第三章中值定理与导数的应用-课件.ppt

1、第一节第一节.中值定理中值定理第三章 中值定理与导数的应用中值定理第一节 定理一、罗尔（)Rolle,)(1连续在闭区间）函数设（baxf,),()(2可导在开区间）函数（baxf),()(3bfaf）（0)(,),(fba使得内至少存在一点那么在轴的切线内存在平行于几何意义：在xba),(axyba)(xfo(0,1)01)(xxf01xy，定理不一定成立注：三个条件缺一个时1010)(xxxxf例：处不连续可导，在在1)1,0(x)1(0)0(ffxxf)(例：处不可导连续，在在0 1,1x)1(1)1(ff定理不成立0,1 )(xxf例：1)1(0)0()2)(1(ff满足解：01)()

2、1,0(xf上在定理不成立中值定理二、拉格朗日（)Lagrange上连续在闭区间函数设,)()1(baxf上可导在开区间函数),()()2(baxf使等式（内至少有一点那么在),),(baba)()()(abfafbf成立0 xyABMNCaxbabafbff)()()(，使它切线的斜率内至少存在一点就是在),(ba两点连线的斜率相等与BA,Ixx21,证：12xx 且)()()(1212xxfxfxf)(21,xx)()(12xfxf上的导数恒为零在区间推论：如果函数Ixf)(上是一个常数。在区间那么Ixf)(上是一个常数。在区间Ixf)(成立)()()()()()(FfaFbFafbf中值

3、定理三、柯西)(Cauchy上连续，在闭区间及函数设,)()()1(baxFxf上可导，在开区间及函数),()()()2(baxFxf内的每一处均不为零，在且),()(baxF使等式内至少有一点那么在),(ba在区间：验证罗尔定理对函数例xysinln1上连续在解：65,6sinlnxy)65(21ln)6(ff且)65,6(2 x20sincosctgxxxy又令上可导在)65,6(sinlnxy 的正确性,656罗尔定理正确22 arcctgxarctgx：证明例01111)(:22xxarcctgxarctgx证carcctgxarctgxcx44 1取2 c2arcctgxarctgx

4、时：证明当例ab 03bbabaabalnxxfln)(证：作)(1lnlnbaba),(abba111bbabaaba1)(lnln1)(bbabaabalnab定理上用在)(,Lab时成立等号仅在ba yxyxsinsin4：证明例ttfsin)(证：令定理上运用在)(,Lyx)(cossinsinxyxy则xyxyxycossinsinyxyxsinsin即：xeexx 1 5时当：证明例定理上运用在证：)(,1)(Lxetft),1()1(1xxeeexexeeexxeex 0 6时当：证明例baxxfn)(证：令aafn)(bbfn)()(1banbannn)()(11baanbab

5、abnnnnn)()(11baanbababnnnnn定理用在)(,Lab)()()(bafbfaf),(ab洛必达法则第二节 两个无穷小之比的极限在求极限中常常会遇到xxx20cos1lim型00型不定式通常称这类型的极限为00 xxx3sinln2sinlnlim0型型不定式通常称这类型的极限为 0 1 000，对于这些极限怎样计算等不定式（不定型），洛必达法则这就是我们今天要讲的型不定式一、00.)()(lim)()(lim );()()(lim)3(;0)()()(),()2(;)()(,)1(xgxfxgxfxgxfxgxgxfaaxgxfaxaxaxax那末或为无穷大存在都存在且及

6、本身可以除外点点的某领域内在都趋于零及函数时当定理：设定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.,该法则仍然成立时当x型的极限时当00 x)()()(lim)()(lim)()()(lim)3(0)(|)(),()2(0)(lim)(lim)1(|)(),(或则或时可导，且在上有定义，且在设AxgxfxgxfAxgxfxgNxxgxfxgxfNxxgxfxxxxx定理：未定式为止使用法则，直到不再是续所要求的条件，则可继定理中对满足还是未定式，且若)(),()(),

