第六章-多元函数微分学基础-课件.ppt

1、l第一节 空间解析几何简介l第二节 多元函数的概念l第三节 偏导数与全微分l第四节 复合函数与隐函数微分法l第五节 多元函数的极值第六章 多元函数微分学基础 在上学期我们讨论了一元函数的微积分.但在自然科学和工程技术中，很多问题都与多种因素有关，反映到数学上就是多元函数的问题.本篇将在一元函数的基础上讨论多元函数的微积及其应用，而本章主要介绍空间解析几何的基本知识和多元函数的微分及一些简单的应用.,.,.,(1)OOxyzxyzzxyz 过空间一定点作三条两两互相垂直的数轴(一般取它们的单位长度相同),就构成了一个间标点 叫坐标原点,这三条数轴统称为标轴,分别叫作 轴轴和 轴通常 轴轴在水平平

2、面上轴是铅垂直线它们的正身般符合右手法则,即以右手握 轴 当四指从 轴的正向以不大于90的角度转到 轴的正向时 伸直的大拇指的指向就是轴的正向 见图6空直角坐系.坐Oxyz一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系,.xyyzzxxOyyOzzOx 三条坐标崭中任两条可确定一个平面,称为坐标面,其三个.由 轴和 轴轴和 轴轴和 轴所确定的坐标面分别叫作面面和面 建立了空间直角坐标系后，就可以讨论间的与三个有序数之间的对应关系.,(),.,.,.PPxAyBzCxyzx y zPx y zx y zxxAyyBzzCP 设 空间一点 过点 分别作与三条坐标轴垂直的平面,它们分别交 轴于 点 交 轴于

3、点 交 轴于 点 见图 这三点在轴轴 轴上人坐标依次为这样 空间的点 就惟一地确定了一个有序组反之 给定有序数组在 轴上取坐标为 的点在 轴上取坐标为 的点在 轴上取坐标为 的点再过这三点分别作垂直于三条坐标轴的平面,则这三个平面必然交于点 这,.,.(,),Px y zx y zPP x y z样建立空间的点 和有序数组之间的一一对应关系有序数组称为点 的坐标记作它们分别称为横坐标 纵坐标和竖坐标.6-2,(0,0,0),(,0),(0,),0,xOyx yyOzy z zOxxz 显然 原点坐标为面上的坐标为面上上的坐标为面上点的坐标为().三个坐标面把空间分成了八部分，每部分叫做一个卦限

4、（见图6-3）.这八个卦限次序规定如下:图6-2 点P位置xAyBpCO:(,)|0,0,0;x y zxyz第一卦限:(,)|0,0,0;x y zxyz第二卦限:(,)|0,0,0;x y zxyz第三卦限:(,)|0,0,0;x y zxyz第四卦限:(,)|0,0,0;x y zxyz第五卦限:(,)|0,0,0;x y zxyz第六卦限:(,)|0,0,0;x y zxyz第七卦限:(,)|0,0,0;x y zxyz第八卦限下面将平面上两点间的距离公式推广到空间（证明从略）1111222212(,)(,),Mxy zMxyzMM设和为空间两点 则点与间的距离为22212212121

5、()()()(6-1)M Mxxyyzz 图6-3 八卦限示意图OxyzVVVV,(3,2,2)3.xPA 在 轴上求一点使它到点的距离为例1解,(,0,0)3,(6 1)xP xPA 因为所求的点在 轴上 故可设它为由题意得由式得222(3)(02)(02)3x122,4xx 解得,(2,0,0)(4,0,0)因此 所求点为或.1.曲面方程的概念(,).,(,)0.,(,)0,(,)0()().Mx y zx y zF x y zFx y zF x y z 建立曲面方程的方法与平面解析几何中建立平面曲线方程的方法相似.在空间直角坐标系中,把曲面看成空间一动点的运动轨迹根据运动规律可以得到一个

6、含的三元方程这样 在曲面上的点,其坐标满足这个方程,并且坐标满足这个方程的点都有在曲面上.因此,称此方程为曲面方程 称该曲面为方程的图形或轨迹 见图 这样,就把曲面图形与三元方程一一对应起来.6-4二、曲面及其方程二、曲面及其方程 一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次曲面，也和为平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面.下面简单介绍平面和一些常见的二次曲面方程.图6-4 曲面示意xyzO(,)M x y z2.平面方程111122,22(,)(,),(,),.M x y zM a b cMa b cM 一动点到两定点距离相等该动点的运动轨迹是一个平面下建立该平面方程由两点距离公式知22

