信号与系统-信号与系统4课件.ppt

1、信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB南京邮电大学南京邮电大学信号分析与信息处理教学中心信号分析与信息处理教学中心2009.3SIGNALS AND SYSTEMS信号与系统信号与系统第四章 连续信号与系统的复频域分析信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB第四章 连续信号与系统的复频域分析连续信号与系统的复频域分析概述4.1 拉普拉斯变换4.2 典型信号的拉普拉斯变换4.3 拉普拉斯变换的性质4.4 拉普拉斯反变换4.6 连续系统的复频域分析4.7 系统函数4.8 由系统函数的零、极点分析系统特性4.9 连续时间系统的稳定性本章要点作业 返回信号与系统SIGNA

2、LS AND SYSTEMS ZB连续信号与系统的复频域分析概述傅里叶变换（频域）分析法 在在信号信号分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频分析和处理方面十分有效：分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、取样、滤波等率响应、波形失真、取样、滤波等 要求信号满足狄里赫勒条件要求信号满足狄里赫勒条件 只能求零状态响应只能求零状态响应 反变换有时不太容易反变换有时不太容易拉普拉斯变换（复频域）分析法 在连续、线性、时不变在连续、线性、时不变系统系统的分析方面十分有效的分析方面十分有效 可以看作广义的傅里叶变换可以看作广义的傅里叶变换 变换式简单变换式简单 扩大了变换的范围扩大了变换的范围 为

3、分析系统响应提供了规范的方法为分析系统响应提供了规范的方法返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB4.1 拉普拉斯变换4.1.1 从傅里叶变换到拉普拉斯变换信号不满足绝对可积条件的原因是：信号不满足绝对可积条件的原因是：不趋于零。时，或当)(tftt 只要只要 取得合适，很多函数取得合适，很多函数(几乎所有常用的函数几乎所有常用的函数)都可以满足绝对可积的条件。都可以满足绝对可积的条件。一一.引进广义函数引进广义函数(傅氏变换傅氏变换)二二.拉氏变换拉氏变换(无需引进广义函数无需引进广义函数)若若 f(t)不满足狄里赫勒条件，我们为了能获得变换不满足狄里赫勒条件，我们为了能获

4、得变换域中的函数，域中的函数，人为地人为地用一个用一个实指数实指数函数函数e-t 去乘去乘 f(t)。称称 为为衰减因子衰减因子；e-t 为为收敛因子收敛因子。解决的方法解决的方法：信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB取取 f(t)e-t 的傅里叶变换：的傅里叶变换：dteetfetftjtt)()(F Fdtetftj)()(的函数，可以表示成的函数，可以表示成它是它是jFjf t edtjt()()dejFetftjt)(21)(其傅里叶反变换为其傅里叶反变换为dejFtftj)()(21)(故故信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBjjststdsesF

5、jtfdtetfsFjs)(21)()()(以改写为以改写为为复频率，则变换式可为复频率，则变换式可记记双边拉普拉斯正变换双边拉普拉斯正变换双边拉普拉斯反变换双边拉普拉斯反变换上两式称为双边拉普拉斯变换对，可以表示为上两式称为双边拉普拉斯变换对，可以表示为)()(sFtf拉氏变换扩大了信号的变换范围。拉氏变换扩大了信号的变换范围。变换域的内在联系变换域的内在联系时域函数时域函数傅氏变换)(tf频域频域函数函数)(F时域函数时域函数拉氏变换)(tf复频域复频域函数函数)(sF信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB4.1.2 单边拉普拉斯变换考虑到：考虑到：1.实际信号都是有始信号

6、，即实际信号都是有始信号，即0)(0tft时，2.我们观察问题总有一个起点，或者说只需考虑我们观察问题总有一个起点，或者说只需考虑 的的部分部分。此时拉普拉斯正变换可以改写为。此时拉普拉斯正变换可以改写为0t0)()(dtetfsFst)()(tftfL记作记作的单边拉普拉斯变换，的单边拉普拉斯变换，称为称为)(0)(21)(1sFtdsesFjtf-jjstL记作相应的反变换为斯斯变变换换对对为为一一对对（单单边边）拉拉普普拉拉或或称称，和和即即)()()()()()(1tfsFsFtftfsF-LL信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 正变换的积分下限用正变换的积分下限用