7、()()(limxgxfxgxfxgxfax )()(lim)()(lim)()(limxgxfxgxfxgxfaxaxax.123lim12331xxxxxx：求例12333lim221xxxx解：原式266lim1 xxx.23)00(xxxeexxxsin2lim20：例解：原式xeexxxcos12lim0 xeexxxsinlim0 xeexxxcoslim0 2)00(.1arctan2lim3xxx：求例)00(22111limxxx解：原式221limxxx .1 xxxx30sinlim4：求例)00(616sinlim3cos1lim020 xxxxxx解：原式型不定式二、

8、)()()(lim)()(lim)()()(lim)3(0)()(),()2()(lim)(lim)1()(),(或则或可导，且的某邻域内有定义，且在设AxgxfxgxfAxgxfxgxgxfxgxfaxgxfaxaxaxaxax定理：.,该法则仍然成立时当xxxx3sinln2sinlnlim50：例)(xxxxxxxx2sin33sin2lim3sin3cos32sin2cos2lim00解：原式122cos333cos2lim0 xxxexxnxlim6：求例)0,0(n0!lim)1(limlimlim221enexnnexnexxnxxnxxnxxnx解：xxxxsinlim7：求例

9、)cos1(lim1cos1limsinlimxxxxxxxx解：存在时，才有定理只有当)()(limxgxfx)()()()(limlimxgxfxgxfxx1)sin1(limsinlimxxxxxxxxxnxlnlim80：例)0(x型00lim1lim1lnlimlnlim01000nxxnxxxxxnxnxnxnx解：0 1 000三、其它不定型)1sin1(lim90 xxx：求例型型xxxxxxxxsinsinlim)1sin1(lim00解：0sincoscossinlim0 xxxxxxxxxxxcossincos1lim0)(sinlim100 xxx：求例型0)(sin

10、xyx解：xxxxyxxx1sinlnlimsinlnlimlnlim0000cos)sin(lim1sincoslim020 xxxxxxxxx1lim0lnlim00eeyyxxxxysinlnln泰勒公式第三节 是各类函数中最简单的一种。用多项式是各类函数中最简单的一种。用多项式 近似表达函数是近似计算和理论分析近似表达函数是近似计算和理论分析 中的一个重要内容中的一个重要内容表达成多项式的形式泰勒公式是将一个函数 这时多项式本身就是一个多项式，若函数)(xf。的导数有着密切的关系的系数与函数)(xf次多项式的幂次形式写出的是按设naxxf)()()()()()(2210axpaxpax

11、ppxfnn的导数之间的关系我们来找多项式系数与)(xf0)(paf)(0afp)(1afp 1)(paf2!2)(paf3!3)(paf)(!212afp)(!313afp npnafn!)()()(!1)(afnpnn)()(!1)()(!21)()()()(2axafnaxafaxafafxfnn可以写成)(xf阶的导数，那么在直到是一般的函数，且它存若1)(nxf?)(!)()(0)(nkkkaxkafxf)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 中值定理泰勒（)Taylor证明证明:由由假假设设,)(xRn在在),(ba

12、内内具具有有直直到到)1(n阶阶导导数数,且且两函数两函数)(xRn及及10)(nxx在以在以0 x及及x为端点的为端点的区间上满足柯西中值定理的条件区间上满足柯西中值定理的条件,得得)()(1()(0011之间之间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn如如此此下下去去,经经过过)1(n次次后后,得得 两两函函数数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在在以以0 x及及1 为为端端点点的的区区间间上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件,得得0)(1()()()(1()(01010

13、11 nnnnnxnxRRxnR )()(1()(1021022之间之间与与在在 xxnnRnn nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 阶阶泰泰勒勒公公式式 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 则则由由上上式式得得,0)()1(xPnn)()()1()1(xfxRnnn 拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 1010)1()(!1)(!1)()(nnnnxxnMxxnfxR)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之间之间与与

14、在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即注意注意:1 1.当当0 n时时,泰泰勒勒公公式式变变成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x,在在0与与x之间之间,令令)10(x 则余项则余项 1)1()!1()()(nnnxnxfxR)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(!2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(Macl