7、21111()()()M Mxaybzc2222222()()()M Mxaybzc12222222111222,()()()()()()M MM Mxaybzcxaybzc又因为故知2222221212122221112()2()2()0aa xbb ycc zabcabc两边平方整理得1212122222222221112(),2(),2(),AaaBbbCccDabcabc令则 上 式 变 成0(6-2)AxByCzD ,;.A B C Dx y zD称上式为平面的一般方程,式中,分别为变量的系数为常数项123(,0,0),(0,0),(0,0,)(,0)(65)P aPbPca b c

8、 求过点的平面方程 其中见图例2图6-5 例2示意图xyzcab3p2p1p(62)0,(0)AxByCzDD 由设所求平面方程为 123,.P P P因为点在所求平面上 所以它们的坐标都满足所设方程于是有000AaDBbDCcD,DDDABCabc 解此方程组得0DDDxyzDabc将其代入所设方程中,有1Dybzabc消去 并整理得,a b cxyz 称上式为平面的截距式方程,式中,分别为平面在轴,轴轴上的截距(见图6-5)解 求三个坐标平面的方程.例3,00.,0.xOyxyzzxOyxOyz 显然在平面上所有点的坐标无论 和 取何值 总是而满足的点必然在平面上所以平面方程为,0,0.y

9、OzxzOxy同理平面方程为平面方程为解11().zz z 作为常数 的图形例4111,.,zzxyzzxyzzxOy 观察发现在方程中无变量 和这表明表示的图形上点的坐标,无论 和 取何值 总有因此 该图形是一个与平面平行的平面(见图6-6).解3.球面方程00,.MMRMR空间一动点到定点的距离为一定值该动点的运动轨迹叫作球面,定点叫球心,定值 叫作球面半径下面建立该球面方程(见图6-7)图6-7 球面示意图Oxzy0M图6-6 例4示意图xyz1zO0000(,)(,).Mx y zM x y z设球心坐标为在球面上任取一点由两点距离公式知2220000()()()M Mxxyyzz22

10、22000()()()xxyyzzR故得0.,.MRx y z上式就是以为球心以 为半径的球面方程它是关于变量的三元二次方程2222,RxyzR显然 球心在原点半径为 的球面方程为解4.柱面方程lclc 动直线 沿给定曲线 平行移动形成的曲面叫做柱面.其中动直线 叫柱面的母线,动曲线 叫柱面的准线.在这里只讨论母线平行于坐标轴的柱面.(6-8)xOyz 下面建立以平面上的曲线为准线,以平行于 轴的直线为母线的柱面方程 见图x图6-8 柱面示意图yzMMOl(,),(,0),(,0),(,)0,.(,)0,(,)(,)0;,M x y zMzllxOyMx yMxyccf x yMcf x yz

11、M x y zf x yzxOy 在柱面上任取一点过点作平行于 轴的直线该直线 与平面交于一点由柱面定义可知一定在准线 上 准线 的方程已知 设为则一定满足准线 的方程因为不含变量 所以柱面上的点的坐标也满足方程而不在柱面上的点 过该点平行于 轴的直线时 该直线与平面的交点,(,)0,(,)0.(,)0.,(,)0.cf x yf x yMf x yf x yxOycz一定不在准线上 所以该点坐标不满足方程即不在柱面上的点坐标一定不满足方程由柱面上点的任意性可知,柱面上任意点都满足方程因此 方程在空间表示以平面上曲线 为准线以平行于 轴的直线为母线的柱面222.xyR 指出在空间直角坐标系下是

12、什么图形例5222222,.xyRzxyRxOyz 因为中不含变量 所以表示一个以平面上圆为准线以平行于 轴的直线为母线的柱面.解称这样的柱面为圆柱面（见图6-9）22222,1,.yxabypx 类似 称为椭圆为抛等柱面物柱面,(,)0,.(,)0.f y zyOzxf x zzOxy 同理在空间表示以平面上的曲线为准线以平行于轴的直线为母线的柱面表示以平面上的曲线为准线,以平行于 轴的直线为母线的柱面图6-9 例5示意图OxzRy1.空间曲线及其方程(,)0(,)0,F x y zG x y z 任何一条空间曲线都可以看成是两个曲面的交线.设和是两个曲面方程 它们交线上的每一点的坐标都同时

