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1、第8章 有限字长效应任何数字系统不论是专用硬件，还是用通用计算机软件实现的，所采用的各种系数以及每次运算过程中的结果总是存储在有限长的存储单元中，即数字系统的每一个数都是用有限长的二进制数表示。有限字长的数当然是有限精度的，因此肯定会有误差。模拟信号经采样成为有限字长的数字信号时，也有误差。总之，由于有限字长产生的误差，这会引起系统的性能指标的变化。有限字长引起的误差主要有以下三个方面:(1)A/D变化的量化效应(信号量化误差)；(2)系统函数系数的量化效应(ak、bk系数量化效应)；(3)运算过程中的有限字长效应(运算误差不仅与字长有关，还与算法有关)。前两种是对模拟量量化引起的误差，后一种

2、是在运算过程中对运算结果作尾数处理引起的误差。解二进制的表数方法。上述三种因素造成的影响很复杂，它既与运算方式、字长有关，又与系统结构密切相关。要同时将这些因素放在一起分析是很困难的，只能将三种效应分别、单独的加以分析，计算它们的影响。在分析之前先了由尾数处理所产生的误差积累起来会使运算精度下降，在有反馈环节(如IIR系统)情况下，误差的循环影响还可能引起振荡。式中括号外下标表示括号里的是二进制数，其中8.1 二进制表数法对量化的影响通常的数如x=1/3=0.3333.用的是十进制数表示，而数字也可以用二进制数(0或1)表数，例如(8.1-1)(或)表示小数点位，k、i 取值为0或1。x2=m

3、m110 12n 2 iinikkmkx2210(8.1-2)与十进制数的关系为下面分别讨论数字系统中最基本的二进制算法的定点制与浮点制运算及误差。=122+021+120+021+122+123=5.375 例 x=10101128.1.1、定点制表数及运算误差小数点在数码中的位置是固定不变的，称为定点制。通常定点制把数限制在1之间，即1 x 0 x=12n 2 1 x 0 x=012n 2 x=112n 2 式中=当二进制数的字长有限时，会有运算误差。例8.1-1 x1=001002=0.25，x2=010012=0.5625，x3=011002=0.75，求x1 x2，x1+x2，x1+

4、x3。解 作尾数字长为四位的两个二进制数的加法：结果没有无误差。x1+x2=011012=0.8125结果不正确。=0.3125 1.3125，x2+x3=101012作有效字长为四位的两个二进制数的定点乘法：x1 x2=0001001002=0.140625相乘后字长增加一倍，受有限字长(四位)限制，去除后四位，所以此例说明虽然定点加法一般无误差，但不能溢出。(n)=x1 x2=000102=0.125当实际问题中的数较大时要乘比例因子，以保证所有定点运算结果的绝对值不大于1。二进制数的定点乘法没有溢出问题，但字长要增加一倍。当有效字长一定时，必须对尾数作处理，因此会产生误差。精度；C为阶码

5、，其字长决定浮点制的运算动态范围，8.1.2、浮点制表数及运算误差定点制的不足是动态范围小，有溢出问题。而浮点制克服了这个缺点，它有很大的动态范围。浮点制将一个数表示为其中M是尾数，且M1，其字长决定浮点制的运算(8.1-5)C、M均为二进制数，可以分别有不同的字长。x=2C M 为了提高运算精度，可采用规格化(归一化)浮点表数如上例在保证数值不变的前提下，将C1、M1改为 C1、112MC式中例如C1=1002，M1=0112，则对应的二进制数与十进制数为法，方法是将尾数的第一位保持为1，即1/2 M 01 x 0，不论原、补、反码表示相同。若实际数据，共有b1位，系统有效字长为b位(b b

6、1)位，截尾后x=12b1 2 Qx=012b 2 当上式中所有i=0(b+1 i b1)，没有误差；iibbiTmE21110211222bbbbbb22210221TbbE112biii b 截尾误差而当所有i=1(b+1 i b1)，误差（绝对值）最大为得到定点截尾的误差范围为(8.1-14)ET=Qx x 122bb一般，并记2b为q，即q是最小码位所表示的数值，称为“量化间距”或“量化阶”。所以正数截尾的误差范围还可表示为(8.1-15)0221TbbE2b=q q ET 0iibi21112biii 112biii b(2)x 0，原码若实际数据截尾误差，共有b1位，系统有效字长为

7、b位(b b1)位，截尾后x=112b1 2 Qx=112b 2 ET=Qx x 112biTmii bE 11210222bbb1222bbb1022bbTE得到定点截尾原码的误差范围为(8.1-16a)或(8.1-16b)当上式中所有i=0（b+1 i b1)，没有误差；而当所有i=1 (b+1 i b1)，误差(绝对值)最大为0 ET q1112biii (3)、x 0，补码，共有b1位，系统有效字长为b位(b b1)位，截尾后112biii 112biii b 截尾误差ET=Qx x Qx=1 2 b 2 若实际数据x=1 2 b12 1222bbbTmE 1220bbTE(8.1-1

