空间解析几何课件15018-.ppt

1、数量关系数量关系 第七章第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点,线线,面面基本方法基本方法 坐标法坐标法;向量法向量法坐标坐标,方程（组）方程（组）空间解析几何与向量代数 四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算 第一节一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量及其线性运算 第七七章.a或表示法:向量的模:向量的大小,21MM记作一、向量的概念一、向量

2、的概念向量:(又称矢量).1M2M既有大小,又有方向的量称为向量向径(矢径):自由向量:与起点无关的向量.起点为原点的向量.单位向量:模为 1 的向量,.a或记作 a零向量:模为 0 的向量,.00或，记作有向线段 M1 M2,或 a,a或.a或机动 目录 上页 下页 返回 结束 规定:零向量与任何向量平行;若向量 a 与 b大小相等,方向相同,则称 a 与 b 相等,记作 ab;若向量 a 与 b 方向相同或相反,则称 a 与 b 平行,ab;与 a 的模相同,但方向相反的向量称为 a 的负向量,记作因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线.若 k(3)个向量经平移可移到同

3、一平面上,则称此 k 个向量共面.记作a;机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、向量的线性运算二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加.机动 目录 上页 下页 返回 结束 bbabbacba)()(cbacbaabcba cb)(cbacba)(aaba ba 机动 目录 上页 下页 返回 结束 s3a4a5a2a1a54321aaaaas2.向量的减法向量的减法三角不等式机动 目录 上页 下页 返回 结束 ab)(ab有时特别当,ab aa)(aababaabababa0babaaa3.向量与数的乘法向量与数

4、的乘法 是一个数,.a规定:时，0，同向与aa,0时,0时.0a;aa;1aa可见;1aa;aa 与 a 的乘积是一个新向量,记作，反向与aa总之:运算律:结合律)(a)(aa分配律a)(aa)(baba,0a若a则有单位向量.1aa因此aaa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1.设 a 为非零向量,则(为唯一实数)证证:“”.,取 且再证数 的唯一性.则,0故.即abab设 abba取正号,反向时取负号,a,b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a,0)(aaa baab.ab故,0a而机动 目录 上页 下页 返回 结束“”则,0 时当例例1.设 M 为MBACD解解:AB

5、CD 对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aAB,bDAACMC2MA2BDMD2MB2已知 b a,b0a,b 同向a,b 反向ab.,MDMCMBMAba表示与试用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点 坐标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z 轴(竖轴)过空间一定点 o,o 坐标面 卦限(八个)面xoy面yozzox面1.空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系的基本概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo向径在直角

6、坐标系下 11坐标轴上的点 P,Q,R;坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标:有序数组),(zyx 11)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC(称为点 M 的坐标坐标)原点 O(0,0,0);rr机动 目录 上页 下页 返回 结束 M坐标轴:轴x00zy00 xz轴y轴z00yx坐标面:面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyzo2.向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 M,),(zyxM则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,轴上的

7、单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 OM 表示.NMONOMOCOBOA机动 目录 上页 下页 返回 结束,ixOA,jyOBkzOC四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算设),(zyxaaaa,),(zyxbbbb 则ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 时当aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量对应坐标成比例:，为实数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求解以向量为未知元的线性方程组ayx35byx23.211,212），

8、（），（其中ba解解:2 3,得bax32)10,1,7(代入得)3(21bxy)16,2,11(机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.已知两点在AB直线上求一点 M,使解解:设 M 的坐标为,),(zyx如图所示ABMo11MAB,),(111zyxA),(222zyxB及实数,1得),(zyx11),(212121zzyyxx即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM)(OMOB OMOBOA(机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:由得定比分点公式定比分点公式:,121xx,121yy121zz,1时当点 M 为 AB 的中点,于是得x,221xx y,221y

9、y z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中点公式中点公式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与,),(222zyxB,rOM作OMr OROQOPBABAOAOBBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求证以)3,2,5(