13、满足上述两个曲面方程;反过来,曲时满足上述两个曲面方程的点都在这条交线上.因此,联立方程组(,)0(,)0F x y zG x y z(6 10)L 叫做空间曲线 的一般方程见图x610L图 空间直线OyzL(,)0F x y z(,)0G x y z 三、空间曲线及方程三、空间曲线及方程 下列方程表示什么曲线:例622225(1);4xyzz0(2);0 xy0(3).0 xyxy222(1)2554.xyzzxOy 方程表示以原点为球心,以 为半径的球面,方程表示平行平面的一个平面222224259zxyzxy将代入得222425.(0,0,4)3;zxyzz这说明平面与球面相交它们的交线

14、是在平面=4上以为圆心以 为半径的圆(2)00.,;xyOzyzOxyOzzOxz 为平面,为平面平面与平面相交 它们的交线显然就是 轴(3)00.xyxy和均表示平面000,.(2),000 xyxxyzxyyxy解方程组得由第小题可知仍表示 轴.解:(18-5)注 空间曲线方程可以用与它等价的任何两个方程联立的方程组代替,即空间曲线表示的方法不惟一.,空间曲线除用两个曲面方程联立表示外 还可以用参数方程的形式.()(),()(6-6)()xx tyy ttzz t为参数 ,(66)表示空间曲线 称方程为空间曲线的参数方程.2.空间曲线在坐标面上的投影(,)0(,)0lF x y zG x

15、y z设空间曲线 的方程为(67)(,)0.zx yz 由 方 程 组消 去 后 得 到 方 程上 式 表示 母 线 平 行 于 轴 的 柱 面(68)(67)(,)0,(,)0.zlx yx yl 因为是由式消去 后得到,所以,空间曲线 上的点一定在柱面上 或者说 柱面包含曲线,(68),()lxOyxOylxOy 因此 称为曲线 关于平面的投影柱面 投影柱面与平面的交线叫作空间曲线 在平面上的投影曲线 简称投影(,)0(6-8)0 x yz记作 2221:.12xyzlxOyz 求曲线在平面上的投影例72221,12xyzzz将方程组中的变量 消去 得投影柱面2222334,40 xyxy

16、lxOyz于是曲线 在平面上的投影为解思考题1.空间直角坐标系是如何形成的,并且具有何特点?答案答案2.平面上与空间中两点间的距离公式分别是什么?答案答案3.点 1,-2,3 关于各坐标面的对称点的坐标分别是什么?答案答案课堂练习题1.求点3,4,5 到 轴的距离.MZ答案答案224?2.说明表示什么图形xy答案答案 在第十四章中，讨论了含有一个自变时的函数，即一元函数，但在实际问题中，还会遇到含有两个或两个以上自变量的函数，这就是本节所要讨论的多元函数.在这里重点介绍二元函数.一、二元函数的定义先看下面的例子.2VrhVr h 圆柱体的体积和它的底面积半径 及高 之间的关系为例1,.,(0,

17、0)(,),.Vr hr hrhr hV这里,是随着的变化而变化的当在一定范围内内取定一对数值时的对应值就随之确定(6-11)三角形面积 见图例21sin2SbcA,.Sb cA其面积 依赖于三角形的两条边及其夹角图6-11 例2示意图ABCcba一般地，二元函数的定义如下.,(,)x y zx yzzx yzf x y义 设有变量,如果当变量,在一定范围内任意取定一对数值时,变量 按照一定法则 总有惟一确定的数值与之对应 则称 是的二元函数,记作定1,;,x yzx y式中,叫作自变量叫作因变量.的变化范围叫作函数的定义域.(,)Wf x y z类似,可定义三元函数及三元以上的函数.二元及二

18、元以上的函数称为多元函数.(),(,)(,),(,)(),()yf xPxzf x yxOyP x yxyzf x yzf PzP 类似一元函数用数轴上点 来表示数值 而二元函数也可以用平面上的点来表示一对有序实数于时函数可简记为这时 也可称为点 的函数.三元函数是否也可以看作点的函数00(,)(,)zf x yx y二元函数在点处的函数值记为000000(,)(,),x xy yf x yz x yz或22(2,3)23,.zxxyyz 设求例332(2,3)(2)2(2)33 331.z 解 对于一元函数，一般假定在某个区间上有定义进行讨论.对于二元函数，类似地假定它在某平面区域内有定义进

