电磁学第三版第四章稳恒磁场12-课件.ppt

1、第四章第四章 (真空中真空中)稳恒电流的磁场稳恒电流的磁场 magnetic field 磁现象研究发展概要磁现象研究发展概要 1820年9月,法国人法国人阿拉果经过一段时间的旅行,回到法国,并带来了丹麦奥斯特发现电流磁效应的消息,这在法国科学界引起了轰动.安培、毕奥、萨伐尔迅速开展了关于这种效应的定量研究。安培开展独立研究平行载流导线之间相互作用的研究，并通过一系列的实验（课本小字部分）由此发展得到安培定律。毕奥和萨伐尔合作开展研究，发现了载流长直导线对磁极作用反比于距离r的实验结果,这是人们第一次得到电流磁效应的定量结果，并确定了电流对磁极的作用力为横向力。拉普拉斯参与实验分析，推导得到了

2、电流元产生磁场的毕奥和萨伐尔定律。奥斯汀发现电流磁效应的半年后，就，就基本建立了电流磁场的知识体系。电学、磁学合并成为一个新的学科：电磁学。1820年之前（库仑实验：），人们认为磁和电是没有关系的物理问题。1820年丹麦人奥斯特的电流的磁效应揭示：运动的电产生磁。发现的意义：电磁之间有相互联系。作业：作业：p255思考题思考题2习题习题6,10,20,25,301 1.磁的基本现象和规律磁的基本现象和规律N指南针指南针指南指南原理原理S作用规律：同性相斥、异性相吸作用规律：同性相斥、异性相吸 问题问题 电流对磁铁有作用，磁铁对电流是否有作用？电流对磁铁有作用，磁铁对电流是否有作用？II实验实验

3、I=0N 极极向内向内结论结论和磁铁一样，载流导线和磁铁一样，载流导线不仅具有磁性，也受磁不仅具有磁性，也受磁作用力作用力（3）电流）电流 电流电流(应该存在作用力应该存在作用力)实验实验IIII结论结论作用规律作用规律同向电流相吸同向电流相吸异向电流相斥异向电流相斥问题问题载流导体也具有磁极载流导体也具有磁极?磁铁磁铁 磁铁磁铁 磁作用具有磁作用具有极性极性特点特点电流电流 电流电流 磁作用磁作用也也具有具有极性极性特点特点载流螺线管载流螺线管磁极磁极的确定方法：的确定方法：右手法则右手法则载流载流螺线管螺线管与磁铁的作用与磁铁的作用NSIINS分析分析载流螺线管载流螺线管条形磁铁条形磁铁实

4、验表明实验表明:磁性磁性特征相同特征相同产生磁场的源应该相同产生磁场的源应该相同环向电流环向电流环向电流环向电流18221822安培提出：组成磁铁的安培提出：组成磁铁的最小单元最小单元(磁分子磁分子)就就是是环形电流环形电流，这些分子环流，这些分子环流定向定向排列，在宏观上排列，在宏观上就会显示出就会显示出N、S极。极。安培分子安培分子环流环流假说假说图示图示NS磁铁内部分子电流相互磁铁内部分子电流相互抵消抵消等效宏观表面电流等效宏观表面电流为什么是假说？为什么是假说？安培提出了分子环流，但在安培时代，安培提出了分子环流，但在安培时代，还没有还没有建立建立物质的分子、原子物质的分子、原子模型模

5、型。因此，安培的模型为假说。因此，安培的模型为假说。现代观点现代观点物质组成：分子、原子物质组成：分子、原子原子：原子核（正电）原子：原子核（正电）+电子（负电）电子（负电）电子绕核旋转电子绕核旋转+电子自旋电子自旋分子环流分子环流 经典模型经典模型磁场的本源磁场的本源相互作用模型相互作用模型的的统一统一运动运动的电荷的电荷导线中的传导导线中的传导电流电流磁铁中的分子磁铁中的分子环流环流电流电流 分子分子环流环流 磁铁磁铁 电流电流磁场磁场传导传导电流电流载流线载流线 分子分子环流环流 传导传导电流电流 库仑力库仑力与磁力与磁力的的区别区别运动运动电荷之间的作用电荷之间的作用静止静止（相对静止

