第2章线性系统的可控性与可观测性课件.ppt
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1、第二章线性系统的可控性与可观测性1.可控性2.可观测性3.线性定常连续系统的可控性判据4.输出可控性5.线性定常连续系统的可观测性判据6.线性离散系统的可控性和可观测性7.可控性、可观测性与传递函数(矩阵)的关系(*)8.线性时变系统的可控性和可观测性(*)经典控制理论中用传递函数描述系统输入输出特性,输出量即为被控量,只要系统稳定,输出量便可以受控,且输出量总是可观测得,故不需提出可控及可观测概念。现代控制理论用状态空间表达式来描述系统,揭示系统内部的变化规律,输入和输出构成系统的外部变量,而状态为系统的内部变量,这就存在系统内部的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题,这就是可控
2、性和可观测性问题。可控性可控性 :分析输入u u(t)对状态x x(t)的控制能力。可观测性:可观测性:分析输出y y(t)对状态x x(t)的反映能力。可控性、可观测性概念,是卡尔曼卡尔曼于20世纪60年代首先提出的,是用状态空间描述系统而引伸出来的新概念。可控性、可观测性是研究线性系统控制问题必不可少的重要概念,而且在许多最优控制、最优估计和自适应控制问题中,也常用到这一概念。引言引言可控性、可观测性的物理概念可控性、可观测性的物理概念 例例 已知某个系统的动态方程如下将其分别表示为标量方程组和模拟结构图形式,有21212160215004xxyuxxxx222116254xyuxxuxx
3、由此可见,状态变量x1、x2都通过选择控制量u由始点达到原点,因而系统完全可控的。但输出y只能反映状态变量x2,而与x1既无直接关系也无间接关系,所以系统是不完全可观测的。s-114+1x 1xs-12-5+2x 2x-6yu 例例 右图所示桥式电路,选取电感电流iL和电容端电压uC作为状态变量,u为网络输入,输出量y=uc。系统中只要有一个状态不可控或不可观测,便称该系统不完全可控或不完全可观测,简称该系统不可控或不可观。当电桥处于非平衡状态,即R1R4R2R3时,u将控制两个状态变量的变化,且可通过选择u,使任意初态转移到任意终态,因而是可控的。由于量测到输出量即uc,且uc与iL有确定关
4、系,即uc含有iL的信息,因而是可观测的。图 电桥电路A AC Cu uL L1iLiLi2icu3i4i1R2R4R3R 当电桥处于平衡状态,即R1R4 R2R3时,u只能控制iL的变化,不能控制uc的变化,这时uc 0,从而也不能由输出测量结果确定iL,因而uc不可控,iL不可观测。例例 下图所示两个网络,当R1R2,C1C2时,且初始状态x1(t0)=x2(t0),u只能使x1(t)x2(t),而不能将x1(t)与 x2(t)分别转移到不同的数值,这表明此电路不完全可控,简称称为电路不可控。由于y=x1=x2,故可观测。网络(a)网络(b)u u2x2C2R1R1x1Cu u2R2Cyx
5、21x1C1R3R2.1 2.1 可控性可控性 考虑线性时变系统的状态方程)1002(),()()()()(tTttutBtxtAtx 其中x为n维状态向量;u为p维输入向量;Tt为时间定义区间;A(t)和B(t)分别为nn和np矩阵。现对状态可控和不可控分别定义如下:状态可控状态可控 对于式(2100)所示线性时变系统,如果对取定初始时刻t0Tt的一个非零初始状态x(t0)x0,存在一个时刻t1Tt,t1t0,和一个无约束的容许控制u(t),tTt0,t1,使状态由x(t0)x0转移到t1时的x(t1)0,则称x0是在t0时刻可控的 系统可控系统可控 对于式(2100)所示线性时变系统,如果
6、状态空间中的所有非零状态都是在t0(t0Tt)时刻可控的,则称系统在时刻t0是完全可控的,简称系统在时刻t0可控。若系统在所有时刻都是可控的,则称系统一致可控。系统不完全可控系统不完全可控 对于式(2100)所示线性时变系统,取定初始时刻t0Tt,如果状态空间中存在一个或一些非零状态在t0时刻是不可控的,则称系统在时刻t0是不完全可控的,也称为系统不可控。补充说明(对补充说明(对u(t)的限制)的限制)在上述定义中只要求系统在找到的控制u(t)的作用下,使t0时刻的非零状态x0在Tt上的一段有限时间内转移到状态空间的坐标原点,而对于状态转移轨迹则未加任何限制和规定。所以,可控性是表征系统状态运
