自控第四章课件.ppt
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- 自控 第四 课件
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1、目的目的 掌握绘制系统根轨迹的方法掌握绘制系统根轨迹的方法掌握利用根轨迹分析系统的方法掌握利用根轨迹分析系统的方法内容内容根轨迹方程根轨迹方程绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则利用根轨迹进行系统分析利用根轨迹进行系统分析稳定性稳定性即闭环极点即闭环极点闭环特征方程的根闭环特征方程的根动态性能动态性能稳态误差稳态误差系统的性能系统的性能开环放大倍数开环放大倍数开环积分环节个数开环积分环节个数困困 难难!困难困难1 1:系统闭环特征方程的根如何求取!:系统闭环特征方程的根如何求取!困难困难2 2:讨论或预测当系统中的某一参数发生:讨论或预测当系统中的某一参数发生 变化时系统闭环特征方程的根如
2、何变变化时系统闭环特征方程的根如何变 化化!参数改变,系统性能如何改变!参数改变,系统性能如何改变!伊万思伊万思l一、根轨迹:一、根轨迹:根轨迹法属于复域分析法,是一根轨迹法属于复域分析法,是一种图解法,它可用于控制系统的分析种图解法,它可用于控制系统的分析和设计。和设计。所谓根轨迹是指当系统某个参数所谓根轨迹是指当系统某个参数(如如开环增益开环增益K)由零到无穷大变化时,闭环特由零到无穷大变化时,闭环特征根在征根在s平面上移动的轨迹。平面上移动的轨迹。l反馈系统开环传递函数的一般形式:反馈系统开环传递函数的一般形式:式中:式中:Zi(i=1、2.m)为开环传递函数零点为开环传递函数零点 Pj
3、(j=1、2.n)为开环传递函数极点为开环传递函数极点 K*为开环传递函数的根轨迹增益为开环传递函数的根轨迹增益 njjmiikPSZSKsG11*)()()(l系统的闭环特征方程:系统的闭环特征方程:式中,若已知式中,若已知Zi,Pj,并给定并给定一个一个K*,必可得出方程的一组解必可得出方程的一组解Sj(j=1、2.n)0)()(0)(111*njmiijkZSKPSsGl 如果变动如果变动K*,则所有则所有Sj都要发生都要发生变化。令变化。令K*由由0变化,则变化,则n个特个特征根都将连续变化,在根(复)平征根都将连续变化,在根(复)平面上各有一条变化轨迹,即有面上各有一条变化轨迹,即有
4、n条特条特征根的轨迹,这些轨迹称为征根的轨迹,这些轨迹称为系统的系统的根轨迹根轨迹。l根轨迹图示例(一)根轨迹图示例(一)如图所示的二阶系统,如图所示的二阶系统,R(s)C(s)K S(S+4)l解:解:Gk(S)=KS(s+4)K*=K开环极点:开环极点:P1=0,P2=4 无开环零点无开环零点(S)=Gk(S)1+Gk(S)K S +4s+K2l特征方程为:特征方程为:S +4S+K=02特征根:特征根:KSkS424221今令今令 K =0 范围内变化,利用解的公范围内变化,利用解的公式计算对应的特征根的值,通过连接这些式计算对应的特征根的值,通过连接这些根点,就可以在负平面上得到根轨迹
5、线。根点,就可以在负平面上得到根轨迹线。K=0 ,S1=0 ,S2=4 K=4 ,S1=S2=2K=5 ,S1=2+j ,S2=2 j K=8 ,S1=2+2j ,S2=2 2j K 时时,S1 2+j ,S2 2 jkkl有了根轨迹图,就可对系统的动态有了根轨迹图,就可对系统的动态性能进行分析:性能进行分析:1、当、当K=0时,根轨迹均在时,根轨迹均在S平面平面的左半部,因此,系统对所有的的左半部,因此,系统对所有的K值都值都是稳定的。是稳定的。2、当、当0 K 4时,闭环特征根为一对共时,闭环特征根为一对共轭复根,系统为欠阻尼状态,阶跃轭复根,系统为欠阻尼状态,阶跃响应为衰减振荡过程。响应
