现代控制理论基础1-线性系统的状态空间描述修改课件.ppt
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1、2系统描述中常用的基本概念系统描述中常用的基本概念n 系统的外部描述 传递函数n 系统的内部描述 状态空间描述3 1、外部描述、外部描述 经典控制理论中,系统一般可用常微分方程在时域经典控制理论中,系统一般可用常微分方程在时域内描述,对复杂系统要求解高阶微分方程,这是相当困内描述,对复杂系统要求解高阶微分方程,这是相当困难的。难的。经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系经典控制理论中采用拉氏变换法在复频域内描述系统,得到联系输入统,得到联系输入-输出关系的传递函数,基于传递函数输出关系的传递函数,基于传递函数设计设计SISO系统极为有效,可从传递函数的零点、极点分系统极为有效,可从传递函
2、数的零点、极点分布得出系统定性特性,并已建立起一整套图解分析设计布得出系统定性特性,并已建立起一整套图解分析设计法,至今仍得到广泛成功地应用。法,至今仍得到广泛成功地应用。但传递函数对系统是一种外部描述,它不能描述处但传递函数对系统是一种外部描述,它不能描述处于系统内部的运动变量;且忽略了初始条件。因此传递于系统内部的运动变量;且忽略了初始条件。因此传递函数不能包含系统的所有信息。函数不能包含系统的所有信息。42、内部描述、内部描述 由于六十年代以来,控制工程向复杂化、高性能由于六十年代以来,控制工程向复杂化、高性能方向发展,所需利用的信息不局限于输入量、输出量、方向发展,所需利用的信息不局限
3、于输入量、输出量、误差等,还需要利用系统内部的状态变化规律,加之误差等,还需要利用系统内部的状态变化规律,加之利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制,因而利用数字计算机技术进行分析设计及实时控制,因而可能处理复杂的时变、非线性、可能处理复杂的时变、非线性、MIMO系统的问题,系统的问题,但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是但传递函数法在这新领域的应用受到很大限制。于是需要用新的对系统内部进行描述的新方法:状态空间需要用新的对系统内部进行描述的新方法:状态空间分析法。分析法。5n状态空间分析法例子状态空间分析法例子n状态变量和状态矢量状态变量和状态矢量n状态空间和状态空间描述状态空间
4、和状态空间描述6一、状态空间分析法例子一、状态空间分析法例子1、R-L-C电网络系统电网络系统 解:以 作为中间变量,列写该回路的微分方程 选)(tiuidtidtdiLC1RRL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)输入输出C1)(tuycidti1x2xidt7 为系统两状态变量,则原方程可化成写成矩阵方程:1x2xLRLC1101x2xL10)(tudtdiLR1xLC12x)(tuL11xy2x)(tuc1x2xC1y1x2xC108一、状态空间分析法例子一、状态空间分析法例子2、机械系统的状态空间描述、机械系统的状态空间描述 外力 位移Ku(t)my(t)b)(tuymybky根据
5、牛顿力学原理yx 1 yx2令-弹性系数阻尼系数921xx)(12tumymbymkyx)(121tumxmbxmk1xy 动态方程如下动态方程如下10状态空间描述为:状态空间描述为:21xxmbmk1021xxum102101xxy11二、状态变量和状态矢量二、状态变量和状态矢量:指系统的运动状态(可以是物理的或非物理的)。:指系统的运动状态(可以是物理的或非物理的)。状态可以理解为系统记忆,状态可以理解为系统记忆,t=t0时刻的初始状态能记忆时刻的初始状态能记忆系统在系统在 t=t0时输入的时间函数时输入的时间函数 ,那么,系统在,那么,系统在t=t0的任何瞬的任何瞬间的行为间的行为 就完
6、全确定了。就完全确定了。n最小个数:意味着这组变量是互相独立的。一个用最小个数:意味着这组变量是互相独立的。一个用n阶微分方阶微分方程描述的含有程描述的含有n个独立变量的系统,当求得个独立变量的系统,当求得n个独立变量随时个独立变量随时间变化的规律时,系统状态可完全确定。若变量数目多于间变化的规律时,系统状态可完全确定。若变量数目多于n,必有变量不独立;若少于必有变量不独立;若少于n,又不足以描述系统状态。,又不足以描述系统状态。100,nx txt u t 1nx txt,12 状态变量的选取具有非唯一性,即可用某状态变量的选取具有非唯一性,即可用某一组、也可用另一组数目最少的变量。状态变一