6、）电荷之间的作用（相对静止）电荷之间的作用（束缚电流）（束缚电流）3.安培定律安培定律 库仑力、磁力的库仑力、磁力的对比对比 定量描述定量描述定律定律磁作用力磁作用力库仑力库仑力库仑定律库仑定律？定律定律地位地位基本规律基本规律高斯高斯 环路环路（应该为）基本规律（应该为）基本规律?实验上可以得到实验上可以得到近似的点电荷近似的点电荷相对简单明了相对简单明了研究研究难易难易相对简单相对简单相对复杂相对复杂 没有简单的电流元没有简单的电流元（稳恒电流必须（稳恒电流必须构成闭合回路）构成闭合回路）历史历史过程过程相对曲折（相对曲折（B B、H H，磁荷观点），磁荷观点）讲授过程讲授过程简单简单简单

7、化处理简单化处理3.安培定律安培定律 研究内容：研究内容：两个电流元之间的磁相互作用力两个电流元之间的磁相互作用力说明：说明：不同于库仑定律的发现，安培没有能不同于库仑定律的发现，安培没有能 直接直接通过实验得到电流元之间磁相通过实验得到电流元之间磁相 互作用力。互作用力。（原因？）（原因？）研究过程：研究过程：提出了提出了一个假设一个假设，设计了，设计了四四 个实验个实验，根据实验结果，通过，根据实验结果，通过数数 学分析学分析得到了安培定律。得到了安培定律。I1I21ld2ld说明：说明：实验二实验二矢量和矢量和推导安培定理的四个推导安培定理的四个示零示零实验实验实验一实验一电流反向电流反

8、向IIIIII实验四：作用力与几何尺度实验四：作用力与几何尺度d1:d2=n:1d1d2R1:R2:R3=:1:n1n 无定向秤无定向秤实验三：作用力方向实验三：作用力方向C弧形导体弧形导体水银槽水银槽垂直结构垂直结构固定绝缘柄固定绝缘柄运动限制运动限制F?安培假设：安培假设：两个电流元之间的相互作用力两个电流元之间的相互作用力 沿它们的连线沿它们的连线安培定理的数学表达：安培定理的数学表达：安培安培最初最初的数学表达式的数学表达式)(122112 rIkIFd21212122112)(rrldldIIkFd 错误之一：错误之一：作用力沿电流元之间的连线作用力沿电流元之间的连线正确的正确的安培

9、定理数学表达式安培定理数学表达式该公式与安培实验结果相符（自行验证）该公式与安培实验结果相符（自行验证）安培定理数学安培定理数学表达式说明表达式说明见下页见下页安培定理数学安培定理数学表达式的说明表达式的说明I11ldI22ld12r12FdF12的的方向方向与电流元与电流元空间取向空间取向的关系的关系n 12Fd2ld平面平面 I平面平面 II1ld12r21212122112)(rrldldIIkFd dF12垂直垂直 n 2ld12Fd在平面在平面I内内且垂直平面且垂直平面II12所所在在平平面面、121 rl d方方向向121 rld dF12的的大小大小与电流元参量之间的关系与电流元

10、参量之间的关系21221221112sinsinrdlIdlIdF n 12Fd2ld平面平面 I平面平面 II1ld12r122122112rqqF对比对比库仑定律库仑定律问题：问题：dF12的最大值条件？的最大值条件？2/,2/21 1ld12r2ld电流元电流元dl1，dl2在在同一平面同一平面212221112rdlIdlIkdF 21212122112)(rrldldIIkFd n 21212122112)(rrl dl dIIkFd k 的取值的取值 40 k212121221012)(4rrldldIIFd dF21的表达式的表达式22121212121)(rrldldIIkFd

11、 问题问题1：库仑定律库仑定律有有文字表述，为什么安培定律文字表述，为什么安培定律 没有没有文字表述？文字表述？量纲量纲20IF 数值数值27/104安安培培牛牛顿顿 问题问题2 2：如何记忆公式？如何记忆公式？结合结合B-SB-S公式、公式、洛伦兹力公式洛伦兹力公式BVqf 21212110rr l dI4Bd 安培定律分析安培定律分析平行电流元平行电流元受力受力212121221012)(4rrl dl dIIFd 12Fd21Fd 同向同向电流相互电流相互吸引吸引 相同分析：相同分析：反向反向电流相互电流相互排斥排斥?4212122102112rllIIFF 问题：问题：有限长平行载流线