7、动的一个定性特性。定义中随控制u(t)的每个分量的幅值并未加以限制,可为任意大的要求值。但u(t)必须是容许控制,即 u(t)的每个分量),2,1)(pitui均为时间区间Tt上平方可积,即 tttiTttdttu0,)(02此外,对于线性时变系统,其可控性与初始时刻t0的选取有关,是相对于Tt中的一个取定时刻t0来定义的。而对于线性定常系统,其可控性与初始时刻t0的选取无关。状态可达与系统可达状态可达与系统可达 对于式(2100)所示线性时变系统,若存在能将状态x(t0)0转移到x(tf)xf的控制作用,则称状态xf是t0时刻可达的。若xf对所有时刻都是可达的,则称状态xf为完全可达。若系统
8、对于状态空间中的每一个状态都是时刻t0可达的,则称该系统是t0时刻状态完全可达的,简称该系统是t0时刻可达的。注:注:线性定常连续系统,可控性与可达性是等价的;离散系统、时变系统,严格地说两者是不等价的,有可能系统不完全可控却完全可达。2.2 可观测性 可观测性是表征状态可有输出完全反映的性能,所以应同时考虑系统状态方程和输出方程)1012()(),()()()()()1012(),()()()()(00bxtxtutDtxtCtyaTttutBtxtAtxt其中A(t),B(t),C(t)和D(t)分别为(nn),(np),(qn)和(qp)的满足状态方程解的存在唯一性条件的时变矩阵。式(2
9、101a)状态方程的解为)1022()()(),(),()(000duBtxtttxtt其中(t,t0)为系统的状态转移矩阵。将式(2102)代入式(2-101b)输出方程,可得输出响应为)1032()()()()(),()(),()()(000tutDduBttCxtttCtytt 在研究可观测性问题时,输出y和输入u均假定为已知,只有初始状态x0是未知的。因此,若定义则式(2103)可写为)()()()(),()()()(0tutDduBttCtytytt)1042(),()()(00 xtttCty这表明可观测性即是 00 xy 和完全估计的性能。由于可由yx可取任意值,所以这又等价于研
10、究u0时由y来估计x0的可能性,即研究零输入方程)1052()()()()1052(,)(),()()(000btxtCtyaTttxtxtxtAtxt的可观测性。式(2103)成为)1062(),()()(00 xtttCty下面基于式(2105)给出系统可观测性的有关定义。系统完全可观测 对于式(2105)所示线性时变系统,如果取定初始时刻tTt 0存在一个有限时刻,011ttTtt对于所有,10ttt,系统的输出y(t)能唯一确定状态向量的初值x(t0),则称系统在t0,t1内是完全可观测的,简称可观测。如果对于一切t1t0系统都是可观测的,则称系统在内完全可观测。),0t系统不可观测
11、对于式(2105)所示线性时变系统,如果取定初始时刻 tTt 0存在一个有限时刻,011ttTtt对于所有,10ttt,系统的输出y(t)不能唯一确定所有状态的初值,2,1),(0nitxi即至少有一个状态的初值不能被y(t)确定,则称系统在时间区间t0,t1内是不完全可观测的,简称不可观测。2.3 线性定常连续系统的可控性判据线性定常连续系统的可控性判据1 格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据)1072(0,)0(),()()(0txxtButAxtx 其中x为n维状态向量;u为p维输入向量;A和B分别为(nn)和(np)常阵。下面根据A和B给出系统可控性的常用判据。线性定常连续系统的状态方程 线性
12、定常连续系统式(2107)完全可控的充要条件是,存在时刻t10,使如下定义的格拉姆矩阵:)1082(),0(101ttATAtdteBBetWT非奇异。证明证明 充分性:充分性:已知w(0,t1)为非奇异,欲证系统完全可控。已知w非奇异,故w1存在。对于任一非零初始状态x0可选取u(t)为)1092(,0,),0()(1011ttxtWeBtutATT则在u(t)作用下系统(2107)在t1时刻的解为必要性必要性:已知系统完全可控,欲证W(0,t1)为非奇异。nAtAttATtAtAtAttttAAtRxxtWtWexextdtWeBBeexedttBuexetxT001110011000)(