7、组、也可用另一组数目最少的变量。状态变量不一定要象系统输出量那样,在物理上是可量不一定要象系统输出量那样,在物理上是可测量或可观察的量,但在实用上毕竟还是选择测量或可观察的量,但在实用上毕竟还是选择容易测量的一些量,以便满足实现状态反馈、容易测量的一些量,以便满足实现状态反馈、改善系统性能的需要。改善系统性能的需要。13:把把 这几个状态变量看这几个状态变量看成是矢量成是矢量 的分量,则的分量,则 称为状态矢量。记作:称为状态矢量。记作:)(),.,(),(21txtxtxn)(tX X)(tX X )()(1txtxnX(t)X(t)或:或:)().,(),()(21txtxtxtnTX X
8、14:以状态变量以状态变量 为坐标为坐标轴所构成的轴所构成的n维空间。维空间。q在某一特定时刻在某一特定时刻t ,状态向量,状态向量 是状态空间的是状态空间的一个点。一个点。)(),.,(),(21txtxtxn)(tX X:以以 为起点,随着时间的推移,为起点,随着时间的推移,在状态空间绘出的一条轨迹。在状态空间绘出的一条轨迹。)(tX X)()(0ttX XX X 三、状态空间和状态空间描述三、状态空间和状态空间描述15状态空间描述状态空间描述 用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程组即为组即为状态空间描述状态空间描述。状态空间描述是状态方
9、程、输出。状态空间描述是状态方程、输出方程的组合:方程的组合:(1)状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关)状态变量的一阶导数与状态变量、输入变量关系的数学表达式称为状态方程。系的数学表达式称为状态方程。(2)在指定输出的情况下,该输出与状态变量和输)在指定输出的情况下,该输出与状态变量和输入之间的函数关系称为输出方程。反映系统中输出变量入之间的函数关系称为输出方程。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。与状态变量和输入变量的因果关系。由于由于n阶系统有阶系统有n个独立状态变量,于是状态方程是个独立状态变量,于是状态方程是n个的一阶微分方程或差分方程。由于状态变量的选取具个的一阶
10、微分方程或差分方程。由于状态变量的选取具有非唯一性,所选取的状态变量不同,状态空间描述也有非唯一性,所选取的状态变量不同,状态空间描述也不同,故系统的状态空间描述也具有非唯一性。不同,故系统的状态空间描述也具有非唯一性。16 在讨论状态方程时,为简单起见,先假设系统的在讨论状态方程时,为简单起见,先假设系统的输入变量为阶跃函数,即输入变量为阶跃函数,即u的导数为零。的导数为零。SISO线性定线性定常连续系统,其状态变量为常连续系统,其状态变量为 ,则,则一般形式的状态空间描述写作:一般形式的状态空间描述写作:(1-8)(1-9)式中常系数式中常系数 ;与系与系统特性有关。统特性有关。111,n
11、nnaabb,;,1nccd,;nxxx21ubxaxaxaxubxaxaxaxubxaxaxaxnnnnnnnnnnn2211222221212112121111duxcxcxcynn221117方程(方程(1-8)、)、(1-9)可写成矩阵形式:可写成矩阵形式:12nxxxx12nbbbb输入矩阵,n1列矩阵。式中:式中:12nxxxxn维状态矢量111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA系统矩阵,nn矩阵。:输出矩阵,1n行矩阵),d为直接联系输入量、输出量的前向传递(前馈)系数,又称前馈系数。12ncccc,uAxxbuxydc 18rnrnnnnnnnnrrnnrrnn
12、ubububxaxaxaxubububxaxaxaxubububxaxaxax 22112211222212122221212121211112121111rmrmmnmnmmmrrnnrrnnududubxcxcxcyudududxcxaxayudududxcxcxcy 2211221122221212222121212121111212111119,212222111211 nnnnnnaaaaaaaaaA系表征各状态变量间的关系统矩阵维,nn,212222111211 nrnnrrbbbbbbbbbB作作用用表表征征输输入入对对每每个个变变量量的的输输入入矩矩阵阵维维,rn 状态矢量维1