12、的作用力有限长平行载流线的作用力11ldI12r22ldIzxy21212210)(4reedledlIIxzz 212212102122121044redldlIIreedldlIIxyz 安培定律分析垂直电流元受力安培定律分析垂直电流元受力212121221012)(4rrl dl dIIFd 电流元磁作用电流元磁作用不满足不满足牛顿第三定律牛顿第三定律问题：磁作用不满足牛顿第三定律？本节思考题问题：磁作用不满足牛顿第三定律？本节思考题30)(421212210 reedledlIIxxz zxy12r11ldI22ldI221212121021)(4rrl dl dIIFd 221212

13、10)(4reedledlIIxzx 22121210221212104)(4redldlIIreedldlIIzyx 21Fd4.磁感应强度矢量（磁场强度？）磁感应强度矢量（磁场强度？）B(1)通过与通过与电场强度电场强度的的对比对比引入引入磁感应强度磁感应强度矢量矢量 点电荷电场强度的引入点电荷电场强度的引入两点电荷之间的库仑力两点电荷之间的库仑力122122101241rrqqF 将将q2 看作试探电荷，电看作试探电荷，电 场由场由q1 产生产生EqrrqqF2122121021241 电流元磁感应强度的引入电流元磁感应强度的引入两电流元之间的安培力两电流元之间的安培力212121221

14、012)(4rrldldIIFd 将将 看作试探电流元，看作试探电流元，磁场由磁场由 产生产生22l dI11l dI 12FdBdldIrrldIldI 2221212110224 Bd20rr lId4Bd (2)产生产生 的说明的说明lIdBdP 特性：特性：大小：大小：与电流元、场点之间的距离与电流元、场点之间的距离 平方成反比平方成反比r rdq41Ed20 方向方向：由由 决定，即与电流元决定，即与电流元取向取向、场点空间场点空间位置位置有关。有关。rlId 确定确定 方向的方向的另一方法另一方法：BdlIdBdBdrlIdB B线形状线形状：以：以dldl及延长线为中心的同心圆及

15、延长线为中心的同心圆右手法则右手法则BdrBdBd(3)闭合载流回路的闭合载流回路的磁感应强度磁感应强度 lIdBd204rrlIdBd Pr 矢量叠加矢量叠加原理原理 )(20)(4LLrrlIdBdB Bdl dIFd 212两电流元两电流元作用力：作用力：电流元与电流元与闭合回路闭合回路：)(204LrrlIdl dIBl dIFd (4)电流元电流元 dl 与闭合载流回路与闭合载流回路L 的的作用力作用力IILldI rldI(5)电流元电流元 I dl 在任意在任意 B 中的受力中的受力 BlIdFd (a)电流元受力电流元受力大小大小与其取向有关（不同于点电荷）与其取向有关（不同于

16、点电荷）sinIdlBdF (b)dl B 时，时，dF 最大最大 IdlBdFmax(6)B 的广义定义的广义定义（电流元受力）（电流元受力）IdldFB/max B大小：大小：B方向：方向：BldI在在dF=0时的电流元方向上时的电流元方向上。两个。两个:=0,:=0,BdlIdFd 再由再由唯一确定唯一确定(见图见图)F(7)B 的量纲、单位的量纲、单位 sinIdldFB 量纲：量纲：米米安安培培牛牛顿顿 IdlFB单位：单位：特斯拉特斯拉(T)，高斯（，高斯（Gs）换算关系：换算关系：1 T=104 Gs说明：说明：高斯高斯不是不是MKSA有理制有理制单位（单位（国际国际单位制中的电

17、磁单位制中的电磁学部分）学部分）,特斯拉是特斯拉是MKSA有理制单位有理制单位MKSA有理制有理制四个基本量：米，千克，秒，安培四个基本量：米，千克，秒，安培其他电磁学量均为其他电磁学量均为导出量导出量 sinIdlBdF附：特斯拉单位太高附：特斯拉单位太高稳态磁场、稳态磁场、6 0T6 0T长脉冲磁场、长脉冲磁场、80T80T非破坏性脉冲磁场和百特斯拉级磁场非破坏性脉冲磁场和百特斯拉级磁场.45T45T稳态稳态磁场：美国强磁场国家实验室磁场：美国强磁场国家实验室,系统高系统高6.66.6米，重米，重3535吨，由液氦冷却吨，由液氦冷却 至至271.2271.2摄氏度摄氏度.美国佛罗里达强磁场