15、aurin(Maclaurin)公式公式阶麦克劳林公式的；写出函数例nexfx)(1xnexnexRxRxnxxxeexffffefnxnnnnxxnn1132)1()(0)!1()!1()()(!1!31!211)()0()0()0(1)0(解解：)0(x)10(1x令)!1(!1!31!2111nene)10()!1(3)!1()1(nneRn9n当000001.036288003!103)1(9R718282.2!91!31!2111即用000001.0的值其误差不超过代替e阶麦克劳林公式的；求函数例nxxfsin)(2)2sin()()(nxxfn解：0)0(f1)0(f0)0(f 1

16、)0(f)1()0(1)12(mmf0)0()2(fmmmmRmxxxxxx2121753)!12()1(!7!5!3sinxmmmmxxR122)!12()2)12(sin()(其中)10(1m若：xx sin则：6!3)23sin(332xxxR其误差为：xxx3!31sin2m若：xxxx53!51!31sin3m若：常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx

17、)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 凹凸性函数的单调性与曲线的第四节 思单调增加（减少）的意中定义在),()(baxf)()()(),(,121221xfxfxfxxbaxx，则时当)()()(1212xfxfxfxx，则时当，单调性，讲了导数以后怎样来判定一个函数的就有一种简单的方法。别法一、函数的单调性的判146p函数单调性的判定法内可导上连续，在设函数),(,)(babaxfy)(0)(),(1xfyxfba，那么函数内）如果在（上单调增加；在,ba)(0)(),(2xfyxfba，那么函数内）如果在（上单调减少。在,ba的单调性讨论函数例33:1x

18、xy.1,1xx令0)1)(1(3332xxxy解：)1,()1,1(),1(xyy内单调减少在),1(),1,()(xf内单调增加，在)11()(xf 2002:2xxx解021222222xxxxxxy令1x得的单调性讨论函数例22:2xxy)1,0()2,1(xyy）内单调减少在2,1()(xf内单调增加，在)10()(xf),(:此函数的定义域为解0 x当332xy 内单调增加内单调减少，在在),0()0,()(xf导数不存在 0 x的单调性讨论函数例32:3xy y)0,(),0(xy147)(0)(Pxfxf不存在的点。详见及的点要找出因此判别函数单调性时)0()1ln(4xxx：

19、证明例)(xf)1ln()(xxxf证：设)0()(fxf)1ln(0)1ln(xxxx即：01111)(xxxxf0)0(f而曲线的凹向与拐点二、,2)()()2(,)(1212121xfxfxxfxxIIxf恒有上任意两点上连续，如果对在区间：设定义yo1x221xx 2x)(1xf)2(21xxf2)()(21xfxf)(2xfx的。上的图形是（向上）凹在那么称Ixf)(,2)()()2(,)(212121xfxfxxfxxIIxf恒有上任意两点上连续，如果对在区间设yo1x221xx 2x)(1xf)2(21xxf2)()(21xfxf)(2xfx的。上的图形是（向上）凸在那么称Ixf

20、)(定理：一阶和二阶内具有上连续，在在设),(,)(babaxf导数，那么是凹的；图形上的在则内）若在（,)(0)(),(1baxfxfba 形是凸的；图 ,)(0)(),(2上的在则内）若在（baxfxfba.14的凹凸性：判断曲线例xy 34xy 解：0122 xy00处为只有在而 xy是凹的xy4.12的凹凸性：判断曲线例xy 12xy解：xy320 )0,(y在故曲线是凸的。0 )0(y，故曲线是凹的。曲线的拐点。这上凹与凸的分界点称为定义：连续曲线 )(xfy xyo拐点.),(sin1内的拐点在：求曲线例xyxycos解：xysin 0y令0 x x)0,(0),0(y 0y凹凸拐

