第二讲间接效用函数与支出函数D-课件.ppt
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- 关 键 词:
- 第二 间接 效用 函数 支出 课件
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1、第二讲间接效用函数与支出函数 Outline of Todays Class 1.间接效用函数 2.罗伊(Roy identity)等式 3.支出最小化问题支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯(补偿)需求函数 6.谢泼特(Shephard)引理 7.效用最大化与支出最小化的关系效用最大化与支出最小化的关系 8.斯卢茨基方程 9.替代效应与收入效应一、定义一、定义 ,maxnx Rv p mu xS t pxm p xm瓦尔拉斯定律第一节间接效用函数它是极大化了的效用它的自变量不是消费计划,而是价格与收入控制消费者行为,可以间接地控制p、m来实现二、性质二、性质(一)v(tp,tm)=v(p
2、,m)(t0)即它是关于p,m的零次齐次函数 0maxmaxtu xu xtp xtmpxm(二),ppv p mv p m时,v p mv p m即Bx pxmBx p xmBB显然 maxmaxx Bx Bu xu x故证:记(三),mmv p mv p m时证:记 mpxxBBx pxm maxmax,x Bx BBBu xu xv p mv p m显然故即(四)罗伊(Roy identity)等式:如果,0v p mm则,jjv p mpxp mv p mm 1,jn证明:先求分子(1,)iiupinx又(,)(,)v p mu x p m1niijijxvupxp(最大化一阶条件)1
3、niiijjxvppp同时 p xm 即1 122nnp xp xp xm两边同时对pj偏微分10nijiijxxpp故jjvxp(1)1niiijjxvppp再求分母(,)(,)v p mu x p m对m求偏微分11()niiiniiixvuxmxmxpmiiupx又pxm两边对m求微分11(2)niiixpmvm由(1)、(2)可得,jjv p mpxp mv p mm(1)jjvxp(2)vm例,设 121 2(,)u x xxx比较政府征收0.5元的所得税与0.5元的商品税对消费者效用的影响。三、应用解:121 122max x xp xp xm的解为*11*2222mxpmxp故*
4、1212212(,)4v p p mx xmp p120.25,1,2ppm时*112*224(,)2 0.25(0.5,1,2)4212 1xv p p mvx现在假设政府对商品1按0.25元/单位征收消费税,即1p由0.25元变为0.5元从而 12(,)(0.5,1,2)2v p p mv政府获得税金总额为*10.250.5,x 元如果政府征收同等额度的所得税即120.25,1,1.5ppm则(0.25,1,1.5)2.25v 所以(0.25,1,1.5)(0.5,1,2)vv征收所得税比商品税对消费者的影响要小 第二节 支出函数 一、支出最小化问题一、支出最小化问题min(2)()p x
5、Ms t u xu(一)min(2)()pxMs t u xu(二)希克斯(补偿)需求函数(M2)的解x与p,u有关,即是p,u 的函数,这一函数称为希克斯需求函数,记为(,)h p u(三)支出函数(,)(,)e p up h p u二、支出函数的性质二、支出函数的性质(一)若,pp 则(,)(,)e p ue p u证:(,)(,)e p uph p u(,)ph p u(,)p h p u(,)e p u(二).(,)(,)0e tp ute p ut(,)()(,)(,)(,)(,)e tp utp h tp ut p h tp ut p h p ute p u证:u 不变,给定p时,
6、支出最小为ph(p,u)(,)(,)()(,)(,)te p utph p utp h p ue tp u价格tp下,支出最小为e(tp,u)(,)(,)e tp ute p u(三)(,)e tp u是关于P的凹函数 即 0,1 有(1),(,)(1)(,)epp ue pue p u 证:设(,)(,)(1),)xh p uxh p uxhpp u 则(1),)(1)(1)(,)(1)(,)epp uppxpxp xe p ue p u 三.谢泼特(Shephard)引理(,)(1,)iieh p uinpih为希克斯函数(,)h p u的第i个分量 121 12 2(,)(,)(,)nn
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