19、行讨论.所谓区域（平面的）是指一条或几条曲线围成具有连通性的平面一部分（见图6-35），所谓的连通性是指如果一块部分平面内任意两点可用完全属于此部分平面的折线连结起来.图6-12 区域示意 若区域能延伸到无限远处，就称这区域是无界的，如图6-12(c)所示，否则，它总可以被包含在一个以原点O为中心，而半径适当大的圆内，这样的区域称为有界的，如图6-12(a)、(b)所示，围成区域的曲线叫区域的边界.1D1D()a 有界区域2D()b 有界区域3D()c 有界区域闭区域：连同边界在内的区域的曲线叫区域的边界.开区域：不包括边界内的区域叫开区域.D一般没有必要区分开或闭时,通称区域,用字母 表示2

20、2,0(613)1(614)xyxy 例如 由所确定的区域是无界开区域 见图而由所确定的区域是有界闭区域 见图226141xy图 所确定区域1111xyO6130 xy图 所确定区域Oxy0 xy000(,)(0)Pxy 某点的邻域是指以该点为中心的一个圆形开区域.如点的一个邻域是指2200(,)|()+()x yxxyy00(,),()U PU P记作在不需要强调邻域的半径 的时 也可简记为 为方便使用，将开区域内的点称为内点，将区域边界上的点称为边界点.ln().zxy 求函数的定义域例4,0,ln()(636)xyzxy 为使函数有意义 只需即函数的定义域是平面点集 见图解22arcsi

21、n().zxy 求函数的定义域例52222,1,arcsin()(637)x yxyzxy 根据反正弦函数定义只需要满足即函数的定义域为平面点集 见图,22(,)|1Dx yxy二、二元函数的几何意义,(),;(,),.,yf xzf x y已经知道 一元函数的图形 是平面上的一条曲线对于二元函数的图形 则为空间的一个曲面 在前面讲过的平面和曲面 都可以为二元函数图形的例子.222,(6 15.)zRxyRxOy 函数的图形是以原点为中心为半径,在平面上的半个球面 见图例6图6-15 例6示意图yxzRO三、二元函数的极限和连续性1.二元函数的极限 函数的极限是研究当自变量变化时，函数的变化趋

22、势，但是二元函数的自变量有两个，所以自变量的变化过程比一元函数要复杂得多.00000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)x yx yzf x yP xyP x yP xyP x y现在把一元函数的极限概念推广到二元函数上.考虑当点趋近于点时函数的变化趋势.虽然点趋近于点的方式是多种多样的,如果用 表示点与点之间的距离2200()()xxyy000,000(,)(,),0(,)(,).,x yx yxx yyx yx y那么的过程不论多么复杂 总可以用或来表示自变量的变化过程这样 可以提出二元函数极限的定义如下.00000000000(,)(,)(,).(,)(,),(,),(,),

23、zf x yP x yP x yP x yP x yf x yAAf x yxxyy义 设在点附近有定义 在点可以没有定义 如果当趋向点时 对应的函数值总是趋向于一个确定的常数则称 为函数当时的极限 记作定2000lim(,)lim(,)xxyyf x yAf x yA或 二元函数的极限是一元函数极限的推广，有关一元函数极限的运算法则和定理,都可以推广二元函数的极限，下面举例说明.222200lim.1 1xyxyxy 极限例7 解 方法一2222222200()1 1lim(1 1)(1 1)xyxyxyxyxy 原式2200lim(1 1)1 12;xyxy 方法二221 1,xyu 令则

24、2221,xyu0,0,1.xyu且当时于是2111limlim(1)21uuuuu原式 这说明，二元函数的极限问题有时可以先转化为一元函数的极限问题，再求解.2200lim?xyxyxy 讨论极限是否存在例80220000,(,)(0,0),lim,;(,)(0,0),(0,0).xyP x yPxyxyP x yPP 由极限定义知 当以任何方式趋于时 如果极限存在 其极限应该是惟一的 反之,如果选择沿两条特殊的路径让趋于时 只要有一个极限不存在或两个极限值不同,就可断定函数的极限不存在0,(,)(0,0),P x yykxP 现在取两条特殊的路径来考察上述极限 例如,令沿直线趋于点时222

