的表示法复平面上的表示法 将传递函数的零、将传递函数的零、极点表示在复平极点表示在复平面上的图形称为面上的图形称为传递函数的零、传递函数的零、极点分布图。图极点分布图。图中，零点用中，零点用“O”表示，极点用表示，极点用“”表示表示。的零极点分布图的零极点分布图0 12312-1-2-3

31、-1-2 j)22)(3(2)(2 sssssGReImReImxo(t)t稳定稳定xo(t)t不稳定不稳定ReImReImxo(t)t稳定稳定xo(t)t不稳定不稳定ReImReImxo(t)txo(t)t临界稳定临界稳定结论：结论：极点决定系统的稳定性。当极点在复平面的极点决定系统的稳定性。当极点在复平面的左半平面上（或左半平面上（或Res1时时例如：当惯性环节例如：当惯性环节TSSG1)(其传递函数可变为：其传递函数可变为：如：有源积分网络如：有源积分网络)()(tudttduRCio RCTTsRCssG ,11)(+CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a积分环节特点：积分环节

32、特点：1）输出量取决于输入量对时间的积累过程）输出量取决于输入量对时间的积累过程;且具有且具有记忆记忆功能；功能；txi(t)t1txo(t)t1s12）具有明显的滞后作用。）具有明显的滞后作用。如当输入量为常值如当输入量为常值 A 时，由于：时，由于：AtTAdtTtxto11)(0 输出量须经过时间输出量须经过时间T才能达到输入量在才能达到输入量在t=0时时的值的值A。txi(t)txo(t)TTs1（5）振荡环节）振荡环节 含有两个独立的储能元件，且所存储的含有两个独立的储能元件，且所存储的能量能够相互转换，从而导致输出带有能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质，运动方程为：振荡的

33、性质，运动方程为：-阻尼比阻尼比(0 1）固固有有频频率率 T1 121)(22 TssTsG 2222nnnss 例如：无源网络例如：无源网络UiUoRLC)()()()(00202tutudttduRCdttudLCi 微分方程为：微分方程为：11)(2 RCSLCSSG系统传函为系统传函为LCT LCR2 注意：当注意：当 11时才可认为是振荡环节时才可认为是振荡环节,否则否则为两个惯性环节串联为两个惯性环节串联(7)延时环节延时环节TSeSG )(G(s)=T2s2+2 Ts+1 xi(t)te-Tsxo(t)tT（6）二阶微分环节）二阶微分环节ALvhi(t)ho(t)轧制钢板厚度测

34、量轧制钢板厚度测量vLththio )()(延迟环节与惯性环节的区别延迟环节与惯性环节的区别：惯性环节从输入开始时刻起就已有输出惯性环节从输入开始时刻起就已有输出，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才，仅由于惯性，输出要滞后一段时间才接近所要求的输出值；接近所要求的输出值；延迟环节从输入开始之初，在延迟环节从输入开始之初，在0 时间时间内内,没有输出，没有输出，但但t=之后，输出完全等之后，输出完全等于输入。于输入。注意注意：1物理元件和环节的区别物理元件和环节的区别一个环节并不一定代表一个物理的元件，一个环节并不一定代表一个物理的元件，一个物理的元件也不一定就是一个传递一个物理的元件也不一定就是

35、一个传递函数。函数。例如：例如：xi(t)xo(t)弹簧弹簧-阻尼器组成的环节阻尼器组成的环节KC11)(skcsG传递函数为：传递函数为：例如：例如：u0uiC1 R1C2R2传递函数为：传递函数为：)1)(1(1)(22111222 sCRsCRCCsCRsG2 系统结构的物理框图与传函的框图的区别系统结构的物理框图与传函的框图的区别控制器控制器对象或过程对象或过程输入量输入量输出量输出量测量元件测量元件闭环控制系统框图闭环控制系统框图反馈量反馈量物理框图物理框图传递函数框图传递函数框图X(s)+-kY(s)+-cs1ms23 同一物理元件组成的系统可以有不同的同一物理元件组成的系统可以有

36、不同的传函，不同物理元件组成的系统可以有传函，不同物理元件组成的系统可以有相同的传函相同的传函当当ui为输入，为输入，uo2为输出时，为输出时，系统的传函为：系统的传函为：UiRLCu02LCsLRsssG1)(22 当当ui为输入，为输入，uo1为输出为输出时时系统的传函为：系统的传函为：UiUo1RLC11)(2 RCSLCSSG时时，为为振振荡荡环环节节当当12 LCRUiUo1RLCmkcf(t)y(t)kcSmSSG 21)(11)(2 RCSLCSSGcbSaSsG 21)(2.3 系统的传递函数方框图及其简化系统的传递函数方框图及其简化 系统方框图是系统数学模型的图解形式。系统方