21、点xyo.)0,0(是这曲线的拐点点.)2(235的拐点：求曲线例 xy)2()2(3235 )2(353132xxyxy解：不存在yx 2 )2,(),2(2x.)0,2(是这曲线的拐点点y 不存在y凸凹拐点2xy是否有拐点？：问曲线例xy4334xy 解：0 x0122xy 0 x），（0),0(y 0y凹凹不是拐点.)0,0(不是这曲线的拐点点没有拐点曲线xy4的拐点的一般方法。求连续曲线)(xfy nxxxxfxf,)(0)(121不存在的点及）求出（.)(,221的定义域分为几个区间将）（xfyxxxn凸性定出曲线的凹在每个小区间内的符号）判断（)(3xf ）求拐点（4最小值函数的极

22、值与最大值与第五节.内有定义，在区间设函数定义：),()(154baxfP00),(xbax着点内的一个点，如果存在是这去心邻域内的的一个去心邻域，对于)()()(,00 xfxfxfx均成立，就称任何点的一个极大值；是函数)(xf0 x如果存在着点这去心邻域内的的一个去心邻域，对于)()()(,00 xfxfxfx均成立，就称任何点的一个极小值；是函数)(xf法一、函数的极值及其求）极值不一定只有一个注：（1值小）极小值不一定比极大（2）极值在区间内部取得（3)()()(1000 xfxfxxf，且处有极值在点：如果函数定理0)(0 xf存在，则的驻点。的点称为函数使)(0)(xfyxf点，

23、反之不一定。存在，则极值点必为驻如果)(xf 0 0 3 2 3yxxyxy例：。是驻点，但不是极值点0 x内）在（),(100 xx)0)(0)(xfxf内）在（),(200 xx)0)(0)(xfxf：（第一充分条件）定理2可导，的一个邻域内在点设函数),()(00 xxxf0)(0 xf且处取得极大（小）值。在则函数0)(xxf按如下方法如果极值存在，求极值)(1xf）求（xxf，求出）求驻点，即令（0)(2，以便确定在每一驻点左右的符号）观察（)(3xf 该驻点是否是极值点；）求出极值。（4的极值求函数例593)(.123xxxxf0)3)(1(3963)(2xxxxxf解：令3 1

24、xx求得驻点 )1,(1)3,1(3),3(xyy0010)1(1fx为取得极大值，且极大值处在22)3(3fx值为处取得极小值，且极小在极大极小)75()2()1()3342()2()1()2()1(3)2()1(2)(22223xxxxxxxxxxxxf解：的极值：求函数例32)2()1()(2xxxf0)(xf令57,2,1 xxx求的驻点)1,()57,1()2,57(),2(5712x 极大极小极值不是0y00y是极值点57,1xx0)1(1fx值为处取得极大值，且极大在5510812527254)57(57）（为值处取得极小值，且极小在fx3定理：（第二充分条件）,0)()(00

25、xfxxf处具有二阶导数且在点设函数那么0)(0 xf处取得极大值；在时，函数）当（00)(0)(1xxfxf.)(0)(200处取得极小值在时，函数）当（xxfxf（失效）是否取得极值不能肯定在时注：当00)(,0)(xxfxf xxysincos解：xxsincos 则4x45xxxycossin022222)4(y为极大值点4x022222)45(y2)4(f极大值为上的极值在：求函数例2,0cossin3xxy0 y令 求得驻点为极小值点45x2)45(f极小值为况。点，一阶导数为零的情我们讲的是在0 x点也有可能为极值点，其实一阶导数不存在的的来计算。理对于这些点同样可用定23213

26、2)(xxf时解：当2x 的极值：求函数例32)2(1)(4xxf连续不存在，但时当)()(,2xfxfxy)2,(),2(x2极大值y不存在1)2(2fx值为处取得极大值，且极大在求极值的方法nxxxxfxf21,)(0)(1不存在的点的点及）求出（的定义域为几个小区间划分）（)(,221xfyxxxn号在每一个小区间上的符）观察（)(3xf)2,1()(324nixxxfi在判定或定理）用定理（值还是极小值是否取得极值，是极大）求出极值（5上的连续函数总存在我们知道闭区间,ba最大值、最小值问题二、怎样找出最大值和最大值和最小值，那么和最小值呢？找f(x)在a,b的最大值和最小值的方法nx