6、为衰减振荡过程。5、开环传递函数有一个位于坐标原、开环传递函数有一个位于坐标原点的极点,所以系统为点的极点,所以系统为 I 型系统,型系统,阶跃作用下的稳态误差为阶跃作用下的稳态误差为0。绘制根轨迹实质上是寻找闭环特绘制根轨迹实质上是寻找闭环特征方程征方程 1+G(S)H(s)=0 的根的根 因此满足方程式因此满足方程式 G(S)H(s)=1的的s 的值,都必定是根轨迹上的点,的值,都必定是根轨迹上的点,故称上式为故称上式为根轨迹方程根轨迹方程。二、根轨迹方程二、根轨迹方程l利用开环传递函数的通式,即:利用开环传递函数的通式,即:G(S)H(s)=1 为复变量,所以上式为为复变量,所以上式为一
7、矢量方程,可表示为模值方程和相角方一矢量方程,可表示为模值方程和相角方程。程。1)()(*)()()(11njjmiikPSZSKsGsHsGl模值和相角方程为:模值和相角方程为:minjjinjjmiiKPSZSPSZSK1111*)12()()(1式中:式中:.2,1,0K从这两个方程中可看出,从这两个方程中可看出,l例、设系统开环传递函数为例、设系统开环传递函数为 GK(s)=如何应用根轨迹方程在如何应用根轨迹方程在 S 平面上找到平面上找到闭环极点?闭环极点?K(1s+1)S(T1S+1)(T2S+1)l解:将上式改写为零极点形式解:将上式改写为零极点形式2312111211*211*
8、1,1,01)1)(1()1()(TPTPPZKTTKTSTSSSKsGkP3Z1P2P1S113121、在复平面上画出开环的零极点。一般用、在复平面上画出开环的零极点。一般用 X 表示开环极点的位置,此系统有三个开环极点表示开环极点的位置,此系统有三个开环极点 0、P1、P2;用小圆圈用小圆圈 表示开环零点的位置表示开环零点的位置,此系统有一个开环零点此系统有一个开环零点 Z1 2、在复平面上任取一点在复平面上任取一点 S1,然后画出从各开然后画出从各开环零极点到环零极点到 S1 点的各矢量。点的各矢量。则如果:则如果:,.)2,1,0()12()(3211KK成立,那么成立,那么S1就是根
9、轨迹上的点就是根轨迹上的点l一、根轨迹的分支数一、根轨迹的分支数l二、根轨迹对称于实轴二、根轨迹对称于实轴l三、根轨迹的起点、终点三、根轨迹的起点、终点l四、实轴上的根轨迹四、实轴上的根轨迹l五、根轨迹渐近线五、根轨迹渐近线l六、根轨迹的起始角与终止角六、根轨迹的起始角与终止角l七、分离点坐标七、分离点坐标l八、根轨迹与虚轴的交点八、根轨迹与虚轴的交点l九、根之和九、根之和l 练习:练习:l一、根轨迹的分支数一、根轨迹的分支数l 根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特根轨迹在复平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数征方程的阶数 n,也就是分支数与闭环极点也就是分支数与闭环极点的数目相等。的数目相等。
10、l 这是因为这是因为 n 阶特征方程对应有阶特征方程对应有 n 个特个特征根,当根轨迹增益征根,当根轨迹增益 K*=0 时,这时,这 n 个个特征根随特征根随 K*变化,必然会出现变化,必然会出现 n 条根轨迹。条根轨迹。l 闭环极点若为实数,则必位于实轴上,闭环极点若为实数,则必位于实轴上,若为复数,则一定是共轭成对出现,所若为复数,则一定是共轭成对出现,所以根轨迹必对称于实轴。以根轨迹必对称于实轴。l 根轨迹起始于开环极点,终止于开环零根轨迹起始于开环极点,终止于开环零点,如果开环零点数点,如果开环零点数 m 小于开环极点数小于开环极点数 n,则有则有(n m)条根轨迹终止于无穷远处。条根
11、轨迹终止于无穷远处。根据根轨迹方程:根据根轨迹方程:*111)()(KPSZSnjjmii 根轨迹的起点,即根轨迹的起点,即 K*=0 时的闭环极点,时的闭环极点,当当 K*=0 时,上式右边为无穷大,而左边只有时,上式右边为无穷大,而左边只有当当 S Pj 时,时,才为无穷大,所以才为无穷大,所以 K*=0 时,时,根轨迹分别从开环根轨迹分别从开环 n 个极点开始。即根轨迹起个极点开始。即根轨迹起始于开环极点。始于开环极点。根轨迹的终点,即根轨迹的终点,即 K*时的闭环极点。时的闭环极点。上式可知当上式可知当 K*时,右边为时,右边为 0,而等式左,而等式左边只有当边只有当 S Zi 时,才