18、国家实验室 稳态磁场（45T，世界记录）Los Alamos Science and Technology Magazine Lab美国洛斯阿拉莫斯实验室（脉冲磁场）高温核聚变中的磁场线圈高温核聚变中的磁场线圈 是电磁学发展中的历史是电磁学发展中的历史“错误错误”。在早期磁学研。在早期磁学研究中，用究中，用磁场强度磁场强度衡量天然磁铁产生的磁场强弱。衡量天然磁铁产生的磁场强弱。由分子电流解释的磁场产生时：由分子电流解释的磁场产生时：(8)B 的的 名称说明名称说明 电流产生磁场电流产生磁场 B磁感应强度磁感应强度磁场强度磁场强度电场强度电场强度电荷产生电场电荷产生电场 EElectric fi

19、eld intensityMagnetic induction intensity HMagnetic field intensity D E B HD D：包含包含电介质电介质电荷的贡献，电荷的贡献，H H：包含：包含磁介质磁介质电流的贡献电流的贡献(9)磁感应线磁感应线（B 线）线）引入引入B 线作用线作用:（与电场线作用相同）（与电场线作用相同）B 线定义线定义:直观直观地描述磁场的地描述磁场的空间分布空间分布大小：穿过大小：穿过单位面积的单位面积的磁感应线根数磁感应线根数 （或磁通量，后面讲授）（或磁通量，后面讲授）方向：方向：磁感应线磁感应线上上每一点每一点的的切线切线方向；方向；B

20、B线线密密集：集：B强强 ，B线线稀稀疏：疏：B弱弱B 线特征线特征:闭合闭合(后面证明后面证明)20rr lId4Bd )L(20)L(rr lId4BdB lIdBd方向方向形状形状lIdBd1P2P1rO电流元的电流元的B线为线为圆环圆环 任意载流体的任意载流体的B线线也为圆环也为圆环?如何理解？如何理解？对比：点电荷的对比：点电荷的E线，线，任意带电体的任意带电体的E线。线。lIdBdPr2.利用毕奥萨利用毕奥萨-伐尔定律求磁场伐尔定律求磁场（1）载流直导线）载流直导线(a)对称性分析对称性分析 轴轴对称性，取任一平面分析对称性，取任一平面分析(b)分割电流元分割电流元 分析元磁场分析

21、元磁场方向方向、大小大小I大小大小：方向方向：所有元电流的元磁场：所有元电流的元磁场dB垂垂 直直平面平面向内（右手法则）向内（右手法则）20sin4rIdldB dll1A2A204rrlIdBd P12O0rBdr(c)元磁场积分元磁场积分 212120sin4AAAArdlIdBB Idll1A2AP1 2 O0rBdr 将被积函数、微元，积分上下限将被积函数、微元，积分上下限化为关于化为关于某一某一变量变量（此处为此处为）的函数的函数积分方法：积分方法：l,r 与与的关系：的关系：cotcot0 rl cot0rl sinsin0rrr sin0rr cot0drdl dr20sin1

22、 取微分取微分)dsincotd(21 2121sin4sinsinsin400220200 drIrdrIB将将 dl,r 代入积分式代入积分式 21204AArsindlIB sin0rr dsinrdl201)cos(cos42100 rI21)cos(400 rIIdll1A2AP1 2 O0rBdr)cos(cosrIB21004 讨论讨论PO0r211z2z(a)B的空间分布的空间分布径向：径向：B随随 r0 增加而减小增加而减小轴向：轴向：B在在 z1=z2处取得处取得最大最大值值(b)载流直导线为载流直导线为无限长无限长时时 21,0 00002)1(14rIrIB 对比：对比

23、：无限长均匀无限长均匀 带带电电直线直线B与轴向位置与轴向位置无关无关随半径增加而降低随半径增加而降低rEe 021 相同特征！相同特征！记忆结果？记忆结果？P 21,0002 rIB zeIdzlId zxezerr 0304rrlIdBd yzxzedzrIrrezereIdz3003004)(4 yzzerdzIrBdB 213004 P0r1z2zXYZrzyzzerdzIrBdB 213004 yzzezrdzIrBdB 212/322000)(4 220202/3220)(zrrzzrdz P0r1z2zXYZrztan0rz 积分代换：积分代换：yzzezrrzIrB212202

24、0004 yezrzzrzrI)(4220222010021 yer)cos(cos42100 1222Rzr XZPI eIRdzRrYrzezreR 304rrlIdBd 3rz0r)eRez(eIRd4 eRdld dezrIRzr)eR(430 rzeee zreee 304rrlIdBd 2020304zredRdezrIR 2030)eR(4dezrIRBdBzrzzeRzIRerIR2/32220320)(22 rreZBXZPI eIRdzRrYPIRz2/32220e)Rz(2IRB z0eR2IB lIdrBd20rr lId4Bd z20eRIdl4 zR2020Ledl