27、xx,21找出可疑极值点)(),(),()(),(21bfafxfxfxfn计算上的最大值在个值中的最大者就是这,)(2baxfn上的最小值在个值中的最小者就是这,)(2baxfn.4,3141232123最大值与最小值上的在：求函数例xxxy)1)(2(6)2(6126622xxxxxxy解：0 y令1,2xx求得驻点142)4(,7)1(,34)2(,23)3(ffff7)1(142)4(ff最小值为最大值为eeyxx)3()3(1)3,5x3x5,3(x的最大值与最小值在：求函数例5,523xey解：5,3()3,5)3()3(xexeyxx证）处不可导（可用定义来在3xxfxffx)3

28、()3(lim)3(0 xexx1lim)33(01)3(fef8)5(2)5(ef1)3()5(8fef，最小值为最大值为,1左导数为1右导数为3x可疑极值点为11lim0 xxexfxffx)3()3(lim)3(0 xexx1lim)33(011lim0 xxe据问题的性质就可以在实际问题中，往往根而且确有最大值或最小值，断定可导函数)(xf在定义这时如果得一定在定义区间内部取)(.xf)(00 xfx，那么不必讨论区间内部只有一个驻点是最大值或定是不是极值，就可以断)(0 xf161P最小值xxav)2(2)2,0(ax0 xv令x去相等的的正方形铁皮，各角截：将各边长为例a3边，要做

29、成体积最大无小正方形，然后折起各？方形之边长应该是多少盖箱，问所截去的小正x形之边长为解：设所截去的小正方(0,)62aax)(2舍去ax)2()2(42xaxxav)6)(2(xaxa22128xaxa046248)6(aaaav27263aax给出最大体积rhrS222解：rVh2问其底半径其容积是作一圆柱形有盖铁桶，例,.4V？，才能使所需铁皮最省与高的比例应为多少时hrV2rrVrS2222rrV222rrVS4220S令 hr0422rrVrrrrVh2223232rV.2 时所需的铁皮最省当rh oyxp函数图形的描绘第六节.渐近线有当然并不是所有曲线都xysin:例y=cxyo怎

30、样求？何时有渐近线，下面我们要讨论的是在cxfx)(lim.1若有水平渐近线则)(xfcy xyo0 xx)(lim.20 xfxx若有垂直渐近线则)(xf0 xx xyNMPokbkxxfPMPN211)(cos)(ktg时当x0PN0)()(limbkxxfx即：bkxxfx)(lim.,)(.3bkbkxyxf求出有斜渐近线设曲线)(xPN的距离趋于零按定义，只要1kb求kxxfx)(lim即：)(1lim)(limkxxfxkxxfxx又由00b.k求的渐近线：求例xxy112)(lim1xfx解：)1(lim)(lim2xxxkxxfbxx.1是一条垂直渐近线x11limxxx.1是

31、一条斜渐近线xy11lim)(lim2xxxxxfkxx函数图象的讨论：函数图象的讨论程序是.)1(4)3(22的图形：描绘函数例xxy),1(),1,(1）定义域为解：（)1)1(4)1)(3()1(4)3()1)(3(22222xxxxxxxxy（）（)1)1(2)1(4833xxxy（1,30 xxy得令)1(4)3(lim321xxx）（21(3)lim()lim4(1)4xxxf xkxxx.4541为一条斜渐近线xykxxxxxfxx41)1(4)3(lim)(lim2.1是一条垂直渐近线xbxxx45)1(495lim ）列表（4y00y y极大值2极小值0y凸凹凸凹)1,(),

32、3(1)1,1(13x)3,1(-2xy12 3 4 5-1经济中的应用变化率及相对变化率在第七节 绍边际分析与弹性分析介边际函数一、函数变化率也称为边际函数。可导，导函数设函数)()(xfxfy的平均变化率，在称为),()()()(0000 xxxxfxxfxxfxy的平均变化速度。内它表示在)()(00 xfxxx000)()()(xxxfxfxxxf在点称为处的导数在点处边际函数值。在点处的变化率，也称为0)(xxxf处的变化速度。在点它表示0)(xxxf相应改变改变一个单位，从处，在点yxxxx00，改变的“单位”很小时。但当的真值应为xyxxx10则有的值相对来比很小时，的“一个单位