12、为时,才为 0。所以。所以 K*时,时,根轨迹终止于各零点。根轨迹终止于各零点。当当 n m 时,只有时,只有 m 条根轨迹趋向于零条根轨迹趋向于零点,还有点,还有(n m)条根轨迹趋向如何?条根轨迹趋向如何?由于由于 n m,当当 S 时,上式可写成时,上式可写成(Zi,Pj 可忽略不计)则:可忽略不计)则:01mnS 当当 K*时,有时,有 n m 条根轨迹趋于条根轨迹趋于 若实轴上某线段的右侧,开环零极点数目若实轴上某线段的右侧,开环零极点数目之和为奇数,则该线段一定为根轨迹段之和为奇数,则该线段一定为根轨迹段。在实轴的根轨迹上取一点在实轴的根轨迹上取一点 S1,一对开环复数零一对开环复
13、数零极点对极点对 S1 的向量对称于实轴,其相角等值反号,的向量对称于实轴,其相角等值反号,在相角方程中将相互抵消,剩余的仅是位于实轴在相角方程中将相互抵消,剩余的仅是位于实轴上的开环零极点对上的开环零极点对 S1 向量,但位于向量,但位于 S1 点左边的点左边的开环零极点对开环零极点对 S1 点的向量相角为零,位于点的向量相角为零,位于 S1 点点右边的开环零极点构成相角右边的开环零极点构成相角 ,故根据相角方程,故根据相角方程,只有实轴上的根轨迹区段右侧的开环零极点数之只有实轴上的根轨迹区段右侧的开环零极点数之和为奇数,才能满足相角方程。和为奇数,才能满足相角方程。如果开环零点数如果开环零
14、点数 m 小于开环极点数小于开环极点数 n,则则当当 K*时,有(时,有(n m)条根轨迹趋向条根轨迹趋向,这(这(n m)条根轨迹趋向无穷远的方位,可条根轨迹趋向无穷远的方位,可由渐近线决定。由渐近线决定。渐近线与实轴交点坐标:渐近线与实轴交点坐标:mnZPnjmiija11mnka)12(K 依次取依次取 0,1,2 一直到出现重复一直到出现重复为止为止。)2)(1()(SSSksGkP1=0,P2=1,P3=2 无零点无零点 有三条根轨迹趋向无穷远,其渐近线与实有三条根轨迹趋向无穷远,其渐近线与实轴的交点坐标轴的交点坐标000116035,2180,1603,0)12(13210aaaa
15、njmiijakkkmnkmnZP0-1-2 一般情况下,如果根轨迹位于实轴上两相一般情况下,如果根轨迹位于实轴上两相邻开环极点之间,则这两极点间至少存在一个分邻开环极点之间,则这两极点间至少存在一个分离点。如果根轨迹位于两相邻开环零点间(其中离点。如果根轨迹位于两相邻开环零点间(其中一个零点可位于无穷远处),那么,这两个零点一个零点可位于无穷远处),那么,这两个零点之间至少存在一个分离点。之间至少存在一个分离点。两条或两条以上的根轨迹的分支,可随两条或两条以上的根轨迹的分支,可随 K*的增大而相遇又立即分开的交点称为根轨迹的分的增大而相遇又立即分开的交点称为根轨迹的分离点或会合点。离点或会合
16、点。分离点即为根轨迹的交点,它必为系统的分离点即为根轨迹的交点,它必为系统的重根,故可由特征方程取导数联解得出。重根,故可由特征方程取导数联解得出。0)()(0)()(1)(111*11*njmiijnjjmiikZSKPSPSZSKsG或:或:对特征方程求导得:对特征方程求导得:0)()(1*1niinjjZSKPSdsdmiinjjZSPS111125.33)1()(2*SSSKsGk试求系统闭环根轨迹的分离点坐标试求系统闭环根轨迹的分离点坐标12.012.2115.115.1125.33)1()(212*dddjdjdSSSKsGkd1 即为所求即为所求 Z1P1P2d23)3()(2*
17、SSSKsGk试求系统闭环根轨迹的分离点坐标试求系统闭环根轨迹的分离点坐标据法则据法则 1:n=2 有两条分支有两条分支 据法则据法则 3:两条分支分别起始于:两条分支分别起始于 1,2 点,一点,一条终止于条终止于 3 点点 另一条为无穷远处。另一条为无穷远处。据法则据法则 4:在开环极点:在开环极点1,2,之间及开环零,之间及开环零点点(3,)之间的实轴为根轨迹)之间的实轴为根轨迹据法则据法则 5:有一条渐近线:有一条渐近线)12()12(kmnkaK=0,则则 =可见渐近线就是根轨迹本身。可见渐近线就是根轨迹本身。l据法则据法则 6:可确定实轴上的分离点与会合点显然:可确定实轴上的分离点