10、,)2,1,7(,)1,3,4(321MMM证证:1M2M3M21MM 2)47(2)31(2)12(1432MM 2)75(2)12(2)23(631MM 2)45(2)32(2)13(63132MMMM即321MMM为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.在 z 轴上求与两点)7,1,4(A等距解解:设该点为,),0,0(zM,BMAM因为 2)4(212)7(z 23252)2(z解得,914z故所求点为及)2,5,3(B.),0,0(914M思考思考:(1)如何求在 xoy 面上与A,B 等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B 等

11、距离之点的轨迹方程?离的点.机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示提示:(1)设动点为,)0,(yxM利用,BMAM得,028814 yx(2)设动点为,),(zyxM利用,BMAM得014947zyx且0z例例6.已知两点)5,0,4(A和,)3,1,7(B解解:求141)2,1,3(142,141,143.BABABABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyzx2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量,ba任取空间一点 O,aOA作,bOBOAB称 =AOB(0 )为向量 ba,的夹角.),(ab或类似可定义向量与轴,轴与轴的夹角.,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角,r

12、r称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦.记作),(ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.已知两点)2,2,2(1M和,)0,3,1(2M的模、方向余弦和方向角.解解:,21,23)20计算向量)2,1,1(222)2(1)1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM机动 目录 上页 下页 返回 结束

13、例例8.设点 A 位于第一卦限,解解:已知作业作业 P300 3,5,13,14,15,18,19角依次为,43求点 A 的坐标.,43则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限,故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 A 的坐标为.)3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,6AO且OAOAAO第二节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题解解:因pnma34)853(4kji)742(3kji)45(kjikji157131.设,853kjim,742kjin求向量pnma34在 x 轴上的投影及在 y轴上的分向量.13xa在 y 轴上的分向量为

14、jjay7故在 x 轴上的投影为jip 5,4k机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.设求以向量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对角线的长度各为11,3 对角线的长为解：解：为边的平机动 目录 上页 下页 返回 结束 mnnm,|,|nm|nm)1,1,1(nm)1,3,1(nm3|nm11|nm,2kjn,jim*三、向量的混合积三、向量的混合积 第二节一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积机动 目录 上页 下页 返回 结束 数量积 向量积 *混合积 第七七章 1M一、两向量的数量积一、两向量的数量积沿与力夹角为的直线移动,W1.定义定义设向量的夹角

15、为,称 记作数量积(点积).引例引例.设一物体在常力 F 作用下,F位移为 s,则力F 所做的功为cossFsFW2Mbacosba的与为baba,s机动 目录 上页 下页 返回 结束,0时当a上的投影为在ab记作故,0,时当同理babj rPb2.性质性质为两个非零向量,则有baj rPcosbbabaaj rPbaaa)1(2aba,)2(0baba ba0ba则2),(ba0,0ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.运算律运算律(1)交换律(2)结合律),(为实数abbaba)()(ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3)分配律cbcacba事实上,当0c时,显然成立;时当0

16、cc)(ba babcj rPacj rPcbabacj rPc cbaccj rPj rPacj rP cbcj rPccacb)(j rPbac机动 目录 上页 下页 返回 结束 ABCabc例例1.证明三角形余弦定理cos2222abbac证证:则cos2222abbac如图.设,aBC,bACcBAbac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,机动 目录 上页 下页 返回 结束 4.数量积的坐标表示数量积的坐标表示设则,10zzyyxxbababa当为非零向量时,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kaj

17、aiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyxii jjkk jikjik baba baba,两向量的夹角公式,得机动 目录 上页 下页 返回 结束)(MB,)(MA BM例例2.已知三点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAM AMB.A解解:,1,1 0,1,0 1则AMBcos10022213AMB求MBMAMA MB故机动 目录 上页 下页 返回 结束 为 ).求单位时间内流过该平面域的流体的质量P(流体密度例例3.设均匀流速为的流体流过一个面积为 A 的平面域,与该平面域的单位垂直向量,A解解:单位时间内流过的体积APAA的夹角为