37、框图是系统数学模型的图解形式。可以形象直观地描述系统中各元件间的可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系及其功能以及信号在系统中的相互关系及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。传递、变换过程。注意：即使描述系统的数学关系式相同，注意：即使描述系统的数学关系式相同，其方框图也不一定相同。其方框图也不一定相同。一、传递函数方框图一、传递函数方框图1、方框图的结构要素、方框图的结构要素（1）信号线）信号线带有箭头的直线，箭头表示信号的传递带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。函数。G(s)H(s)Xi(s)X0(s)-X(s

38、),x(t)信号线信号线（2）方框函数）方框函数函数方框具有运算功能，即：函数方框具有运算功能，即：G(s)X1(s)X2(s)函数方框函数方框X2(s)=G(s)X1(s)（3）求和）求和点点 信号之间代数加减运算的图解。用符号信号之间代数加减运算的图解。用符号“”及相应的信号箭头表示，每个箭头及相应的信号箭头表示，每个箭头前方的前方的“+”或或“-”表示加上此信号或减表示加上此信号或减去此信号。去此信号。X1(s)X2(s)X1(s)X2(s)相邻求和点可以互换、合并、分解，即满相邻求和点可以互换、合并、分解，即满足代数运算的交换律、结合律和分配律。足代数运算的交换律、结合律和分配律。求和

39、点可以有多个输入，但输出是唯一的。求和点可以有多个输入，但输出是唯一的。ABA-BCA-B+C A+C-BBCAA+C ABA-B+CCA-B+C（4）分支点（引出线）分支点（引出线）表示信号引出或测量的位置和传递方向。表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。小完全一样。引出线引出线X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)2、系统方框图的建立、系统方框图的建立（1）建立系统各元件的微分方程）建立系统各元件的微分方程mkcy(t)x(t)()(tytxkFK x(t)y(t)FkdttdycFC)(y(t)FCm

40、FkFCy(t)CKFFdttydm 22)()()(tytxkFK dttdycFC)(CKFFdttydm 22)()()()(sYsXksFK )(scsYFC)()(1)(2sFsFmssYCK )()()(2sFsFsYmsCK （2）对微分方程进行）对微分方程进行Laplace变换。（注意变换。（注意各元件的因果关系，输出量放在等号左边）各元件的因果关系，输出量放在等号左边）X(s)+-Y(s)kFK(s)Fk(s)=kX(s)-Y(s)Fc=csY(s)（3）绘出各元件相应的方框图）绘出各元件相应的方框图Y(s)csFC(s)()(1)(2sFsFmssYcK Y(s)FK(s)

41、+-FC(s)1ms2（4）按照信号在系统中传递、变换的过程，）按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将各传递函数方框图连接起来依次将各传递函数方框图连接起来X(s)+-kY(s)+-csY(s)Fc(s)21ms二、传递函数方框图的等效变换法则二、传递函数方框图的等效变换法则基本思路：基本思路：利用等效变换法则，移动求和点和引出利用等效变换法则，移动求和点和引出点，消去交叉回路，变换成可以运算的点，消去交叉回路，变换成可以运算的简单回路。简单回路。1、运算法则、运算法则1）串联）串联G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s).G(s)=G1(s)G2

42、(s)Gn(s)Xi(s)Xo(s)2）并联）并联Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)+Gn(s).Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+Gn(s)3）反馈反馈G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)B(s)E(s)()()()()()()()()(sXsHsBsBsXsEsEsGsXoio )()(1)()()()(sHsGsGsXsXsio Xi(s)Xo(s)()(1)(sHsGsG基本概念基本概念前向通道：前向通道：Xi(s)到到Xo(s)的信号传递通路称为的信号传递通路称为前向通道前向通道 传递函数为：传递函数为：Xi(s)G(s)H(s)+X0(s)E(s)B(S)()()

43、()(0sGsEsXsG 前前反馈回路反馈回路 Xo(s)到到B(s)的信号传递通路称为的信号传递通路称为反馈回路反馈回路；传递函数为传递函数为：Xi(s)G(s)H(s)+X0(s)E(s)B(S)()()()(0sHsXsBsGH 闭环系统的开环传递函数闭环系统的开环传递函数：将闭环控制系统主反馈通道的输出断开，即将闭环控制系统主反馈通道的输出断开，即H(s)的输出通道断开，此时，前向通道传递的输出通道断开，此时，前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积称为该函数与反馈通道传递函数的乘积称为该闭环闭环控制系统的开环传递函数控制系统的开环传递函数。记为。记为GK(s)。Xi(s)G(s)H(