13、010),0(),0(),0()()(11111111这表明,对任一取定的初始状态x00,都存在有限时刻t10和控制u(t),使状态由x0转移到t1时刻的状态x(t1)0,于是根据定义可知系统完全可控。充分性得证。采用反证法。设W(0,t1)为奇异,则存在某个非零向量使,0nRx)1102(0),0(01xtW成立,由此可导出由此又可导出)1112(0),0(200000000010111dtxeBdtxeBxeBdtxeBBexxtWxttATttATTtATttATAtTTTTTT其中|为范数,故其必为正值。于是,欲使式(2111)成立,应当有)1122(,0,010ttxeBtATT另一
14、方面,因系统完全可控,根据定义对此非零向量应当有0 x)1132(0)()(111001tAtAtAtdttBueexetx)1153()()()1143(0)(1110000002000ttATTTtAtTtAtdtxeBtuxdttBuexxxdttBuexT再利用式(2112),由式(2115)可以得到)1162(00020 xx即显然,此结果与假设00 x相矛盾,即W(0,t1)为非奇异得反设不成立。因此,若系统完全可控,W(0,t1)必为非奇异。必要性得证。证毕。可以看出,在应用格拉姆矩阵判据时需计算矩阵指数eAt,在A的维数n较大时计算eAt是困难的。所以格拉姆矩阵判据主要用于理论
15、分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵A和B判断可控性的秩判据。由于在推导秩判据时要用到凯莱哈密顿定理,所以下面先介绍凯莱哈密顿定理,然后再给出秩判据。2 凯莱凯莱-哈密顿定理哈密顿定理设n阶矩阵A的特征多项式为)1172()(0111aaaAIfnnn则A满足其特征方程,即)1182(0)(0111IaAaAaAAfnnn式(2-118)称为凯特-哈密顿定理。证明证明 据逆矩阵定义有)()()()(1fBAIBAI式中B()为(I-A)的伴随矩阵,其一般展开式为 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAIaaaaaaaaaA212222111211212222111211,B
16、()的元素均为(n+1)阶多项式,根据矩阵加法规则将其分解为n个矩阵之和,即1,11,11,1111,11,2211,12,11121222211)1()1()1()1()(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaB)1202()(012211BBBBBnnnnBn-1,Bn-2,B0为n阶矩阵。将式(2-119)的两端右乘(I-A)1212()()(IfAIB将式(2120)代入式(2121)并展开,有由方程两端 同幂项系数相等的条件有)1222()()()(01110102321211IaIaIaIABABBABBABBBnnnnnnnnnnnIaABIaA
17、BBIaABBIBnnnn001101121)1232(将式(2123)的前n个等式两端按顺序右乘An,An-1,AIaABAaABABAaABABAABnnnnnnnnn001210111121)1242(将式(2124)中各式相加,则 0)(0111IaAaAaAAfnnn证毕。)1252()(10nkAAnmmmk证明证明IaAaAaAaAnnnnn012211AaAaAaAaAAAnnnnnn0211211AaAaAaIaAaAaannnnn0211201111)(IaaAaaaAaaaAaaaAaannnnnnnnnn01011212123211221)()()()(故上述推论成立。
18、式中m与A阵的元素有关。该推论可用以简化矩阵的幂的计算。推论推论1 1 矩阵A的k(kn)次幂,可表示为A的(n-1)阶多项式这是由于101232112210221122)()()!1(1)(!1!121nnnnnnnnnnnnnnnnAttIaaAaaaAaantIaAaAanAtItAntAAtIe)1262()(10nmmmAtAte令推论推论2 2 矩阵指数eAt可表为A的(n-1)阶多项式则有1221111112122210111110100)()!1(1!1)1(1)()()!1(1!1!21)()()!1(1!1)()!1(1!11)(nnnnnnnnnnnnnnnntaanta
19、ntnttaaantantttaaantantttaantant 10112210)()()()()(nmmmnnAtAtAtAtAtIte故推论2成立。式(2126)中的 0(t),1(t),n-1(t)均为t的幂函数。同理对于,0ftt 不同时刻构成的向量)(,),(,),0(,),0(1010fnfntt是线性无关的向量组,其中任一向量都不能表为其它向量的线性组合。)1272()(10nmmmAtAte式中 122111111101100)()!1(1)1(!1)1()!1(1)1()()!1(1)1(!1)1(1)(nnnnnnnnnnnnnnntaantantnttaantant3