18、且vvncosvcosvnv vnn为单位向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、两向量的向量积二、两向量的向量积引例引例.设O 为杠杆L 的支点,有一个与杠杆夹角为OQOLPQ符合右手规则OQFFsinOPsinOPMFOPOPM M矩是一个向量 M:的力 F 作用在杠杆的 P点上,则力 F 作用在杠杆上的力FoPFMFM 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.定义定义定义向量方向:(叉积)记作且符合右手规则模:向量积,，的夹角为设ba,c,acbccsinabbac称c的与为向量babacba引例中的力矩FOPM思考思考:右图三角形面积abba21S机动 目录 上页 下页 返回 结束

19、 2.性质性质为非零向量,则，0sin或即0aa)1(0ba,)2(0baba,0,0时当baba0basinab03.运算律运算律(2)分配律(3)结合律(证明略)abcba)(cbcaba)()(ba)(baba)1(证明证明:机动 目录 上页 下页 返回 结束)(kajaiazyx)(kbjbibzyx4.向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(

20、kkbazzijk机动 目录 上页 下页 返回 结束 向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx(行列式计算见 P339P342)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.已知三点,)7,4,2(),5,4,3(,)3,2,1(CBA角形 ABC 的面积 解解:如图所示,CBASABC21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21AB AC21ACAB求三机动 目录 上页 下页

21、 返回 结束 一点 M 的线速度例例5.设刚体以等角速度 绕 l 轴旋转,导出刚体上 的表示式.Ml解解:在轴 l 上引进一个角速度向量使a其在 l 上任取一点 O,O作它与则点 M离开转轴的距离a且符合右手法则的夹角为,sinar,rOM vsinr,vr rvvv方向与旋转方向符合右手法则,r向径机动 目录 上页 下页 返回 结束*三、向量的混合积向量的混合积1.定义定义 已知三向量称数量混合积混合积.记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacba机动 目录

22、上页 下页 返回 结束 zyxzyxbbbaaaxcyczckji2.混合积的坐标表示混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba,),(zyxaaaa cbazyzybbaa,),(zyxbbbb),(zyxcccc,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.性质性质(1)三个非零向量共面的充要条件是0(2)轮换对称性:(可用三阶行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA,3,2,1(k4)

23、,求该四面体体积.1A2A3A4A解解:已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz,21AA,31AA41AA413121AAAAAA机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.证明四点,)3,3,2(),6,5,4(,)1,1,1(CBA共面.解解:因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A,B,C,D 四点共面.ADACAB机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结设1.向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaa

24、azzyyxxbabababa),(,),(,),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba机动 目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2.向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba机动 目录 上页 下页 返回 结束 0ba思考与练习思考与练习1.设计算并求夹角 的正弦与余弦.)3,1,1(,321cos1211sin答案答案:2.用向量方法证明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2

25、jibkjia,baba及BabcAC机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:由三角形面积公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P310 3,4,6,7,9(1);(2),10,12第三节 目录 上页 下页 返回 结束 22343cos322)2(17备用题备用题1.已知向量的夹角且解：解：,43ba,.|ba 求,2|a,3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba机动 目录 上页 下页 返回 结束 2

26、2200)2(211ABCD在顶点为三角形中,)2,1,1(A)0,1,1(B的和)1,3,1(C求 AC 边上的高 BD.解：解：)3,4,0(AC,5)3(422|AC)2,2,0(AB三角形 ABC 的面积为|21ABACS21S|AC|BD5211|BD52|BD2.而故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、二次曲面四、二次曲面第三节一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋转曲面二、旋转曲面 三、柱面三、柱面机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲面及其方程 第七七章 一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的222)3()2()

27、1(zyx07262zyx化简得即说明说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4()1()2(zyx解解:设轨迹上的动点为,),(zyxM,BMAM 则轨迹方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形图形.两个基本问题两个基本问题 :(1)已知一曲面作为点的几何

28、轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).机动 目录 上页 下页 返回 结束 故所求方程为例例1.求动点到定点),(zyxM),(0000zyxM方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解解:设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面.Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.研究方程042222yxzyx解解:配方得5,)0,2,1(0M此方程表示:说明说明:如下形式的

29、三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.5)2()1(222zyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2.一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:故旋转曲面方程为,),(zyxM当绕 z 轴旋转时,0),(11zyf,),0(111CzyM若点给定 yoz 面上曲线 C