25、2220000limlim(1)1xxyy kxxykxkxyxkk22220010,0;1,.211lim.xykkkkkkxyxy如果取时 则如果取时 则所以不存在解2.二元函数的连续性000(,)(,),(,),f x yP x yP x y义 设函数在点的某个邻域内有定义是邻域内的任意一点 如果定30000lim(,)(,)xxyyf x yf x y0000(,)(,).(,)f x yP xyf x yP则称函数在点连续在点是否一定有定义?(,),(,)f x yDf x yD如果函数在区域 内各点连续 则称在区域上连续.函数的不连续点称为函数的间断点.1,()zyxyx 函数在直

26、线上无定义 所以此直线上的点都是函数的间断点.说明二元函数的间断点可以形成一条曲线例9()和一元函数类似,连续函数经过四则运算所得的函数仍然是连续的,连续函数经过复合运算所得的函数也是连续的.由此得到:二元初等函数在其定义区域 包含在定义域内的区域内 是连续的与闭区间上一元连续函数的性质相类似,在界闭区域上连续的二元函数,有以下定理.在有界闭区域上连续的二元函数在该区域上一定能取到最大值和最小值.定理1 在有界闭区域上连续的二元函数必能取得介于它的两个不同函数值之间的任何值至少一次.定理2思考题1.定义区域就是定义域吗?为什么?答案答案00,?2.二元函数在点处可导与可微的关系是什么Z=f x

27、,yxy答案答案0003.,?判定在二重极限不存在 有哪些常用的方法f x yP xy答案答案课堂练习题21.ln21.求二元函数的定义域Zyx答案答案220112.lim.求极限xyxyxy答案答案223.?在何处是间断的yxZyx答案答案一、偏导数的定义及求法0(,),(,).zf x yyxzxzf x yxzx 对于二元函数若固定只让 变化 则 就成为的一元函数 比如说这样的一元函数对 的导数就称为二元函数 对 的偏导数.0000000000(,)(,)(,)(,),lim,(,)(,),xzf x yx yf xx yf x yyyxzf x yx yx 义 设函数在点的某一个邻域内

28、有定义.固定如果极限存在 则称此极限值为函数在点处对 的偏导数 记作定10000(,)(,)0000,(,)(,)x yx yxxfzz x yf x yxx或等00(,)(,)zf x yx yy同样,函数在点处对 的偏导数定义为00000(,)(,)limxf yy yf x yy 0000(,)(,)0000,(,)(,).x yx yyyfzz x yf x yyx记作或等(,)(,),(,)zf x yDx yxx yzf x yx如果函数在区域 内每一点处对 的偏导数都有存在,那么这个偏导数就是的函数,称为函数对自变量 的偏导函数.记作,(,)xxfzzfx yxx,或,(,)zf

29、 x yy同样 函数对自变量 的偏导函数记作,(,)yyfzzfx yyy,或偏导函数也简称为偏导数.32432(1,2)zxx yy 求函数在点处的两个偏导数.例1因为22336,34zzxxyxyxy所以2(1,2)3 161215zx 23(1,2)3 14235zy解sin(),.zzzxxyxy 设求例2sin()cos(),cos()zzxyxxyxxyxy解,()1PVRTRPVTVTP 已知理想气体的状态方程为为常数证例32,RTPRTPVVV将原方程变形为则,RTVRVPTP同理 对于有11,TTPVVRPR对于有21PVTRTRVRTVTPPRPVV 于是证222ux yy

30、 zz x 求三元函数的偏导数.例422,(,)uxyzy zx将看成常数22,uyzxy22.uzxyz解二、高阶偏导数(,),.,(,).zzzf x yxyx yx yzf x y 对于函数的两个偏导数而言,一般说来仍是的函数如果这两个函数关于,的偏导数也存在 则称它们的偏导数是函数的二阶偏导数依照变量不同的求导次序其二阶偏导数分别为22(,)xxxxzzfx yzxxx22(,)yyyyzzfx yzxyy2(,)xyxyzzfx yzyxx y 2(,)yxyxzzfx yzxyy x(,),(,)xyyxfx yfx y 式中和称为阶导数类似可给出更高阶偏导数的概念和记号.二阶及二