25、RI4BdB z0eR2I rl d 远离圆心，远离圆心，zR0z2/32220e)Rz(2IRB z320z320ezRI24ez2IRB I与静电场与静电场电偶极子电偶极子比较比较q q l qp P磁偶极子磁偶极子磁磁矩矩 nISmn P2RS 30rm24B 30rp241E lr ISRIm 2 z30ezm24B 轴线上轴线上 r r m3mr4Br r p3pr41E30ee30 场点不在极轴上时场点不在极轴上时电磁对称电磁对称场量的表达形式场量的表达形式相同相同Iq ql qp PnISm n Prr 2020304zredRezrIRBlI)cos(cosnI21024 2/

26、1202)(sinzzRR 22232022042/L/L/dz)zz(RRnIB 21sin240 dnIB1 2 232022024/)zz(RnIdzRdB Rdzd 2sin1Rzz 0cot)()(cot0Rzzdd dRdz2sin RzzRR 32/32022sin)(被积函数被积函数微元微元ddz 121cos,011 1cos,22 nIB0 )cos(cosnIB2102 1cos,011 0cos,2/22 20/nIB (c)决定磁场线特性的物理定律？决定磁场线特性的物理定律？B 线性质线性质求求B的定理的定理毕奥毕奥-萨伐尔定律萨伐尔定律主导定律主导定律(d)直接直接

27、描述磁场线（磁场）特性的物理定律描述磁场线（磁场）特性的物理定律静电、稳恒磁场静电、稳恒磁场对比对比静电场静电场稳恒磁场稳恒磁场库仑定律库仑定律高斯定理高斯定理 环路定理环路定理毕奥萨伐尔定律毕奥萨伐尔定律磁场磁场“高斯定理高斯定理”安培环路定理安培环路定理SdBdm SddBm B SmSdB Sdn Sm SmSdB(b)闭合曲面磁通量特性闭合曲面磁通量特性-磁场中的磁场中的“高斯定理高斯定理”静电场高斯定理静电场高斯定理:稳恒磁场稳恒磁场“高斯定理高斯定理”：内内Si0Sq1SdE?d SSB证明方法：证明方法：点电荷点电荷的电场性质的电场性质叠加原理叠加原理证明方法：证明方法：电流元电

28、流元的磁场性质的磁场性质 叠加原理叠加原理lId1PO2P1r3P空间空间各处各处磁场磁场线线闭合闭合圆形圆形IBB(a)不穿越不穿越闭合曲面闭合曲面电流元的两类电流元的两类磁场线磁场线(b)穿越穿越闭闭 合曲面合曲面s s0m磁磁通通量量 0m磁磁通通量量 电流元的电流元的磁场特性磁场特性 0iimtotalm 0d SmSB 注：注：说明说明IBBs s0d SSB磁场中的磁场中的“高斯定理高斯定理”磁场线管的高斯面磁场线管的高斯面：结论：结论：磁场线磁场线稀疏稀疏处，磁场处，磁场弱弱；磁场线磁场线密集密集处，磁场处，磁场强强。00SBSBm2211m 侧侧面面 S1BSSBB1221 高

29、斯面：高斯面：侧面侧面+两个截面两个截面通过高斯面的磁通量：通过高斯面的磁通量：应用应用1 1：B B强、弱强、弱与与B B线线疏、密疏、密1B2B1 n2 n磁场高斯定理磁场高斯定理由由真空、稳恒情况真空、稳恒情况导出，适用导出，适用于于有介质（第六章）有介质（第六章）和和时变时变情形（第八章）情形（第八章）由由 引入标量势引入标量势U,用以计算电场用以计算电场 0 ldEUE 由由 引入磁场矢势引入磁场矢势A,A,用以计算磁场用以计算磁场0SdBS AB （非现阶段学习内容）（非现阶段学习内容）应用应用2 2：通过以通过以任意任意闭合曲线闭合曲线 L 为边界的所有曲为边界的所有曲 面，具有

30、面，具有相同相同的磁通量（的磁通量（简化磁通量计算简化磁通量计算）L讨论讨论Bl dB r2IB0 rdcosdl IdIldBL02002 l dBIldBL0 d2Irdr2I00 r d cosdl d2Irdr2I00 00ldBldBldBLL2211L 情形情形2所选所选环路环路不包围不包围载流导线载流导线2l d2B d1l d1B d2Il dB011 d2Il dB022 0ldBL 结论结论IldB0L 环路环路包围包围载流导线载流导线环路环路不包围不包围载流导线载流导线磁场的安培环路定理磁场的安培环路定理问题问题 iiLIldB内内0 以穿过以穿过与该闭合路径为围界的任意