7、 0-的目的是：把的目的是：把 t=0 时出现的时出现的冲激包含进去。这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可冲激包含进去。这样，利用拉氏变换求解微分方程时，可以直接引用已知的初始状态以直接引用已知的初始状态 f(0-)。但但反变换的积分限并不改变反变换的积分限并不改变。以后只讨论单边拉氏变换：以后只讨论单边拉氏变换：（1）f(t)和和 f(t)(t)的拉氏正变换的拉氏正变换 F(s)是一样的。是一样的。（2）反之，当已知）反之，当已知 F(s)，求原函数时，也无法得，求原函数时，也无法得到到 t 0 时，时，f(t)e-t 绝对收敛。绝对收敛。(4)任何可以进行拉氏变换的信号，其拉氏变换任何可以

8、进行拉氏变换的信号，其拉氏变换 F(s)中中一一定没有定没有冲激函数。冲激函数。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB4.1.3（单边）拉氏变换的收敛域 信号信号 f(t)乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的乘以收敛因子后，有可能满足绝对可积的条件。是否一定满足，还要看条件。是否一定满足，还要看 f(t)的性质与的性质与 的相对关的相对关系。通常把使系。通常把使 f(t)e-t 满足绝对可积条件的满足绝对可积条件的 值的范围值的范围称为拉氏变换的称为拉氏变换的收敛域。收敛域。0则收敛条件为 满足上述条件的最低限度的满足上述条件的最低限度的 值，称为值，称为 0 (绝对收绝对收敛

9、横坐标敛横坐标)。存在下列关系后乘以收敛因子若,)(tetf)(0)(lim0ttetf如：有始有终的能量信号如：有始有终的能量信号 0=-功率信号功率信号 0=0信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB按指数规律增长的信号：如按指数规律增长的信号：如 e t，0=凡是增长速度不超过指数函数的函数，统称为凡是增长速度不超过指数函数的函数，统称为指数指数阶函数阶函数。指数阶函数均可以用乘以。指数阶函数均可以用乘以 e-t 的方法将其分散的方法将其分散性压下去。性压下去。结论：凡指数阶函数都有拉氏变换。结论：凡指数阶函数都有拉氏变换。比指数信号增长的更快比指数信号增长的更快的信号：如

10、的信号：如 找不到找不到0，则此类信号不存在拉氏变换。则此类信号不存在拉氏变换。ttte 或或2 单边拉氏变换的收敛域是：复平面单边拉氏变换的收敛域是：复平面(s 平面平面)内，内，Re(s)=0 的区域，比较容易确定。一般情况下，不的区域，比较容易确定。一般情况下，不再加注其收敛域。再加注其收敛域。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB1.傅里叶级数：傅里叶级数：ftFTn()ftF eTnjntn()0ejnt0 实际上是把周期信号分解为一系列实际上是把周期信号分解为一系列离散离散的的等幅等幅振荡振荡的正弦分量之和。的正弦分量之和。0n220)(1TTdtetfTFtjnn

11、 复振幅：复振幅：（可以用复平面虚轴上的（可以用复平面虚轴上的离散频谱离散频谱表示）表示）j04.1.4 变换域之间的内在联系单元信号单元信号:角频率角频率:（在虚轴上离散取值）（在虚轴上离散取值）信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBj02.傅里叶变换傅里叶变换f tFedjt()()12f tF()()ejt频谱密度：频谱密度：（可以用复平面虚轴上的（可以用复平面虚轴上的连续频谱连续频谱表示）表示）单元信号单元信号:角频率角频率:（在虚轴上连续取值）（在虚轴上连续取值）复振幅：复振幅：（为无穷小量）（为无穷小量）2)(dFdtetfFtj)()(实际上是把非周期信号分解为无

12、穷多实际上是把非周期信号分解为无穷多等幅等幅振荡的正振荡的正弦分量之和。弦分量之和。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.拉普拉斯变换拉普拉斯变换象函数：象函数：（可以用（可以用 s 右半平面上的右半平面上的连续频谱连续频谱表示）表示）单元信号单元信号:复频率复频率:（在（在 s 右半平面上连续取值）右半平面上连续取值）复系数：复系数：（为无穷小量）（为无穷小量）jdssF2)(实际上是把非周期信号分解为无穷多实际上是把非周期信号分解为无穷多变幅变幅（按指数规（按指数规律增长或衰减）或等幅振荡的正弦分量之和。律增长或衰减）或等幅振荡的正弦分量之和。f tjF s edsjs