30、:),0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfozyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考：思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为的圆锥面方程.解解:在yoz面上直线L 的方程为cotyz 绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方L),0(zyM机动 目录 上页 下页 返回 结束 xy例例4.求坐标面 xoz 上的双曲线12222czax分别

31、绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转122222czyax绕 z 轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为z机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz三、柱面三、柱面引例引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程222Ryx解解:在 xoy 面上，表示圆C,222Ryx222Ryx沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆故在空间222Ryx过此点作柱面柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面圆柱面oC在圆C上任取一点,)0,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程,机动

32、 目录 上页 下页 返回 结束 xyzxyzol定义定义3.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byaxz 轴的平面平面.0 yx表示母线平行于 C(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.xyzoo机动 目录 上页 下页 返回 结束 xzy2l一般地,在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线

33、 l2.母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyz1l四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面.FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为 0)机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyx1 1.椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆,

34、012222zbyax,012222xczby 012222yczax机动 目录 上页 下页 返回 结束 1222222czbyax与)(11czzz的交线为椭圆：1zz(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样)(11byyy的截痕）（axxx11及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 z2.抛物面抛物面zqypx2222(1)椭圆抛物面(p,q 同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.(p,q 同号)zyx机动 目录 上页

35、 下页 返回 结束 3.双曲面双曲面(1)(1)单叶双曲面单叶双曲面by 1)1上的截痕为平面1zz 椭圆.时,截痕为22122221byczax(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）1yy zxy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情况:机动 目录 上页 下页 返回 结束 双曲线:虚轴平行于x 轴）by 1)2时,截痕为0czax)(bby或by 1)3时,截痕为22122221byczax(实轴平行于z 轴;1yy zxyzxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 相交直线:双曲线:0(2)双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax上的截痕

36、为平面1yy 双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线zxyo222222czbyax单叶双曲面11双叶双曲面P18 目录 上页 下页 返回 结束 图形图形4.椭圆锥面椭圆锥面),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.zxyo1)()(2222t byt axtz,可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到,见书 P316)xyz机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.空间曲面三元方程0)

37、,(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面如,曲线00),(xzyf绕 z 轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxF表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.二次曲面三元二次方程),(同号qp 椭球面1222222czbyax 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面zqypx2222zqypx2222 双曲面:单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面2222byax22cz1 椭圆锥面:22222zbyax机动 目录 上页 下页 返回 结束 5x922 yx1 xy斜率为1的直线平面解析

38、几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面平行于 z 轴的平面思考与练习思考与练习1.指出下列方程的图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.P318 题3,10机动 目录 上页 下页 返回 结束 题题10 答案答案:在 xoy 面上;194)1(22轴旋转一周绕椭圆xyx;19)2(22轴旋转一周绕双曲线yyx;1)3(22轴旋转一周绕双曲线xyx.,)4(轴旋转一周绕直线面上在zayzyoz 第七七章 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程 三、空

39、间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线 C.xzy1oC2机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如,方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.022222xayxyxazyxzao机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxo二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数

40、t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.)(txx 例如,圆柱螺旋线vbt,令bzayaxsincos,2 时当bh2taxcostaysin t vz 的参数方程为上升高度,称为螺距螺距.)(tyy)(tzz M机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.将下列曲线化为参数方程表示:6321)1(22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解:(1)根据第一方程引入参数,txcostysin)cos26(31tz(2)将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.

41、求空间曲线:)(tx)(ty)(tz)(t绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程.解解:,)(,)(,)(1tttM任取点点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点,),(zyxM则cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t机动 目录 上页 下页 返回 结束 这就是旋转曲面满足的参数方程.例如例如,直线1xty tz2绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 cos12txsin12tytz220t消去 t 和 ,得旋转曲面方程为4)(4222zyxxzoy机动 目录 上页 下页 返回 结束 绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为 又如又如,xoz 面上的半圆周sinax 0ycosaz

42、 cossinax sinsinay cosaz)0(200说明说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如),(tsxx),(tsyy),(tszz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH00),(zyxH00),(xzyR00),(yzxTzyxCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyxC1o例如例如,在xoy 面上的投影