20、秩判据秩判据线性定常连续系统(2107)完全可控的充要条件)1282(1nBAABBrankn其中n为矩阵A的维数,BAABBSn 1称为系统的可控性判别阵。证明证明充分性:已知rankSn,欲证系统完全可控。采用反证法。反设系统为不完全可控,则根据格拉姆矩阵判据可知0,),0(1011tdteBBetWttATAtT为奇异,这意味着存在某个非零n维向量使0),0(11001tTAtTAtTttATAtTTdtBeBedteBBetWT成立。显然,由此可导出)1292(,0,01ttBeAtT将式(2129)求导直至n1次,再在所得结果中令t0,得到)1302(0,0,0,012BABAABB
21、nTTTT式(2130)又可表示为)1312(012SBABAABBTnT由于 0,所以式(2131)意味着S为行线性相关,即rankSn,这显然和已知rankS=n相矛盾。因而反设不成立,系统应为完全可控。必要性:已知系统完全可控,欲证rankS=n.采用反证法。反设rankS 0有,2,1,0;,0;0!)1(1ittBitAiiTi或)1342(,0;0!312113322ttBeBtAtAAtIAtTT因而有)1352(0),0(101tTtATAtTtWdteBBeT由于已知 0,若式(9135)成立,则W(0,t1)必为奇异,系统为不完全可控,与已知结果相矛盾。于是有rankS=n
22、,必要性得证。秩判据证毕。例例217试用可控性判据判断图226所示桥式电路的可控性。解解 该桥式电路的微分方程为 uiRiRdtdiLiRuiRiRuiRiiiiiLccL3311221133444321选取状态变量:x1=iL,x2=uc。将i1,i2,i3,i4消去,可得状态方程 2432114342122243321114343212111111111xRRRRCxRRRRRRCxuLxRRRRRRLxRRRRRRRRLx列出其可控性矩阵S3:A AC Cu uL L1iLiLi2icu3i4i1R2R4R3R图226这时状态方程变为43421243432121231011RRRRRRL
23、CRRRRRRRRLLAbbS时当434212RRRRRRrankS3=2=n,系统可控。但当电桥处于平衡状态即R1R4=R2R3时,成立,及有433211434212RRRRRRRRRRRR243212143432121111111xRRRRCxuLxRRRRRRRRLx系统不可控,u不能控制x2,x2是不可控状态变量。nRRRRRRRRLLrankAbbrankrankS100114343212123例例218网络如图227所示,试用可控性判据判断其可控性。解解 图227所示网络的微分方程为 dtiCxdtiCuxCixCixiiiiiRxiRxuxxiiRc322111123211143
24、21422211212131,1,)(式中消去i1i4,得状态方程为 2R2Cyx 21x1C1R3R1i2i3i4iu u图2272123222323232123111313132322322123213213111131111111111111111111CCRCRCRCRCRCCRCRCRCRCRrankAbbrankuCRxCRCRxCRxuCRxCRxCRCRx系统不可控。的两行或两列均相同时,当系统可控。时,当nAbbrankAbbCCRRnAbbrankCCRR1,2,21212121例例219试用可控性判据判断图225所示网络的可控性dtiCuxdtiCuxuxCRxxCRxc
25、c22221111222211111,1式中解解 图225所示网络的微分方程为22222221211122222211111111111111CRCRCRCRrankAbbrankuCRxCRxuCRxCRx时,系统可控。当2211CRCR系统不可控有当,1,22112121nAbbrankCRCRCCRR状态方程为 u u2x2C2R1R1x1C例例220?,1021100AA求已知解解 n2,A的特征多项式为 121021)(2AIf据凯莱哈密顿定理,有 102001990099100020010099100)1(342)2(32323)2(22202)(10023422322IAAIkk
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