13、t()()12f tF s()()es tjs0)()(dtetfsFstj00信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB4.2 典型信号的拉普拉斯变换1.指数信号指数信号 e-t (t)(这里这里 无任何限制无任何限制)dtedteetetssttt0)(0)(Lsesestttjttts11100信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBstet1)(即由此，可以导出一些常用函数的拉氏变换。由此，可以导出一些常用函数的拉氏变换。2.单位阶跃信号单位阶跃信号(t)stst1)(1)(0即即，得得前前式式中中，令令L信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB

14、3.单边正弦信号单边正弦信号)()(21)(sin000teejtttjtjLL2020s112100jsjsj20200)(sinstt即)(sin0tt4.单边余弦信号单边余弦信号)()(21)(cos000teetttjtj LL202001121ssjsjs2020)(cossstt即即)(cos0tt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB5.单边衰减或增长的正弦信号单边衰减或增长的正弦信号)(sin0ttet)(sin0ttetL)()(21)()(00teejtjtj L 1211000202jsjsjs()即即ettstsin()()00202)(cos0ttet

15、2020)()(cosssttet6.单边衰减或增长的余弦信号单边衰减或增长的余弦信号信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB7.单边双曲正弦信号单边双曲正弦信号)(21coshtteet22)(coshsstt)(21sinhtteet)(sinhtt)(coshtt8.单边双曲余弦信号单边双曲余弦信号22)(sinhstt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB9.冲激函数冲激函数)(t根据冲激函数作为广义函数的定义：根据冲激函数作为广义函数的定义：)0()()(fdttft1)()(00tststedtettL故故1)(t即即信号与系统SIGNALS AND

16、SYSTEMS ZB10.t 的正幂信号的正幂信号 (n为正整数为正整数)(ttn由定义：由定义：0)(dtetttstnnL对上式进行分部积分，令对上式进行分部积分，令dtedvtustn,0100dtetsnestdtetstnstnstn01dtetsnstn可见：可见：)()(1ttsnttnnLL依次类推：依次类推：1!11221)(nnsnssssnsnsnttL特别是特别是 n=1 时，有时，有21)(sttL信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系例如增长的指数信号：例如增长的指数信号：)0()(tet：只有拉氏变换而无傅氏变换只有拉

17、氏变换而无傅氏变换0.10jsFsF)()(：拉氏变换、傅氏变换都存在，且拉氏变换、傅氏变换都存在，且0.20Fj()1F ss()1例如衰减的指数信号：例如衰减的指数信号：)0()(tet例如单位阶跃信号：例如单位阶跃信号：(t)Fj()()1F ss()10.30：拉氏变换、傅氏变换都存在，但傅氏变换拉氏变换、傅氏变换都存在，但傅氏变换中中含有冲激函数含有冲激函数P185 表4-1典型信号的典型信号的拉氏变换对拉氏变换对信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB4.3 拉普拉斯变换的性质 在实际应用中，通常不是利用定义式计算拉氏变换，在实际应用中，通常不是利用定义式计算拉氏变换

18、，而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质来求取。而是巧妙地利用拉氏变换的一些基本性质来求取。拉氏变换的有些性质与傅氏变换性质极为相似拉氏变换的有些性质与傅氏变换性质极为相似，只，只要把傅氏变换中的要把傅氏变换中的 j 用用 s 替代即可。替代即可。但是傅氏变换是双边的，而我们这里讨论的拉氏变但是傅氏变换是双边的，而我们这里讨论的拉氏变换是单边的，所以某些性质又有差别。换是单边的，所以某些性质又有差别。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB1.线性线性),()()()()()()()()(21212211为为常常数数则则若若basbFsaFtbftafsFtfsFtf2.时移性时移

19、性)0()()()()()(0000tsFettttfsFtfst则则若若返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB seesdtedtetttttsstssttsttstst0001111000延时后为延时后为，其变换仍为，其变换仍为直流信号延时后仍为直流信号延时后仍为信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB的拉氏变换。的拉氏变换。，试求，试求，若，若，则，则例：设例：设)()()()()4()()()()3()()()()()2()()1(01)()()(000000000002ttttttttfttttttfttttttfttttftstfsFttfL信