8、7a)或(8.1-17b)误差范围当上式中所有i=0(b+1 i b1)，没有误差；而当所有i=1(b+1 i b1)，误差(绝对值)最大q ET 0112biii b ET=Qx x 111122bbiii 1122bbiii 111222bbbiii b c.x 0，反码截尾误差，共有b1 位，系统有效字长为 b 位(b b1)位，截尾后若实际数据x=11 2 b12 Qx=11 2 b2 ET=Qx x 11102221102222111bibbibEibbbibbbbT1220bbTE 所以误差范围为(8.1-18a)当上式中所有i=0(b+1 i b1)，没有误差；而当所有i=0(b

9、+1 i b1)，误差（绝对值）最大或(8.1-18b)0 ET q 截尾(补码)截尾(原码、补码)定点截尾误差范围：Qx Qx x x 2b2b2b2b2bQxx02b00 Qx x 2 b x0 x0 补码2b ET 0 x0 原码x0 反码0 ET 2b b221bRE2212、定点舍入因为舍入处理是按最接近的数量化，不论正、负，也不论原、补、反码，其误差总是在之间。即，其量化特性如图8.1-2所示。Qx x 2b/2 Qxx 2b/22b2b/2 3、浮点在浮点制中截尾与舍入的处理只受尾数字长影响，但所例如x1、x2是两个位数不同但阶码相同的数：产生的绝对误差 E=Qxx 却与阶码有关

10、。20002 010012x1=20112 010012x2=10.5625=0.5625=80.5625=4.5若尾数字长b=2取两位，则可见在相同的尾数舍入情况下，由于x2比x1大8倍，相误差与数值本身大小有关。20002 102=10.5=0.5Qx1=E1=Qx1 x1=0.0625，E1=0.0625；应的绝对误差 E1就比E1大8倍，即浮点制中绝对E2=Qx2 x2=0.5，E2=0.5；20112 102=80.5=4Qx2=xxxQ所以在浮点制中用相对误差比绝对误差更能反映运算精度和特点。相对误差定义为(8.1-19)(8.1-20)绝对误差与相对误差的关系上式表明，相对误差的

11、实质是去掉阶码的影响。这是个乘性误差，而定点制的误差是加性误差。E=Qxx=x与定点一样经分析可以得到误差范围，直接给出相对误差 的误差范围。浮点截尾相对误差范围：原码、反码：补码(8.1-22)22b 0 (8.1-21)22b 0 0 22b x 0取样量化 nx 8.2 模拟信号量化的误差分析8.2.1、A/D变换的量化误差 A/D变换示意图如图8.2-1所示。xa(t)xa(n)nxQnx假设 x(n)=xa(nT)是无限精度的理想定点制A/D变换的输出，是有限精度的(字长b位)实际A/D转换器的输出，即量化输出。二者的误差为E=Qx(n)x(n)当二进制数采用补码，量化是截尾处理，则

12、定点补码截尾的量化误差范围为q ET 0定点舍入原码的量化误差范围为q/2 ER q/2(8.2-1)(8.2-2)量化特性分别如图8.1-1、图8.1-2所示。式中 q 为量化间距。定点补码截尾与定点舍入原码的8.2.2 量化误差的统计分析尽管式(8.2-1)(8.2-2)给出了量化误差范围，但要精确分析误差的大小及其影响既不可能也无必要。实际考虑量化误差影响时，只要了解其平均效应，即可作为设计的依据，例如确定A/D所需字长等。所以可把量化误差等效为噪声，采用统计分析方法。nenxnx取样 nx 无限精度的理想输出x(n)与噪声之和，即A/D变换的统计模型如图8.2-2所示，量化输出等效为为

13、分析方便，在对误差e(n)的统计特性分析时作如下xa(t)xa(n)e(n)假设：(1)e(n)是一个平稳的随机序列；(2)e(n)与信号是不相关的(实际是相关的，为分析简化)；(3)e(n)是白色的，即序列本身的任意两个值之间是不相关的；(4)e(n)具有均匀等概分布。由上述假设，量化误差是一个与信号不相关的白噪声序列，当然这与实际情况不完全相同。尤其输入为规则信号时，量化误差不是线性独立、白色的。所以作为平均特性分析，这种假设是合理的。但对无规律的随机输入信号，假设基本符合实际。舍入误差及截尾误差等效为白色均匀等概分布的噪声序列e(n)，其概率密度分布分别如图8.2-3(a)、(b)所示。

