代表名额的分配-共34页PPT资料课件.ppt
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1、公平的席位分配公平的席位分配 1.问题:美国众议院如何根据各州人口的比例分配众议院议员的名额。m:州数,pi:第 i 州人口数,p=pi:总人口数 N:议员数,ni:第 i 州议员数,N=ni.qi=(pi/p)N:第 i 州应占有的议员的份额.根据按人口比例分配的原则给出公平的议员席位分配的方案n1,nm,即ni尽可能地接近其应得的份额qi.美国宪法自1788年生效开始之日起,其第1条第2款就明确指出:“众议院议员名额 将根据各州的人口比例分配。”200年以来,关于“公正合理”地实现宪法中所规定的分配原则,美国的政治家和科学家们展开了激烈的争论,虽然设计了多种方案,但没有一种得到普遍认可。一
2、.问题与背景2.背景 1787年美国颁布宪法,规定“众议院议员的名额将根据各州的人口比例分配”,并于1788年生效.1791年 Alexander Hamilton(财政部长)提出了议员席位分配的方法,并于1792年通过。1792年 Thomas Jefferson 提出了议员席位分配的除子法。1851年开始用Hamilton法分配议员的席位。1881年当议会的总席位由299席变为300席时,各州的人口数都没有变化,重新调整议员席位的结果却使Alabama亚拉巴州的议员席位却从 8人减少为 7人。这就是著名的 Alabama 悖论 后来,1890年人口普查之后,在各州人口数没有改变的情况下,当
3、总席位由359席增加到360席时,Arkensas 州的议员的席位又丢掉了一个。Maine 州也出现了类似的情况。1910年,Hamilton 的分配方法被停止使用了。1920年,Harvard 大学的数学家 Edward Huntington,Joseph Hill 开始研究这个问题。1941年,基于代表性不公平度的数学模型,他们提出了EP(Equal Proportions)法,用以分配议员的席位。并且由Roosevelt 总统将它写入了法律,至今仍然延用。1970年Michael Balinsky&Peyton Young 进一步研究,提出公理准则体系。1980 年提出了著名的 Bali
4、nsky&Young 不可能定理。二:二:Hamilton(比例加惯例比例加惯例)方法方法已知已知:m方人数分别为方人数分别为 p1,p2,pm,记总人数为记总人数为 p=p1+p2+pm,待分配的总席位为待分配的总席位为N。记记 qi=Npi/p,称为第称为第i方的份额方的份额(i=1,2,m)各方先分配各方先分配qi的整数部分的整数部分qi,总余额为总余额为miiqNN1 记记ri=qi-qi,则第则第i方的分配名额方的分配名额ni为为其它个最大的,1iiiiqNrqn要要求求已知份额向量已知份额向量q=(q1,qm),找一个找一个n=(n1,nm),N=n1+n2+nm,使使n与与q最最
5、。问问题题Hamilton 法(比例加惯例)及有关悖论法(比例加惯例)及有关悖论系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 (%)比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21例例子子三个系学生共三个系学生共200名名(甲甲100,乙,乙60,丙,丙40),代表会,代表会议共议共20席,按比例分配,三个系分别为席,按比例分配,三个系分别为10,6,4席席.因学生转系因学生转系,三系人数为三系人数为1
6、03,63,34,如何分配如何分配20席席?若代表会议增加若代表会议增加1席,如何分配席,如何分配21席席?比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 (%)比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 (%)比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0
7、 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21Hamilton方法的不公平性方法的不公平性1.Alabama 悖论:悖论:p1,p2,pm 不变不变,N 的增加会使某个的增加会使某个 ni 减少减少(上例)。(上例)。2.人口悖论:人口悖论:N不变不变,pi 比比pj 的增长率大的增长率大,反使反使 ni 减少减少 nj 增加增加(例例1)。3.新州悖论:新州悖论:p1,p2,pm不变不变,m增加增加1,N 的增加会使某个的增加会使某个ni增加而某个增加而某个ni 减少减少(例例2)。pinii=110310i=26
8、36i=3344总和总和 20020pi114(+10.6%)6338(+11.8%)215qi10.605.863.54 20ni116320pi10363346206qi10.506.423.470.61 21ni1121例例1例例2衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1=p2/n2 时,分配公平时,分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的绝对不公平度的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n
9、2=10,p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的不公平的不公平程度已大大降低程度已大大降低!虽二者的绝对虽二者的绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2,对,对A不公平不公平p1/n1 p2/n2=5不公平度和Huntington(Q值)方法公平分配方案应使两者公平分配方案应使两者之间的不公平度之间的不公平度rA(或或 rB)尽量小尽量小),(/21222211nnrnpnpnpA 对对A的相对不公平度的相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似若类似若p2/n2 p1/n1,定义定义rB(n1,n2)若若 p1/n1 p2/n2,定
10、义,定义席位公平分配的Huntington法则:若一州转让一个席若一州转让一个席位给另一州导致两州间相对不公平度的降低,则进行位给另一州导致两州间相对不公平度的降低,则进行这种转让。连续进行这种席位的转让,直到任意两州这种转让。连续进行这种席位的转让,直到任意两州间的转让不可能再降低它们之间的不公平度间的转让不可能再降低它们之间的不公平度,则可得到则可得到最优的席位分配方案最优的席位分配方案。注:在每一个分配方案后,对于A,B两者之间满足且只满足下面三种情况之一:两者分配绝对公平,此时两者之间相对不公平度为0;对A不公平,此时两者之间相对不公平度为rA(n1,n2);对B不公平,此时两者之间相
11、对不公平度为rB(n1,n2);Huntington-Hill Huntington-Hill 定理定理:在席位分配方案(ni,nj)的基础上,再增加一个席位,方案(ni+1,nj)优于(ni,nj+1),当且仅当 Qi Qj,其中minnpQiiii,2,1,)1(2分配策略:分配策略:将一次性的席位分配转化为动态的席位将一次性的席位分配转化为动态的席位分配分配,即初始分配给即初始分配给A,B各一个名额,再依次增加分各一个名额,再依次增加分配配1个名额,直至名额分配完为止。个名额,直至名额分配完为止。给出分配的量化指标:Q值。1)若)若 p1/(n1+1)p2/n2,即使即使A得到该席位仍得
12、到该席位仍对对A不公平,给不公平,给A应讨论以下几种情况应讨论以下几种情况初始初始 p1/n1 p2/n2 2)若)若p1/n1 p2/n2,即对,即对A不公平不公平.3)若)若 p1/(n1+1)p2/(n2+1),若若A得到此席位,则对得到此席位,则对B不不公平,两者之间的相对不公平,两者之间的相对不公平度为公平度为rB(n1+1,n2)若若B得到此席位,对得到此席位,对A更加更加不公平,两者之间的相对不公平,两者之间的相对不公平度为不公平度为rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给 B应比较两种情况的相对不公平度应比较两种情况的相对不公
13、平度rB(n1+1,n2)和和 rA(n1,n2+1).当当 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给该席给A(另一种情况(另一种情况同理)同理)rA,rB的定义的定义)1()1(11212222nnpnnp该席给该席给A。,2,1,)1(2innpQiiii 定义定义该席给该席给Q值较大的一方值较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位minnpQiiii,2,1,)1(2计算计算该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Huntington(Q 值值)方法方法称Q为HuntingtonHill 数),(/21222211nnrnpnpnpA由于Q值只用到了本州自身的参数,所以可推
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