31、阶以上的偏导数称为阶导数二混合偏.高偏.ln()zxxy 求的所有二阶偏导数.例5因为ln()ln()1,yyzzxxyxxyxxxyyxyy所以222221ln()1,yzzxxxyxxyxyyxyy 2211ln()1,yzzxxyx yyxyxy xzyy 解22,zzx yy x 在本例中这不是偶然的,一般地,有以下定理.(,)(,)(,)()xyyxzf x yDDfx yfx y 如果函数的两个混合偏导数在区域 内连续则在该区域 上有证明从略定理1三、全微分1.全微分的定义00000(),()()()()().yf xxxyyfxxoxoxxdyfxxyf xx 一元函数在点 处的

32、微分是指 如果函数在 处的增量可以表示成式中,是高阶的无穷小,则为函数在点 处的微分,类似地 二元函数全微分的定义如下.000000(,)(,)(,)(,)zf x yxyzf xyyf xy 义 如果二元函数在点处的全增量定20000(,)(,)()x yx yzzzxyoxy 可以表示成22,()()xy 式中则称000000(,)(,)00(,)(,)(,)xyxyxyzzxyzf x yxyxyz 为函数在点处的全微分,记为d即000000(,)(,)(,)00(,)(,).x yx yx yzzzxyzf x yxyx y d这时也称函数在点处可微(,).zf x yDD如果函数在区

33、域 内每一点都可微,则称它在区域可微(,),(,)zf x yDDx y设在区域 可微 则在 内任一点处的全微分为zzdzxyxy 0000(,)(,),(,).zf x yx yx y 如果函数在点处可微 则它在点处连续定理200(,)(,)zf x yxy证 由函数在点处可微得0000(,)(,)()x yx yzzzxyoxy 00lim0 xyz 所以00000000lim(,)(,),(,)(,).xyf xx yyf x yzf x yx y 即因此 函数在点连续(,)(,)(,)().zf x yx yzf x y 如果函数的两个偏导数在点处存在且连续,则函数在该点可微 证明从略

34、 定理3,(637)xydxdy 常见的二元函数一般满足定理3的条件,从而它们都是可微函数.和一元函数类似,习惯上将自变量的增量和分别记作和则式又可写为zzdzdxdyxy22(2,1)0.02,0.01zx yxy 求函数在点处当时的全微分.例6因为3(2,1)(2,1)24zxyx 22(2,1)(2,1)312zx yy(2,1)4124 0.02 12(0.01)0.2dzxy 所以全微分解2sin.xzey 求函数的全微分例7222sin,cosxxzzeyeyxy因为2222sincos(2sincos).xxxdzeydxeydyeydxydy所以,应该指出 二元函数全微分的概念

35、可以推广到三元函数及更多元的函数.解.yzux 求函数的全微分例8因为1,ln,lnyzyzyzuuuyzxx zxx yxxyz所以1lnlnyzyzyzdzyzxdxx zxdyx yxdz解2.全微分在近似计算中的应用00,(,)(,)zf x yx yxy由全微分的定义知 函数在点的全增量与全微分之差是一个比 高阶的无穷小,因此当与都很小,全增量可以近似地用全微分代替,即zdz,.在应用上式时 常换成以下形式00000000(,)(,)(,)(,)xyf xx yyf x yfx yxfx yy 及00000000(,)(,)(,)(,)xyf xx yyf x yfx yxfx yy

36、 2.02(1.04).计算的近似值例900(,),1,0.04,2,0.02,yf x yxxxyy 设取则2(1,2)11f1(1,2)(1,2)2yxfyx(1,2)(1,2)ln0yyfxx(640)所以由式得2.02(1.04)(1,2)(1,2)(1,2)xyffxfy 12 0.040 0.021.08 解思考题1.,1?因为导数就是微商 所以此命题是否正确xyzyzx答案答案2.是否只有可微函数才有极值点?请举例说明.答案答案3.试说明二元函数在某点处偏导数存在与可微之间的关系.答案答案课堂练习题221,21.求=在点处的全微分.Zxy答案答案22211.2.设=验证yzzzZ

37、xyxxyyy答案答案一、复合函数的求导法则由于多元函数的复合函数求导问题比较复杂,因此下面分种情况进行进行讨论.1.复合函数的中间变量均是二元函数的情形(,)(,),(,)(,)(,),(,)(,),zf u vu vux yx yzfx yx yx y 如果函数在点可微 而函数在点都存在偏导数,则复合函数在点的两个偏导数存在 且有求导公式 定理zzuu vxuxvx zzuu vyuyvy (,),(,)zfx yx y上述公式也称为链锁法则,初学者可用函数的结构图来帮助记忆.如复合函数的结构图为,(18-41).zu vxzuzuxux 从函数的结构图看到,由 通过中间变量到达 的路径有