20、号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)()(0tttft00tt00t)(0ttf)()(0tttft00t22000011)()(0)2()1(sstststtttttLL相相同同，即即所所以以它它们们的的拉拉氏氏变变换换也也时时的的波波形形相相同同，和和解解：信信号号020200200000000001111)()()3(stststtststtsttsttststesstesestesestdtesestdttedtettttttL信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB)()(00ttttft00t)(11)()()()()4(0020002000000s

21、FeesestessttttttttttststststLtLL信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例4-3-2 求图示锯齿波求图示锯齿波 f(t)的拉氏变换的拉氏变换解解：)()()()(tftftftfcba或或)()()()(TtTtTETtEttTE根据时移性，有根据时移性，有sEetfsTb)(21)(sTEtfat0)(tfTEt0)(tfaTEt0)(tfbTEt0)(tfcTT2E)()()()()()(TtTTtTEttTETtttTEtfsTcesTEtf21)(所以：所以：)1(1)(2sTeTsTsEtf信号与系统SIGNALS AND SYSTEM

22、S ZB利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换利用时移性可以求单边周期信号的拉氏变换)2()2()()()()(111TtTtfTtTtftftf)(11)()1()(112sFesFeesFsTsTsT设设 f1(t)表示第一个周期的函数，则表示第一个周期的函数，则 说明说明周期信号的拉氏变换周期信号的拉氏变换等于它第一个周期波形的等于它第一个周期波形的拉氏变换拉氏变换F1(s)乘以因子乘以因子sTe11周期函数可以是广义的，例如台阶函数周期函数可以是广义的，例如台阶函数sTessF111)(t0)(tfTT2123信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例4-3-3 求半波

23、正弦函数的拉氏变换求半波正弦函数的拉氏变换)()()(:1tftftfba解)2()2(2sin)()2sin(TtTtTEttTETtE)(tfT202TtE)(1tf02TTtE)(tfaT202TETtE)(tfbT202TE22222)2()2()2()2(TseTsTETsTE)1()2()2(222TseTsTE)1()2()2(11)()(222TssTeTsTEesFtf222)2()2(11TsTEesT信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.比例性（尺度变换）比例性（尺度变换）0)(1)()()(aasFaatfsFtf则则若若)0,0()()(000ta

24、tattatfL试试求求，已已知知)()(sFtfL)(1)()(000asFeatattatftasL再应用比例性，得再应用比例性，得)()()(000sFettttfstL解法一：先应用时移性，可得解法一：先应用时移性，可得例例4-3-4信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB解法二：先应用比例性，可得解法二：先应用比例性，可得)(1)()(asFaatatfL)()()()(0000attaattaftattatfLL)(10asFeatas)(1)()(000asFeatattatftasL再应用时移性，得再应用时移性，得信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS

25、ZB4.频移性频移性00)()()(ssFetfsFtfts则则若若返回返回与傅氏变换比较：与傅氏变换比较：ef tFjt00()()ef tFt()()这里，这里，s0 可以是实数，也可以是虚数或复数。可以是实数，也可以是虚数或复数。22)(shstet22)(chsstet例例4-3-5信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB jsFjsFjttfjsFjsFttfttjfttfetfttjfttfetfjsFetfjsFetftjtjtjtj21sin21cossincossincos信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB5.时域微分时域微分)0()()()

26、()(fssFdttdfsFtfL则则若若)0()0()()()1(1nnnnnffssFsdttfdL主要用于研究具有初始条件的微分方程主要用于研究具有初始条件的微分方程证明：证明：根据定义根据定义dtedttdfdttdfst0)()(Ldttfestfestst)()()(00)0()(fssF信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB同理可得同理可得dtedttdfdttdfLst02222)()(dtedttdfdtdst0)(0)()0()(tdttdffssFs)0()0()(2fsfsFs依此类推，可得依此类推，可得)0()0()()()1(1nnnnnffssFs

27、dttfdL若若 f(t)为有始函数，则为有始函数，则)()()()()()(ssFdtttdfttftfL信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 00000000000 23 2 2 fsffssFsffsfsFsstffsfsFsffssFstffssFtfsFtf信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB nnsststt2 1信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例4-3-6的波形如图所示。解：)(),(21tftf001)(),()(21tettftetftt设的的拉拉氏氏变变换换。和和试试求求)()(21tftfssFsFtftf1)(