33、”与或0 xx)()(0111000 xfdxxfdyyxxxxxxxxx减小一个单位。）由时，标志着（当01xxx产生一个单位的改处，当在点这说明xxxxf0)(解释个单位。在应用问题中近似改变变时，)(0 xfy字。时我们略去“近似”二边际函数值的具体意义处的边际函数在点：函数例102,12xxyxy改变一个单位，时，它表示当值xxy10,20)10(个单位。（近似）改变20y为产量），为总成本，：设某产品成本函数例QCQCC)(2称为当称为边际成本。其变化率)()(0QCQCC济学家对它的时的边际成本。西方经产量为0Q前最后一个时，生产解释是：当产量达到00QQ产品所增添的成本。为产量。

34、为边际成本，为平均成本，QCC)()(21QCCQCC总成本函数QQCQCQQCQCC)()()(21平均成本函数)(QCC边际成本函数为可变成本为固定成本，为总成本，：设例211CCC41002QC解：4100QQC4100)(22QQCC数为：已知某产品的成本函例及边际成本。时的总成本，平均成本求当10Q2QC 时，当10Q,125)10(C总成本为,5.12)10(C平均成本为5)10(C边际成本为小？为多少时，平均成本最：上例中，当产量例Q3时，平均成本最小。20Q4100QQC0411002QC令20Q3200QC 020200)20(3 C的函数是其产量：已知某产品的总成本例xxC

35、)(432108)(2xxxC本函数。平均成本函数和边际成求：.1。使平均成本最低的产量.2最低的平均成本.3xxxccxx32108)()(1016)(xcx解：平均成本函数边际成本函数0)32(82)(令xcx2x为极小20864)2(3)(xcxcx422321028)2(c个单位。平均成本最低的产量为2最低的平均成本三.收益为边际收益。为平均收益，为总收益，为商品量，为商品价格，设RRRQP)(QPP 价格）函数需求)()(QPQQRR总收益函数)()()()(QPQQPQQQRQRR平均收益函数)()()()(QPQPQQPQQRR边际收益函数510)()(2QQQPQQR解：120

36、)610(30)30(R510)(QQR5101QP售量的关系为：设某产品的价格与销例与边际收益。时的总收益，平均收益求销售量为30453010)30(R5210)(QQR2530210)30(R下面讨论最大利润原则)()()(,QCQRQLL则设总利润为)()()(QCQRQL0)()(QLQL：取得最大值的必要条件)()(0)(QCQRQL即：边际成本边际收益 件：取得最大利润的充要条)(QL)()(0)(QCQRQL 即：,510QP销售量的关系为：已知某产品的价格与例2.250QC成本函数为利润最大？求：产量为多少时，总L润原则。并验证是否符合最大利)()()(QCQRQL解：)()(

37、QCQPQQQQ2505102QQL528)(0)(QL令20Q20 052)20(QL利润最大5210)(QQR2)(QC)20()20(2)20(2)20(CRCR52)20(R0)20(C)20()20(CR 符合最大利润原则的函数是年产量总收益元。已知本增加每生产一单位产品，成元，固定成本：某工厂生产某种产品例QR 100 00020340080000400021400)(2QQQQQRR此时总利润是多少？时，总利润最大？问：每年生产多少产品 函数为解：根据题意，总成本QQCC10020000)(从而可得总利润函数为)()()(QCQRQLL4001006000040002000021

38、3002QQQQQ证分段点的导数可用定义4001004000300)(QQQQL3000)(QQL令01)(QL300Q最大L2500020000)300(21300300)300(2L函数的弹性四、函数的相对变化率 元。元，涨价例：商品甲每单位价格110元。元，也涨价商品乙每单位价格11000元，变量都是两种商品价格的绝对改1很大的不同，两者涨价的百分比却有。元，而商品乙涨了商品甲涨了%1.0%10与相对变化率。函数的相对改变量因此我们还有必要研究而的绝对改变量分别为此时，自变量与因变量，改变到由时，改变到由当例：144,2 1441001210,2yxyxxy%20 xx%44yy变量。的