38、两条而式中恰是两项的和,而路径表示zuvxy复合函数的求导法则可以推广到自变量或中间变量多于两个的情形.(,),(),(,),(,)zf u v wux vx y wx y例如式中yzzzvzwxu xv xwxyzzzvzwyu yv ywy sin(),.xyzzzexyxy 设求例1,sin,(1841),(1842)uuxy vxyzev设则所以由式式得sincos(sincos)uuuzev yeveyvvx sin()cos()xyeyxyxysincos(sincos)uuuzev xevexvvx sin()cos()xyexxyxy解2.复合函数的中间变量均为一元函数的情形(

39、,),(),(),(),()zf u vvt vtzfttt设而于是则是 的一元函数.由函数的结构图不难得出dzzuzvdtutvt dzdt称为导数全.zuvt23,sin,.xydzzext ytdt 设而求例2(1843)由公式得222cos23xyxyydzzuzetetdtutyt 322sin22(cos6)(cos6)xyttettett解sin,cos,.tdzzuvtue vtdt 设而求例3复合函数的结构图为所以sincostdzz duz dvz dtveuttdtu dtv dtv dtcossincos(cossin)costttetettettt解zuvtt3.3.

40、复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形222(,),sin,.xyzwwf x y zezyxx 设而求例4复合函数的结构图为(,)x y所以 注意既是中间变量,也是自变量.()ffwxw vwxxxztxx 与含义不同.22222222222cos2(cos)xyzxyzxyzxezeyxexyx,(,),.wwx yyxfxwf x y zy zxx应该指出 实质上 是两个变量,的函数 这里的是将看作常数对 求导 而是把中的看作常数对的求导解wxyzxy4.复合函数是抽象函数的情形22(,),.xyzzzf xy efxy 设具有一

41、阶连续偏听偏导数,求例522,(,),xyuxy vezf u v设则所以2xyffffzuvxyexuxv xuv 2xyffffzuvyxeyuyv yuv 21212,ffffffuvu v 为表达方便起见,引入以下记号.1212,2,2xyxyu vzzxfye fyfxe fxy以了以上记号,今后做这类题不设直接求出解(,),.xf u vzfxydzy 设可微求例6122121,zzxfyffxfxyyy 因为 122121xdzfyfdxfxfdyyy 所以 解二、全微分形式不变性利用一元函数微分形式不变性,可以给微分运算带来方便,多元函数的全微分形式,也有类似性质,下面以二元函

42、数为例说明.(,),zf u vu v设可微 其中是自变量 则有全微分zzdzdudvuv,(,),(,)(,),(,)u vx yux y vx yzfx yx y如果又分别是的函数 且为两个可微函数,则复合函数的全微分为zzzuzvzuzvdzdxdydxdyxyuxv xuyv y zuuzuuzzdxdydxdydudvuxyvxyuv,u v这说明 无论是自变量还是中间变量 它的全微分形式是一样的,这个性质叫作变全微分形式不性.利用全微分形式不变性解本节例5.例722,xyuxy ve设则(,)ffdzdf u vdudvuv而22()22dud xyxdxydy()()()xyxy

43、xyxyxydvd ee d xyeydxxdyye dxxe dy,du dv将代入并整理 得22xyxyffffdzxyedxyxedyuvuv即22xyxyffffzzdxdyxyedxyxedyxyuvuv,dx dyzzxy比较上式两边的系数 就同时得到两个偏听偏导数它们与例5的结果一样.解三、隐函数的求导法(,)(,)0,0,.xyzzzf x yF x y zFF FF设是由方程惟一确定的隐函数 如果连续 且则不难得出隐函数的两个求导公式xzFzxF yzFzyF 22224,.zzzxyzzxyx y 设求例8222(,)4,2,2,2(2),xyzF x y zxyzzFx

44、Fy Fz令则所以22,2(2)22(2)2yyzxxzxzzyzz 221(2)22(2)yyzxxxzx yyzzz 2232(2)(2)(2)xyxzxxyzzzz 解思考题1.,.对于在存在偏导且的一阶偏导数在对应点连续.请写出复合函数对 的偏导数公式x yx yx yZfZ=fx yx yy 答案答案 2.,.?若那么dzZfxxxdy 答案答案003.0,.xxyyyF x yxyFF FyF 若 是方程F x,y确定的隐函数,且,在某邻域连续且存在连续偏导数则该命题是否正确?为什么?答案答案课堂练习题2,.1.设sin=求xdyy xyedx答案答案2.,.求函数的一阶偏导数f