18、与会合点显然l 1 与与 2间的实轴上有分离点,在间的实轴上有分离点,在 3 与与 间间的实轴上有会合点。的实轴上有会合点。41.359.131211121ddddd123l 根轨迹与虚轴的相交,意味着闭环极点为纯根轨迹与虚轴的相交,意味着闭环极点为纯虚根,虚根,l jw,系统处于临界稳定状态。因此将系统处于临界稳定状态。因此将 S=jwl代入特征方程中得:代入特征方程中得:0)(1jwGk0)(1Im0)(1RejwGjwGkk)2)(1()(SSSKsGk解:解:P1=0,P2=1,P3=2 无零点无零点 有三条根轨迹趋向无穷远,其渐近线与实轴的有三条根轨迹趋向无穷远,其渐近线与实轴的交点
19、坐标为:交点坐标为:3)12()12(1321011KmnKmnZPanjmiija0006035,2180,1603,0aaaKKK分离点:分离点:02630)1()2()2)(1(0211112ddddddddddd33116226624366d0)2)(1()(KSSSsD令令 S=jw0)2(30230)23(0)2)(1(32232jwwwKKjwwjwKjwwjwKjwjwjw020332wwwK62Kw012P0P1P22221)(,)5)(2(*)(2sHSSSKsG要求:要求:(1)概略绘制系统轨迹图,判断系统的)概略绘制系统轨迹图,判断系统的稳定性。稳定性。(2)如果改变反
20、馈通路传递函数使)如果改变反馈通路传递函数使 H(s)=1+2S 试判断试判断 H(s)改变后系统的稳定性,研究改变后系统的稳定性,研究 H(s)改变改变所产生的效应。所产生的效应。解解:(:(1)系统无开环有限零点,开环有限极点)系统无开环有限零点,开环有限极点为:为:P1=P2=0,P3=2,P4=5实轴上根轨迹区间为:实轴上根轨迹区间为:5,2,0,0根轨迹渐近线条数为:根轨迹渐近线条数为:4,且:,且:0000315,225,135,4575.1aa由由分离点方程:分离点方程:051212ddd得:得:40)4)(54(ddd0 2 5l(2)当)当H(s)=1+2S 时,系统开环传递
21、函数为:时,系统开环传递函数为:)5)(2()5.0(*)()(21SSSSKsHsG其中其中 K1*=2K*.H(s)的改变使系统增加了一个的改变使系统增加了一个开环零点。开环零点。实轴上的根轨迹区间为:实轴上的根轨迹区间为:,5,2,0.5 0,0 000300,180,6017.2aa系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为:0*2107)(234KSKSSSsD列劳斯表列劳斯表 S4 1 10 K*S3 7 2K*S2 K*S7*270K*270*)491(*KKK当当 K*=22.75 时,劳斯表时,劳斯表 S 行的元素全为零。由行的元素全为零。由辅助方程:辅助方程:025.1595.2
22、4*7*)270()(22SKSKsA0 0.5 2 5 所谓根轨迹的起始角,是指起始于开环极点所谓根轨迹的起始角,是指起始于开环极点的根轨迹在起点处的切线与水平线的正向夹角。的根轨迹在起点处的切线与水平线的正向夹角。而根轨迹的终止角是指终止于开环零点的根轨迹,而根轨迹的终止角是指终止于开环零点的根轨迹,在终点处的切线与水平线的正向夹角。在终点处的切线与水平线的正向夹角。njmijjjijiZmjnijjjijiPZZPZPPZPii1111)()()()()5.15.0)(5.15.0)(5.2()2)(2)(5.1()(jSjSSSjSjSSKsGk试绘制系统的概略的根轨迹试绘制系统的概略
23、的根轨迹1)据法则)据法则 1有有 4 条根轨迹条根轨迹2)据法则)据法则 4 则(则(0 1.5)()(2.5 )为实轴上的根轨迹为实轴上的根轨迹 3)据法则)据法则 3 有有 n m=4 3=1 条条 4)据法则)据法则 5 求求 的根轨迹的渐近线的根轨迹的渐近线 mnka)12(5)据法则)据法则 6 00000003142112101)12(37905.10859195.56)12()()()12(2kkPPZPkijjjiPK=0 时时 则:则:00000000413212205.1495.329)12(901175.63121199153)12()()()12(79222Zjiii
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