44、s)+X0(s)E(s)B(S)()()()()(sHsGsEsBsGK 闭环传递函数：闭环传递函数：输出输出X0(s)与输入与输入Xi(s)之间的比值之间的比值Xi(s)G(s)H(s)+X0(s)E(s)B(S)()(1)()()()(0sHsGsGsXsXsGiB 若反馈回路传递函数若反馈回路传递函数H(s)=1，称为单位反馈，称为单位反馈Xi(s)G(s)+X0(s)(1)()(sGsGsGB 闭环传递函数为：闭环传递函数为：若单位反馈控制系统，系统的开环传递函若单位反馈控制系统，系统的开环传递函数为数为GK(s)，且，且闭环传递函数与开环传函的关系为：闭环传递函数与开环传函的关系为：

45、闭环传函的分子闭环传函的分子=开环传函的分子开环传函的分子 闭环传函的分母闭环传函的分母=开环传函的分子开环传函的分子+分母分母)()()(sDsMsGK)(1)()(sGsGsGKKB 则闭环传递函数为：则闭环传递函数为：)()()(sDsMsM X(s)+-kY(s)+-cs1ms2csmscsmsmssG 2221111)(X(s)+-kms2+cs1Y(s)kcsmskcsmskcsmsksG 222111)(X(s)+-kms2+cs1Y(s)X(s)Y(s)kcsmsksGB 2)(2 等效变换法则等效变换法则G(s)ABCG(s)G(s)ABC)(1sGG(s)ABC求和点后移求

46、和点后移G(s)ABC求和点前移求和点前移乘乘G(s)除除G(s)3)引出点的移动引出点的移动乘乘G(s)除除G(S)引出点前移引出点前移G(s)ACC引出点后移引出点后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)AC)(1sGA3 简化规则简化规则1）串联的相加点或分支点可以前后交换位置、串联的相加点或分支点可以前后交换位置、合并、分开合并、分开ABCD+-+交换位置交换位置合并合并AD+-CB+CAD+-B+D=A-B+C2）相临的分支点和求和点不得交换位置）相临的分支点和求和点不得交换位置ABCABC例如：例如：G1G2G3Xi(S)+-Xo(s)H12G1G2G3Xi(S)+-Xo(

47、s)H步骤步骤1）求和点求和点2 前移前移G1G2G3Xi(S)+-Xo(s)H12G1G2G3/G1Xi(S)+-Xo(s)H12步骤步骤2）求和点求和点1、2交换位置交换位置G1G2G3/G1Xi(S)+-Xo(s)H21G1G2G3/G1Xi(S)+-Xo(s)H12步骤步骤3）进行方框的运算进行方框的运算G1G2G3/G1Xi(S)+-Xo(s)H21Xi(S)1+G3/G1Xo(S)G1G21+G1G2HXi(S)Xo(S)G2G1+G2G31+G1G2H)()()(1)()()()()(213221sHsGsGsGsGsGsGsGB 例：求下图所示系统的传递函数。例：求下图所示系统

48、的传递函数。H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)A解：解：1、A点前移；点前移；H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H2(s)G3(s)H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)BH2(s)A2、消去、消去H2(s)G3(s)反馈回路反馈回路)()()(1)(2322sHsGsGsG H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)H1(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)Xo(s)H2(s)G3(s)3、消去、消去H1(s)反馈回路反馈回路)()

49、()(1)(2322sHsGsGsG H1(s)Xo(s)G1(s)G3(s)H3(s)+Xi(s)()()()()()(1)()(23212121sHsGsGsHsGsGsGsG H3(s)Xi(s)Xo(s)G3(s)4、前向通道传函、前向通道传函)()()()()()(1)()(23212121sHsGsGsHsGsGsGsG H3(s)Xi(s)Xo(s)G3(s)()()()()()(1)()()(232121321sHsGsGsHsGsGsGsGsG H3(s)Xi(s)Xo(s)5、消去、消去H3(s)反馈回路反馈回路)()()()()()(1)()()(232121321sHs

50、GsGsHsGsGsGsGsG H3(s)Xi(s)Xo(s)()()()()()()()()()(1)()()(3321232121321sHsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsG Xi(s)Xo(s)特殊情况：特殊情况：1系统只有一条前向通道系统只有一条前向通道2 各局部反馈回路间存在公共的传函各局部反馈回路间存在公共的传函系统的传函：系统的传函：传传函函）（每每一一反反馈馈回回路路的的开开环环积积前前向向通通道道的的传传递递函函数数之之 1)(sG例如：例如：Xi(s)+G1G2G3G4X0(s)H4H1H2H3-+_+-1+G3G4H4+G1G2G3H2-G1G2G3G4H3