45、x xy xyzx答案答案一、多元函数极值1.极值的定义及求法在一元函数中,可以用导数来求极值,现在以二元函数为例,讨论如何利用偏导数来求多元函数的极值.000000000000000000(,)(,).(,),(,)(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)(,).zf x yP x yPP x yf x yf x yzf x yP x yf x yf x yf x yzf x yP x yf x y义 设函数在的某一邻域内有定义如果对于该邻域内异于 的任意点都有则称函数在点处有极大值如果都有则称函数在点处有极小值极大值和极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为点定极值.2234(0

46、,0)(0,0)0,(0,0)(0,0)(,),(,)0(0,0)zxyfx yf x yf 函数在点处有极小值因为对于点的任一邻域内异于的点都有例1221(0,0)(0,0)1,(0,0)(,),(,)1(0,0)zxyfx yf x yf 函数在点处有极大值因为对于点附近的任意点都有例2000000()(,)(,)(,),zf x yP xyP xy极值存在的必要条件 如果函数点处取得极值,且处的两个偏导数都存在 则定理10000(,)0,(,)0 xyfx yfx y000000(,)0,(,)0(,)(,)xyfx yfx yx yf x y 同时成立点称为的驻点但驻点不一定是极值点.

47、0000000()(,)(,),(,)0,(,)0.xyzf x yP x yfx yfx y 极值存在的充分条件 设函数在点的某个邻域内连续 且有一阶及二阶连续偏导数,且定理2000000(,),(,),(,),xxxyyyAfx yBfx yCfx y令则20000000(1)0,(,)(,),0,(,),0,(,);BACzf x yP x yAf x yAf x y当时 函数在点处有极值 且当时是极大值时是极小值200(2)0,(,);BACf x y当时不是极值2000(3)0,(,)(,),BACzf x yP x y时 函数在点可能有极值 也可能没有极值.,(,)zf x y由上

48、面的讨论结果 可得出具有二阶连续偏导数的函数的求极值方法如下.(,)0(1);(,)0 xyfx yfx y由求出一切驻点2(2);BAC由的符号判断驻点是否为极值点(3)求极值点的函数值.32242.zxxxyy 求函数的极值例32(,)3820.(0,0)(2,2).(,)220 xyfx yxxyfx yxy由方程求得驻点为及(,)zf x y而的二阶偏导数为(,)68,(,)2,(,)2(0,0)xxxyyyfx yxfx yfx y 在处 有22,8,2,120,(0,0)0.BACBACf 所以为函数的极大值(2,2)在处有22,4,2,120,(2,2).BACBAC 所以点不是

49、极值点解2.最大值和最小值(,)(,).(,),(,),zf x yf x yDzf x yDDf x yDDf 由连续函数性质,如果函数在界闭区域上连续,则在 上一定有最大值和最小值在此种情况下,欲求函数在 内所有驻点的函数及 的边界上的最大值和最小值 取这些函数值中的最大值和最小值就是所求的最大值和最小值.在解决实际问题时,如果根据问题的性质,知道函数在 内一定有最大值(或最小值),而函数在 内只一个驻点 则可以肯定该驻点处的函数值就是函数(,)().x yD在 上的最大值 或最小值(),(639)Sxyz 设有断面面积为常数 的等腰梯形渠道 当两岸倾角高底边长 为多少时 才能使湿周最小

50、见图 例4,u 湿周就是渠道断面与水接触的周界的长度.如图6-39,湿周记为uABBCCD解图6-39 例4示意图xBCzADy2sinyuzx即(cot),cot,(1846)SSzyx yzyxy又解出代入式得2cos,(0,0)sin2Sxuyxyyx uxy可见湿周 是 和 的二元函数.221 2cos0sin2cos0sinuxyxxuSxyxy 令4,.33S解这方程组得惟一驻点4,.33Su根据实际问题的性质,湿周一定有最小值,因此在驻点处取最小值442,333 3SSxyz 所以 当选择倾斜角高底边长时 就使湿周最小,这样能保证在流量一定条件下,所用材料最省.解题时,一定要确认