43、曲线方程为002222zyyx1)1()1(1:222222zyxzyxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 zxyo1C又如又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在 xoy 面上的投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线.0,122zyx所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结 空间曲线三元方程组或参数方程 求投影曲线(如,圆柱螺线)机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 P324 题 1，2，7（展示空间图形）P324 题1 (2)ozy

44、xo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo2答案答案:机动 目录 上页 下页 返回 结束(3)zxyo oaoa222azx222ayx机动 目录 上页 下页 返回 结束 P324 题2(1)ozy15 xy3 xy15 xy3 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 yz2x3思考思考:by 对平面交线情况如何?,3时当b交线情况如何?,3时当bP324 题2(2)19422yx3y机动 目录 上页 下页 返回 结束 P325 题 7022zaxyx0)0,0(222yzxazxyxzaoyxzao机动 目录 上页 下页 返回 结束 22yxz122zyxyxz122yxyx0122

45、zyxyx备用题备用题求曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.1zyx解：解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为 2yz 0 x,它与所给平面的机动 目录 上页 下页 返回 结束 第五节一、平面的点法式方程平面的点法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角三、两平面的夹角机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第七七章 zyxo0Mn一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程),(0000zyxM设一平面通过已知点且垂直于非零向0)()()(000zzCyyBxxAM称式为平

46、面的点法式方程点法式方程,求该平面的方程.,),(zyxM任取点),(000zzyyxx法向量.量,),(CBAn nMM000nMMMM0则有 故的为平面称n机动 目录 上页 下页 返回 结束 kji例例1.1.求过三点,1M又)1,9,14(0)4()1(9)2(14zyx015914zyx即1M2M3M解解:取该平面 的法向量为),2,3,1(),4,1,2(21MM)3,2,0(3M的平面 的方程.利用点法式得平面 的方程346231nn3121MMMM机动 目录 上页 下页 返回 结束 此平面的三点式方程三点式方程也可写成 0132643412zyx0131313121212111z

47、zyyxxzzyyxxzzyyxx一般情况一般情况:过三点)3,2,1(),(kzyxMkkkk的平面方程为说明说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 特别特别,当平面与三坐标轴的交点分别为此式称为平面的截距式方程截距式方程.),0,0(,)0,0(,)0,0,(cRbQaP1czbyax时,)0,(cbabcax)(cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程为 PozyxRQ分析:利用三点式 按第一行展开得 即0ax yzab0a0c机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、平面的一般方程二、平面的一般方程设有三元一次方程 以上两式相减,得平面的点法式方程此方程称为平面的一般平面的一

48、般0DzCyBxA任取一组满足上述方程的数,000zyx则0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA显然方程与此点法式方程等价,)0(222CBA),(CBAn 的平面,因此方程的图形是法向量为 方程方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 特殊情形特殊情形 当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示 通过原点通过原点的平面;当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量平面平行于 x 轴;A x+C z+D=0 表示 A x+B y+D=0 表示 C z+D=0 表示 A x+D=0 表示 B y+D=0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 轴的平面;

49、平行于 z 轴的平面;平行于 xoy 面 的平面;平行于 yoz 面 的平面；平行于 zox 面 的平面.,),0(iCBn机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.例例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.解解:因平面通过 x 轴,0 DA故设所求平面方程为0zCyB代入已知点)1,3,4(得BC3化简,得所求平面方程03 zy(P327 例4,自己练习)机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两平面的夹角三、两平面的夹角设平面1的法向量为 平面2的法向量为则两平面夹角 的余弦为 cos即212121CCBBAA222222CBA21212

50、1CBA两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角.122n1n),(1111CBAn),(2222CBAn 2121cosnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2特别有下列结论：特别有下列结论：21)1(0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA),(:),(:2222211111CBAnCBAn1122121cosnnnn 21nn 21/nn2n1n2n1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此有例例4.一平面通过两点垂直于平面:x+y+z=0,求其方程.解解:设所求平面的法向量为,020CBA即CA2的法向量,0CBACCAB)()0(0)1()1()