39、改变，这就是相对改产生了的改变，产生了改变到这表示当%44%201210yxx 2.2%20%44xxyy的平均相对变化率。，函数到。我们称它为改变平均时改变）内从，这表示在（21210%2.2,%1,101210 xyxxyxx化率或两点的弹性。两点间的相对变到从称为函数，之比与自变量相对改变量量变处可导，函数的相对改在定义：设函数 )()(0000000 xxxxfxxyyxxyyxxf弹性。处的相对变化率或称为称为在0000limxxxyyx0 xxExEy记作：)()(limlim(0000000000 xfxxfyxxyxxyyExEyxxxx可导，则有：的，若对一般)(xfxyxy

40、xfxxfyxxyxxyyExEyxx)()(limlim00的弹性函数。的函数，称为是)(xfx2 y解：处的弹性。在：求函数例3231xxy32323323xExEyxxyxyExEy23223 26xEyEx 333003100 xxEyxexExe.100223xxExEyExEyey及的弹性函数：求函数例xey3300解：1EyxxExx为常数）的弹性函数。：求函数例(3xy 1xy解：函数（五）需求函数与供给需求函数.1称为需求函数。表示需求量表示商品的价格，设)(PfQQP少函数。为单调减求函数需求小，因此，一般需，需求大，商品价格高一般说来，商品价格低)(PfQ 也称为需求函数

41、。有反函数)(1QfP边际需求。称为的边际函数需求函数)()(PfQPfQ,412PQ例：若已知需求函数.2PQ则边际需求函数为时的边际需求。称为8,4)8(PQ个单位。减少，需求将时价格上涨一个单位时它表示当48P供给函数.2称为供给函数。表示供给量表示商品的价格，设)(PQQP函数为单调增加函数。给多，因此，一般供给给少，商品价格高，供，生产者不愿生产，供一般说来，商品价格低也称为供给函数有反函数)(1QP均衡价格称为均衡产品量。则需求量与供给量为价格。设均衡价格为求量与供给量相等时的均衡价格是指市场上需00,QP).0,(),0,(1dcdcPQbaaPbQ供给函数为：设某商品的需求函数

42、例.求：均衡价格cadbPdcPaPb000解：弹性（六）需求弹性与供给强弱。价格变动时需求变动的需求弹性是刻划当商品两点间的需求弹性。称为在处可导，则在定义：需求函数PPPPPQQPPfQ00000,)(000,0)(QPPQPPP记作：的需求弹性。处称为在而0000000)()()(limPPfPPfQPPQP)()(0000pfppfpp记作：时的需求弹性。）（）需求弹性函数（求：为例：设某商品需求函数6,5,32 1 ,5PPPeQp5)51()()()1(55PPQPPQPeePP解：2.1)6(1)5(53)3()2(1)5(幅度相同时，价格与需求变动的说明当5p16.0312.1

43、)6(小于价格变动的幅度时，需求变动的幅度说明当3p%6.0%13，需求只减少时，价格上涨了即：当 p大于价格变动的幅度时，需求变动的幅度说明当6p%2.1%16，需求只减少时，价格上涨了即：当 p两点间的供给弹性。称为可导在：某商品供给函数定义PPPPPQQPPPQ00000 )(2000,0)(QPPQPPP记作：处的供给弹性。称为在0000000)(limPQPPPPQQP)()()(00000PPpPpp记作作业：）补充题：（赵树嫄121p吨，每天为某化工厂日产能力最高1000.1（单位：吨）的函数：（单位，元）是日产量的生产总成本xCxxxCC5071000)(1000,0 x求当日产量为100吨时的边际成本求当日产量为100吨时的平均单位成本单位的费用为某厂每批生产某种商品 x.22005)(xxC得到的收益是xxxR201.010)(才能使利润最大？问每批生产多少单位时)41(1600)(PPfQ的函数关系为对价格设某商品需求量PQ.3的弹性函数对价格求需求PQ