28、)(),()(2121LL)(1tft01)(2tft011)()()(1tetdttdft)(1)(11ssFsssdttdfL)()(2)(2tetdttdft)0()(12)(212fssFsssdttdfL由于由于f(0-)不同，所不同，所求导数的求导数的拉氏变换拉氏变换不同。不同。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB6.时域积分时域积分)()()()()(0注意积分限则若tssFdfsFtfsfssFdft)0()()()1(证明：由定义证明：由定义000)()(dtedfdfstttL00)(10)(dtetfsdfsesttstssF)(信号与系统SIGNALS

29、 AND SYSTEMS ZB若积分下限由若积分下限由-开始开始ttdfdfdf00)()()(tdff0)()0()1(所以所以sfssFdft)0()()()1(Ltdttst0)()(1)(，而已知21)1(1)(ssstt所以例例4-3-71!)(nnsntt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 443330233232020!31231231!21212111ssttssttdssttsttdsttdstttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB7.初值定理初值定理(0+时刻的值时刻的值)则则存存在在，且且，设设)(lim)()(ssFsFtfs证

30、明：利用时域微分性质证明：利用时域微分性质dtedttdffssFdttdfst0)()0()()(Ldtedttdfdtedttdfstst000)()()(lim)(lim)0(0ssFtffst000)()(dtedttdfdtdttdfst10tstedtedttdftffssFst000)()()0()(即即信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBdtedttdffssFst0)()0()(故故)(lim)0(ssFfs故故有有时，右边积分项消失当s信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB注意：注意：)1,1:()()(2)()1(lim不存在非真分式如初

31、值定理。分式用真分式之和，然后对真化成一个多项式与一个用长除法将不是真分式时，应当先当）（直接套用公式。为有理真分式时，可以当ssssssFsFsFs的的值值。时时全全为为零零，不不影影响响数数，它它们们在在其其导导的的原原函函数数为为冲冲激激函函数数及及因因为为多多项项式式部部分分所所对对应应)0(0ft信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：已知例：已知 ，试求初值，试求初值 。111lim)0(ssfs实际上：实际上：1111)(:ssssF解解1)0()()()(ftettft，1)()(sstfsFL)0(f如果不加以分析而直接套用公式，将会得到如果不加以分析而直接

32、套用公式，将会得到的错误结果。的错误结果。)0(f信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB8.终值定理终值定理的的终终值值存存在在，则则，且且设设)()(lim)()(tftfsFtftL)(lim)(lim)(0ssFtffst)0()(lim)0()()(lim)(lim00000fssFffdtdttdfdtedttdfsssts两边取两边取 s 趋于零的极限，得趋于零的极限，得证明证明:根据时域微分性质，有根据时域微分性质，有)0()()()(0fssFdtedttdfdttdfstL)(lim)(lim)(0ssFtffst即即信号与系统SIGNALS AND SYST

33、EMS ZB条件是：条件是：存在存在)(limtft 这相当于这相当于 F(s)的极点都在的极点都在 S 平面的左半平面，并且平面的左半平面，并且如果在虚轴上有极点的话，如果在虚轴上有极点的话，只能在原点处有单极点。只能在原点处有单极点。否则会得到否则会得到 的错误结果。的错误结果。0lim)(0ssfs)0(1)(sesFtL例例如如其极点其极点 s=在在 s 平面的右半平面，平面的右半平面，t趋于正无穷时，趋于正无穷时，f(t)趋于无穷，所以趋于无穷，所以f(t)不存在。不能不存在。不能用终值定理。用终值定理。此处内容可参考后面关于系统稳定性加以理解此处内容可参考后面关于系统稳定性加以理解

34、信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB25235lim)(lim)(200ssssFfss例：例：已知已知 ，试求，试求 f(t)的终值。的终值。)23(5)(2ssssF解：解：因为因为 F(s)的极点为的极点为 s1=0，s2=-1 和和 s3=-2，满足终，满足终值定理的条件。所以有值定理的条件。所以有信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 对于在原点有双极点及更多极点的情况：对于在原点有双极点及更多极点的情况：3222,1stttftftssFtttf同样对于不存在。时，当信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB9.复频域微分复频域微分dt