13、,T21nnxxxx输入矢量维1,T21ruuuurBuAxxDuCxy20,212222111211 mnmmnncccccccccC量量的的关关系系表表征征输输出出和和每每个个状状态态变变输输出出矩矩阵阵维维nm ,212222111211 mrmmrrdddddddddD0D,通常传递关系表征输入对输出的直接直接传递矩阵又称为前馈矩阵维rm输出矢量维1,T21mmyyyy21 系统框图系统框图:B B C CA AD DU UX XX XY Y DUDUCXCXY YBUBUAXAXX X ik 注注:负反馈时为负反馈时为注:有几个状态变量,就建几个积分器注:有几个状态变量,就建几个积分
14、器积分器积分器比例器比例器加法器加法器22,)t()t()t()t()t()t()t()t()t()t(212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA系表征各状态变量间的关系统矩阵维,nn,)t()t()t()t()t()t()t()t()t()t(212222111211nrnnrrbbbbbbbbbB作作用用表表征征输输入入对对每每个个变变量量的的输输入入矩矩阵阵维维,rn 状态矢量维1,T21nnxxxx输入矢量维1,T21ruuuuruBxAx)t()t(uDxCy)t()t(23,)t()t()t()t()t()t()t()t()t()t(212222111211mnmmn
15、ncccccccccC量量的的关关系系表表征征输输出出和和每每个个状状态态变变输输出出矩矩阵阵维维nm ,)t()t()t()t()t()t()t()t()t()t(212222111211mrmmrrdddddddddD0D,通常传递关系表征输入对输出的直接直接传递矩阵又称为前馈矩阵维rm输出矢量维1,T21mmyyyy24n状态空间描述的结构图绘制步骤:n画出所有积分器;n积分器的个数等于状态变量数,每个积分器的输出表示相应的某个状态变量。n根据状态方程和输出方程,画出相应的加法器和比例器;n用箭头将这些元件连接起来。25例1-1 画出一阶微分方程的状态结构图。状态结构图状态结构图buax
16、x微分方程:微分方程:26系统系统系统系统271.3 1.3 状态空间描述的建立状态空间描述的建立建立状态空间描述的三个途径:建立状态空间描述的三个途径:1、由系统框图建立、由系统框图建立2、由系统物理或化学机理进行推导、由系统物理或化学机理进行推导3、由微分方程或传递函数演化而得、由微分方程或传递函数演化而得28一、由系统框图建立状态空间描述一、由系统框图建立状态空间描述uy4k111sTk122sTksTk33系统框图如下:系统框图如下:将积分部分单独表述出来,对结构图进行等效变换将积分部分单独表述出来,对结构图进行等效变换等效变换如下:等效变换如下:u11Tk11T22Tk3x 3x1x
17、 2x 2x1x21T33Tk4ky29图中有三个积分环节,三阶系统,取三个状态变量如上图(选图中有三个积分环节,三阶系统,取三个状态变量如上图(选择积分环节后的变量为状态变量):择积分环节后的变量为状态变量):则有:则有:2131xTkx 3222221xTkxTx uTkxTxTkkx11311114311xy 写成矩阵形式:写成矩阵形式:uTkxxxTTkkTkTTkX1132111412223300101000X001y30系统系统31二、由系统机理建立状态空间描述二、由系统机理建立状态空间描述n步骤:步骤:n1)根据系统的机理建立相应的微分方程或根据系统的机理建立相应的微分方程或差分
18、方程;差分方程;n2)选择有关的物理量作为状态变量;选择有关的物理量作为状态变量;n3)导出状态空间表达式。导出状态空间表达式。32系统储能元件的输出系统储能元件的输出系统输出及其各阶导数系统输出及其各阶导数使系统状态方程成为某种标准形式的变量使系统状态方程成为某种标准形式的变量(对角线标准型和约当标准型)(对角线标准型和约当标准型)33电路如图所示。建立该电路以电压电路如图所示。建立该电路以电压u u1 1,u,u2 2为输入量,为输入量,u uA A为输出量的状态空间表达式。为输出量的状态空间表达式。图图L L2 2u uA Au u1 1u u2 2+_ _+_ _i i1 1i i2
19、2R R2 2R R1 1L L1 11)1)选择状态变量选择状态变量 两个储能元件两个储能元件L L1 1和和L L2 2,可以选择,可以选择i i1 1和和i i2 2为状态变量,为状态变量,且两者是独立的。且两者是独立的。342 2)根据克希荷夫电压定律,列写)根据克希荷夫电压定律,列写2 2个回路的微分方程:个回路的微分方程:21212222121212111)()()(21uRiiuRiLuRiiuRiiLuAdtdidtdi 右回路右回路左回路左回路整理得:整理得:21211212121112122212121111111uRiRiuuiiuuiiALLRRLRdtdiLLLRLR