14、定点截尾补码e(n)的分布0 定点舍入原码 e(n)的分布 0q/2 q/2qe(n)e(n)1/q1/qpepe deemE e nep e222deeeeEememp e噪声序列e(n)的均值与方差为将定点舍入、截尾的概率密度分布带入上式，分别计算其均值与方差。(8.2-3)(8.2-4)/2/21d0qeqme eq/2222/21dqeeqEemeeq1221222bq2e1、定点舍入量化噪声的均值与方差的计算可见，当均值（直流分量）为零时，由方差噪声的方差等于噪声的平均功率。(8.2-5a)(8.2-5b)012dd2beeqmep ee eq 22eemeE1221222bq2、定

15、点截尾补码噪声的均值与方差(8.2-6a)(8.2-6b)由式(8.2-6)知道截尾噪声具有直流分量，会影响信号的频谱结构，因此实际应用中更多的是采用舍入处理，后续的讨论也是如此。22222221212/2xbbxex入输出关系及其信噪比，可以得到字长与运算精度的假设输入及噪声均为零均值，其方差与平均功率相等，则其信噪比为由计算结果可知，量化噪声的方差与A/D的字长相关，字长越长，量化噪声越小。再利用系统统计模型的输关系。A/D变换的统计模型的输入输出方差比为2x2x2x12x由上式可见，信噪比与两个因素有关：一是A/D变换的字长b越长信噪比越高；二是信号方差越大，信噪比越高。但是一般由于A/

16、D的限幅限制不可能再大，并且 x(n)不同，是不同的。当 x(n)的最大值为1时，。2lg1002.679.10 xbSNR(8.2-7)222222SNR10lg10lg10lg10lg 12 2bxxexe12x平均功率：平均功率：x1(t)为方波x1(t)tT2T x2(t)为正弦波平均功率：平均功率：2/12xx2(t)tT2Tx3(t)为随机信号x3(t)t2x不同。一般x(t)不同，性A/D一般要求8位以上满足通信要求。因此，要提高信噪比（英文缩写为SNR），只有增加字长b，字长每增加一位信噪比增加6dB。例如字长b=10，信噪比不会超过71dB。虽说字长b越长信噪比越高，但过长也

17、没必要。因为输入信号x(t)本身的信噪比，使得A/D的量化间距q比x(t)的噪声电平更低没有意义。实际应用中线性A/D一般要求12位以上满足通信要求，非线 nx 8.2.3、随机信号通过线性系统的均值与方差为如图8.2-5所示的无限精度的线性系统。实际应用中有意义的信号是随机信号，其量化误差以为随机信号，这样无论信号或噪声都可用相同的方法进行分析。为单独分析系统对随机信号的影响，将系统近似x(n)e(n)h(n)H(ej)图8.2-5 随机信号通过线性系统(n)因为线性相加的随机信号，经过线性系统仍是线性相加的，所以图8.2-4系统的输出为式中y(n)是信号输出，f(n)是噪声输出。假设 x(

18、n)为白色平稳随机过程，输入与输出的均值、关系如下(8.2-8)(n)=y(n)+f(n)my=Ey(n)mnhmxmhmnxnhnxnymm mnxEmhmmy xmmh m将代入上式，且平稳随机过程其均值与n、m无关，所以(8.2-9)特别的，若 mx=0，则 my=0my=Ey(n)=mx H(ej0)feenmmhn式中he(n)是噪声e(n)到输出节点的单位脉冲响应，输入与输出噪声的均值关系可类推，即(8.2-10)He(ej0)是噪声频响在零频时的数值。=me He(ej0)lhlnxmhmnxEnyElmy22 lnxmnxElhmhlm再假设输入是零均值的白色平稳随机过程，则输

19、入信号与输出信号的方差(功率)关系如下(8.2-11)因为 x(n)为白色随机过程，序列各变量之间互不相关，所以上式中Ex(nm)x(nl)=xx(m l)2222yxxmlmh m h lmlhm 将结果代入式(8.2-11)，则Ex(nm)Ex(nl)=m l2xmEx2(nm)m=l=Ex(nm)x(nl)=xx(m l)=2xml 2xm=lm l0222j1ed2yxH由帕斯维尔定理 2111dj2xCH z H zzz(8.2-12)222feemhm22j1ed2eeH同理可得输出噪声方差为(当e(n)为定点舍入误差时)2111dj2eeeCHz Hzzz(8.2-13)式中he(n)是噪声e(n)到输出节点的的单位脉冲响应，He(ej)是噪声的频响，He(z)是he(n)的z变换。以上结果适用任意白色平稳随机信号通过线性系统分析在以后相关各节将不再说明的引用。(8.2-13)2111dj2eeeCHz Hzzz 作业 1,3,6