35、etfsFst0)()(证明证明:根据定义根据定义dtettfdtettfdssdFstst00)()1()()()()(sFtf若dssdFttf)()(则同理可证同理可证:nnnndssFdtft)()1()(（与傅氏变换频域微分比较，（与傅氏变换频域微分比较，p114-p115）信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB10*.复频域积分复频域积分dtdsetfsst0)(dtstetfst0)(dtettfst0)(sstsdsdtetfdssF0)()(证明证明:0)(lim)()(0tfdssFttfts则则)()(sFtf若信号与系统SIGNALS AND SYSTE

36、MS ZB其它性质：其它性质：)()()()(2121sFsFtftf)()(21)()(2121sFsFjtftf时域卷积定理时域卷积定理复频域卷积定理复频域卷积定理P194 表表4-2 常用拉氏变换的性质常用拉氏变换的性质信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB11sin:2st解sarctgsdsstts11sin2sarctgarctgs12sarctgsdxxxt11sin0的的拉拉氏氏变变换换。例例：试试求求dxxxt0sin*基本公式基本公式复频域积分性质复频域积分性质时域积分性质时域积分性质信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例 求下列函数的拉

37、氏变换求下列函数的拉氏变换)()1(.1tt)1(.2ttssttttt11)()()()1(.12解：sessttttt)11()1()1()1()1(.22)1()1(.3ttsestt21)1()1(.3)1()1(.4tttt2cos.52)cos(.6ttsstttt11)()1()1()1(.42LL信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 322.5stt2tLL322332)4()12(2)2(2)2(2212cossssjsjsttL)()(21sin)()()(21cos)(000000jsFjsFjttfjsFjsFttfLL有下列公式（证明方法：欧拉公式，

38、频移性）有下列公式（证明方法：欧拉公式，频移性）)(,42cos2使用频域微分性另解：sst)4(2cos2222ssdsdtt322)4()12(2 sss信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2222)(1)(12sin)(1)(12cosjsjsjjsjs22222222)(2sin)(cossssssinsincoscos)cos(.6tttttt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例：求图示函数求图示函数 f(t)的拉氏变换。的拉氏变换。解法一：解法一：按定义式求积分按定义式求积分dtetfsFst0)()(dtetdttestst 2110)2

39、(dttedtedteseststststst2121102101)1(22)1(1ses)(tft2110信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB解法二：解法二：利用线性和时移定利用线性和时移定理理)2()1()2()1()()(tttttttf)2()2()1()1(2)(tttttt222222)1(1121)(ssesesesssFs)(tft2110解法三：解法三：利用时域微分性质利用时域微分性质)2()1(2)()(22tttdttdfLL)(,)1()(,0)0(,0)0(22时域微分性故而sesFsff)(,)1(2换换直直接接求求其其二二阶阶导导数数的的变变se

40、22)1(1)(sessFdttdf)(t211022)(dttfdt21)1(0)1()2(信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例 求下列函数的单边拉氏变换：求下列函数的单边拉氏变换：dtttdt)(cos)1()1(,1)(cos)1(2单边余弦信号，sstt)(1)(cos22时域微分ssdtttd)(,)1(2)1()(cos2222频域微分ssssdsddtttdt解：解：)(sin)2(tt)()sin()(sin)2(tttt11)(sin2sttsestt11)()sin(2信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB jsFjsFjttfjsFj

41、sFttfssFetfaasFaatfsFesFtsFettttftssTst21sin21cos)(30)(1)(2)(11)()0()()()(10100000、频移性、比例性（尺度变换）单边周期信号、时移性信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 的单边拉氏变换、时域积分导数的单边拉氏变换各阶、时域微分ttttsfssFdfssFdfttfsfsFsffssFstffssFtftt)0()()()()(5)()(000004)1(02 信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 的单边拉氏变换、复频域微分tttdssdFttf)()(6信号与系统SIGNALS

42、AND SYSTEMS ZB4.4 拉普拉斯反变换4.4.1 简单的拉普拉斯反变换：直接应用典型信号的直接应用典型信号的拉氏变换对（表拉氏变换对（表4-1）及拉氏变换的性质（表）及拉氏变换的性质（表4-2）得到。）得到。例例:121ses)(2)()(tetettsess1211返回返回返回 理。的值了，方便了后续处和就可以不必考虑时域微分性积分性时，如果需要使用项。在后续后面加上在所得到的时域表达式建议：进行反变换时，001fft信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例:2)2(ss2)2(1ss)(12tts)00(),()2(122时刻值为ttest)(21)()2(1