20、dtdi 353 3)状态空间表达式为:)状态空间表达式为:212111211112121100211221211111uuiiRRuuuiiiiALLLLRRLRLRLR36试列出在外力试列出在外力f作作用下,以质量用下,以质量 的位移的位移 为输出的为输出的状态空间描述。状态空间描述。21,MM21,yy1v2v1k2k1y2y1M2M1B2Bf该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下:该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下:2241132211,vyxvyxyxyx 11yk11yM 11yB)(122yyB 22yM )(122yyk f1M2M质量块受力图如下:质量块受力图如下
21、:37则有:则有:)()(122122111111yyByykykyByM 及:及:fyykyyByM )()(12212222 将所选的状态变量将所选的状态变量2241132211,vyxvyxyxyx代入上式并整理出状态方程得:代入上式并整理出状态方程得:2211xyxy输出方程:输出方程:fMxMBxMkxMkxxMBxMBBxMkxMkkxxxxx2322222122441231212121121342311状态方程:状态方程:38写成矩阵形式:写成矩阵形式:fMXMBMkMkMBMBBMkMkkX222221212121121211000010000100 432100100001x
22、xxxy391.4 化输入化输入-输出描述为状态空间描述输出描述为状态空间描述 及其几种标准形式及其几种标准形式 对于给定的系统微分方程或传递函数,寻求对应的状对于给定的系统微分方程或传递函数,寻求对应的状态空间描述而不改变系统的输入态空间描述而不改变系统的输入-输出特性,称此状态空输出特性,称此状态空间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不间描述是系统的一个状态空间实现。由于所选状态变量不同,其状态空间描述也不同,故其实现方法有多种。同,其状态空间描述也不同,故其实现方法有多种。为便于揭示系统内部的重要结构特性,导出标准形实为便于揭示系统内部的重要结构特性,导出标准形实现最有意义,
23、从传递函数组成上可分存在与不存在零、极现最有意义,从传递函数组成上可分存在与不存在零、极点对消两种情况,这里只研究不存在零、极点对消的情况,点对消两种情况,这里只研究不存在零、极点对消的情况,所求得的状态空间描述中,状态变量数量最少,各矩阵的所求得的状态空间描述中,状态变量数量最少,各矩阵的维数最小,构造硬件系统时所需的积分器个数最少,称为维数最小,构造硬件系统时所需的积分器个数最少,称为最小实现。最小实现。本节先研究本节先研究SISO系统。系统。40ububububyayayaymmmmnnn01)1(1)(01)1(1)(n n阶阶SISOSISO控制系统的时域模型为:控制系统的时域模型为
24、:可实现的条件:可实现的条件:mmnuxyuAxxdcb系统的传递函数为:系统的传递函数为:0111n0111mm)(asasasbsbsbsbsWnnmm 41当系统传递函数中m=n时,即应用长除法有0111n011n1nnn)(asasasbsbsbsbsWnn D(s)N(s)basasasssbsWnn n0111n011n1nn)(42式中 是直接联系输入、输出量的前馈系数,是严格有理真分式,其系数用综合除法得nb N sD s000111111nnnnnnba bba bbab其状态空间描述为其状态空间描述为nuyb uxAxbcx,(1-44)(1-45)式中A、b、c由实现方式
25、确定,其形式不变,唯输出方程中需增加一项 nb u43微分方程形式(微分方程中不包含输入函数的导数项):微分方程形式(微分方程中不包含输入函数的导数项):ubyayayaynn001)1(1n)(系统的传递函数为:系统的传递函数为:0111n0)(asasasbsWnn 44 若给定初始条件若给定初始条件 则系统行为被完全确定,依此选择一组状态变量。即:则系统行为被完全确定,依此选择一组状态变量。即:)(0)0(,),0(),0()1(tutyyyn的的输输入入及及 令令:uxaxaxaxxxxxxxxnnnnn121101322101yb11、标准、标准I型型45 状态方程为状态方程为:输出
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