31、曲面所包围的各电流的代数和与该闭合路径为围界的任意曲面所包围的各电流的代数和B0 l dBI 00IldBL 0ldBL该条件下穿越以穿越以 L 边界的不同曲面（如右下图）边界的不同曲面（如右下图）I 与环路积分方向与环路积分方向成左手系成左手系l dBIL0 LldB何谓以何谓以该闭合路径为围界的任意曲面该闭合路径为围界的任意曲面IS S1 10,0)(Ll dBIII S1 I S2S S2 200 Ll dBI结论与曲面选者无关结论与曲面选者无关L LI I 00 IldBL B B的理解的理解2IL1IB由由所有所有电流产生（穿电流产生（穿越、不穿越），但对越、不穿越），但对环路积分环

32、路积分贡献不同贡献不同 但但B不仅不仅仅仅由由 I1 产生！产生！ii0Sq1SdE 010LIldB 10LL21LIl dBl dBl dB lIdL204rrlIdB r?0ILdBL erIdlB204 eIrIdlrrIdlLdBL0020224 0 Ll dBl dB?0 Ll dB安培环路定理证明安培环路定理证明 （任意闭合电流）（任意闭合电流）不不讲授讲授！Your attentionplease!B由由多个多个闭合电流回路产生，对闭合电流回路产生，对单个单个电流回电流回路证明路证明安培环路定理成立安培环路定理成立，多个回路由单回多个回路由单回路路叠加叠加即可。即可。iiLIl

33、dB内0说明说明IldBL0 LIL l dVShcosSCCn sinABCBA BACh n SCBAVhSBSBCA )(cos BACCA SL20rr)l d(l d4Il dB LrrlIdB204 l d rp L20rl dr l d4I l drr lId4l dBL20安培安培环路环路电流电流回路回路 Lrr)l d()l d(I204 ()prLIL l dl d prL20rr)l d(l d4Il dBr r r()带状区带状区对对 P 的立体角的立体角（）2L1Lldl d l d pld r )l d()l d(单位矢量单位矢量r)l d()l d(Sd)l d(

34、)l d(Sd4Il dB02rr)l d()l d(dS 的立体角的立体角d 安培安培环路环路电流电流回路回路 p2L1Lldl d p，2)0(40 Il dB1L2L带状区带状区立体角立体角P12212121)(1221 22 p)(IL ld p，1 2 L dIIl dB4)(40120 场点场点沿安培回路沿安培回路移动一周移动一周的立体角的立体角变化量变化量 dIIl dB4)(40120 B沿安培回路的沿安培回路的元积分值元积分值由由场点场点对对电流回路电流回路的的立体角变化量立体角变化量决定决定正负号与教材结果正负号与教材结果相反相反，不矛盾不矛盾原因：电流回路、安培回路的相对

35、原因：电流回路、安培回路的相对方向不同方向不同等式两边正负号的相一致（验证之）等式两边正负号的相一致（验证之）l d pld r 0)()(2 rrl dl ddS 的立体角的立体角d立体角立体角0 LLdIldB40 p)(IL ld p，12L4IldB0L场点场点沿安培回路沿安培回路移动移动一周一周的立体角的立体角变化量变化量两种情形两种情形（a）安培回路安培回路不与不与电流回路套连电流回路套连（b）安培回路与电流回路套连安培回路与电流回路套连pLL0ldBL 立体角与场点立体角与场点 P 的位置关系的位置关系 pLL pldld ld场 点场 点 P 在 电在 电流回路流回路下部下部r l d pld 0)()(2 rrl dl ddS 的立体角的立体角d立体角立体角0)()(l dl d场 点场 点 P 在 电在 电流回路流回路上部上部r l d pld 0)()(2rrl dl ddS 的立体角的立体角d立体角立体角0)()(l dl d倒倒向向r 1221pppp0ldBd4I 分为分为两段两段积分积分 p1LL p2P1、P2无限靠近无限靠近电流回路平面时电流回路平面时2 2 0 II0044 IldB0L 在如图所示的情形在如图所示的情形下，下，电流取正值电流取正值 1221ppppLldBldBldB 12)()(4120ppldBppI