43、222tetttedtdsstt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例：的原函数求22)3()(sssF解解：tts3sin332 tttsssdsd3sin)3(32)33(222)(3sin321)3()(22tttsssF频域微分频域微分信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB22)3(1)(ssF求求解解：)(3sin321)3(22tttssdssst0223sin321)3(1)(3sin3613cos6tttt例例:信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB4.4.2 部分分式展开法 常见的拉氏变换式是常见的拉氏变换式是 s 的多项式

44、之比，一般形式为的多项式之比，一般形式为)()()(01110111sDsNasasasabsbsbsbsFnnnnmmmmNumerator 分子分子Denominator 分母分母信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB如果如果 N(s)的阶次高于的阶次高于 D(s)的阶次的阶次,可以用长除法将可以用长除法将 F(s)化成多项式与真分式之和，例如化成多项式与真分式之和，例如145311723)()()(2223ssssssssssDsNsF多项式部分的拉氏反变换是冲激函数及其导数，可以直多项式部分的拉氏反变换是冲激函数及其导数，可以直接求得，例如接求得，例如)(5)(353t

45、ts所以只需讨论真分式部分的拉氏反变换。所以只需讨论真分式部分的拉氏反变换。返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB 2020202000cos0sin1)(ssttesttestettt常用到的信号信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB1.D(s)=0 的根都是实根且无重根的根都是实根且无重根)()()()()(21nnssssssasNsDsNnnssksskssk2211其中其中),2,1()()()(nisDsNsskissii)(12211111nnssksskssksFLLLL此此时时，)(2121tekekektsntstsn遮挡法遮挡法返回

46、返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例:的的拉拉氏氏反反变变换换。求求23372)(22sssssF解解：)2)(1(12)(ssssF23122ss)(3)(2)(22tetettt信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB2.D(s)=0 的根有复根且无重根的根有复根且无重根)()()(2221cbssssssssasDnn)(21cbsssD。，则构成一对共轭复根，则构成一对共轭复根二次多项式中，若二次多项式中，若cb42)()()()()(11221sDsNcbssksksDsNsF 上式右边第二项仍用前述方法展开为部分分式，再上式右边第二项仍用前述

47、方法展开为部分分式，再利用利用对应项系数相等对应项系数相等的方法即可求得的方法即可求得 k1 和和 k2。信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZBcbssksk221的反变换可以用配方法（或部分分式展开法的反变换可以用配方法（或部分分式展开法.略）略）信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例：的的原原函函数数。试试求求)42)(1(3)(2sssssF421132)42)(1(322ssCBssssss解解：432430Cs代代入入上上式式，得得令令Bss320，得得，令令两两边边乘乘以以31 C32B遮挡法遮挡法配方法配方法对应项对应项系数相系数相等法等法3

48、)1(3132132)(2ssssF22)3()1(331)1(32132sss)(3sin313cos3232)(tteteetfttt返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB3.D(s)=0 的根有重根的根有重根可可写写成成，则则重重根根只只有有一一个个若若)(0)(1sDspsD)()()()(11nppnssssssasD)()()()()()()(11111211211)1(111sDsNsskssksskssksFpppp k1p k11可以通过可以通过对应项系数相等对应项系数相等或公式法得到。或公式法得到。得公式法：上式两边同乘,)(1pss)()()()(

49、)()()()()(111111121121)1(111sDsNsssskssksskksDsNsspppppp信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB1)()()(11ssppsDsNssk1)()()(1)1(1ssppsDsNssdsdk依此类推依此类推1)()()()!(111sspkpkpksDsNssdsdkpk它们的拉氏反变换可通过频域微分性质和频移性得到它们的拉氏反变换可通过频域微分性质和频移性得到tskkkketkkssk111111)!1()(L则则信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例：例：的的原原函函数数。求求2322132)(sssss

50、F22132)(212211232sksksksssssF解：用遮挡法，得用遮挡法，得4321211kk，代代入入上上式式，得得令令1s)()434521(2tett2434521)(2ssssF454121361212kk，对应项系数对应项系数相等法相等法返回返回信号与系统SIGNALS AND SYSTEMS ZB例例*：的的原原函函数数。求求22 1)2(1)(sssF可展开为可展开为，故，故的根有二重根的根有二重根解：解：)(120)(2,1sFjssD)12()12()12()12()(2222112211jskjskjskjsksF41221142)()12(jjsesFjsk21