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1、 第第7章章 有限冲激响应有限冲激响应(FIR)数字滤波器设计数字滤波器设计IIR DF由于吸收了AF的设计成果，所以可以简便、有效的完成一些DF的设计。但IIR DF幅度特性的改善一般是以相位的非线性为代价的。相对IIR系统，FIR系统没有因果稳定问题，因为任何一个非因果的有限长序列通过一定的延时，都可以做成因果系统。因为h(n)是有限时宽，FIR系统可以利用FFT技术。nNnznhzH10 jnNnjenheH101、系统函数复习与FIR系统的有关内容有N1个零点，在原点处有N1阶极点。总之，FIR系统具有IIR系统没有的许多特点，现在，FIR DF得到了越来越广泛的应用。频响 kNeHW

2、zzHkHjkN2 11011zWkHNzzHkNNkN knNNkWkHNnh101 knNNnWnhkH103、频域取样与插值取样插值IDFTDFT2、有限序列的DFT就具有线性相位，只有满足一定条件的FIR 系统才具7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点线性相位FIR数字滤波器也称线性相位FIR 系统。线性相位FIR 系统广泛应用在数据通信、图像信号处理等领域，在实际工程中具有重要意义。但并不是FIR 系统有线性相位。h(n)=h(N1 n)7.1.1、FIR 系统的线性相位条件与线性相位特性系统的线性相位条件与线性相位特性5.3节已经给出了满足 线性

3、相位FIR系统条件：系统由对(N1)/2偶或奇对称，可以得到两种类型的线性相单位脉冲响应h(n)是实序列，并且对(N1)/2有对称条件，即h(n)=h(N1 n)位。或 nNnnNnznNhznhzH11010110110NmNmmNNmzzmhzmh11NzzH 11021NnnNnzzznhzH 2121211021NnNnNNnzznhz1、h(n)对(N1)/2偶对称h(n)=h(N1 n)jjeeHH zz 21cos10NnnhHNn幅度函数，是实函数，可有正负。其中 相位函数，是严格的直线。11j201ecos2NNnNh nn 1111jjj22201eee2NNNNnnnh

4、n=H()e j()()=(N1)/2 波器具有严格的线性相位，群时延为(N1)/2个采样周期，如图7.1.1所示。当h(n)为实序列，且满足h(n)=h(N1 n)，FIR滤()(N 1)20 nNnnNnznNhznhzH11010110110NmNmmNNmzzmhzmh 11NzzH 11021NnnNnzzznhzH 2121211021NnNnNNnzznhz2、h(n)对(N1)/2 奇对称h(n)=h(N1 n)21sin10NnnhHNn幅度函数，是实函数，可有正负。其中 相位函数是一条不过原点的直线，在零频处有/2的截距。jjezzHeH 212110212NnjNnjNn

5、Njeejjnhe 21sin1021NnnhjeNnNj=H()e j()()=(N1)/2+/2 0器是具有线性相位的正交网络。不仅有(N1)/2个采样周期的延迟，而且还产生90的相移，如图7.1.2所当h(n)为实序列，且有h(n)=h(N1 n)，FIR滤波示。()2(N 1/2)/27.1.2、幅度函数特性、幅度函数特性FIR DF，即前面所说的四类线性相位FIR系统。下面讨论这四类线性相位FIR系统的幅度特性。若h(n)是对(N1)/2偶对称或奇对称的序列，又由N 为奇数或偶数，可以得到四种幅度类型的线性相位0 1 2 3 4 5 6 1、第一类线性相位滤波器h(n)=h(N1 n

6、)，N为奇数，如图7.1.3所示例h(n)nN=7的情况。21cos10NnnhHNn nNNnN21cos211cos和式内，第 n 项与第 N1 n项相同，系数可以合并，21Nh另算。中间项21cosNn h(n)=h(N1 n)2121cos22/30NhNnnhHNn这样或取后一半：2121cos212/1NhNnnhHNNnm：1(N1)/2令：n(N1)/2=mn：(N+1)/2 N1 21cos2122/11NhmmNhHNm nnaNncos2/10 nNhna212a(0)再令m=n 其中因为 cos(n)对=0、偶对称，所以H()对=0、H()=H(2)也是偶对称，于是有2

7、cos 2cos 0图7.1.4cos(n)cos 30 1 2 3 4 52第二类线性相位滤波器h(n)=h(N1 n)，N为偶数，如图7.1.5所示例N=6的情况。h(n)n 21cos10NnnhHNn 2121cos22/30NhNnnhHNn这样 分析：同1，可以两两合并，无单独项。或取后一半：21cos212/NnnhNNnm：1N/2令：n(N1)/2=m 1/2n：N/2 N121cos1222/1mNmhNm 21cos2/1nnbNn 122Nnhnb因此H()在=奇对称，不宜做高通。即 因为 在=时为零，且奇对称，21cosn其中再令m=n，则H()=H(2)2cos(5

8、/2)cos(3/2)cos(/2)cos(n-1/2)图7.1.6 由图7.1.6可知这种滤波器在=处为零，所以不适合做高通滤波器。0h(n)n3 第三类线性相位滤波器h(n)=h(N1 n)，N为奇数，如图7.1.7所示。例N=7的情况。4 5 60 1 2 3 21sin10NnnhHNn1sin12NNn 021Nh中间项 21sin22/30NnnhHNn这样 h(n)=h(N1 n)和式内，第n项与第N1 n项相同，系数可以合并，11sinsin22NNnn或取后一半：21sin212/1NnnhHNNnmmNhNmsin2122/11 nncNnsin2/10 nNhnc212其

9、中m：1(N1)/2令：n(N1)/2=mn：(N+1)/2 N1再令m=n，则 因为sin(n)在=0、处为零，且奇对称；所以H()在=0、处也奇对称。所以有H()=H(2)20sin sin2sin3sin(n)如图7.1.8所示3 4 50 1 2 h(n)=h(N1 n)，N为偶数，如图7.1.9所示例4第四类线性相位滤波器N=6的情况。h(n)n 21sin10NnnhHNn 分析：同3 3，可以两两合并，无单独项。21sin22/30NnnhHNn这样或取后一半：21sin212/NnnhNNnm：1N/2令：n(N1)/2=m 1/2n：N/2 N121sin1222/1mNmh

10、Nm 21sin2/1nndNn 122Nnhnd其中sin(n-1/2)在=0时为零，对=处偶对称；因此H()也在=0时为零，对=处偶对称，于是有H()=H(2)20sin(/2)sin(5/2)sin(3/2)sin(n-1/2)如图7.1-10所示。图7.1.10 sin(n-1/2)从以上对FIR系统幅度特性的分析可知，一旦确定了h(n)的对称条件以及时宽N的奇、偶条件，那么线性相位FIR系统的类型也就随之确定。了解了FIR线性相位滤波器的部分频率特性，使我们在实际设计使用数字滤波器时，可根据需要选择合适的滤波器类型，并在设计时遵循它们的约束条件。因为线性相位滤波器的系统函数有：1iz

11、7.1.3、线性相位、线性相位FIR系统的零点特性系统的零点特性除了原点处的极点外，线性相位FIR系统只有零点，因此有必要讨论其零点特性。H(z)=z(N1)H(z1)H(z)=z(N1)H(z1)或H(z)=z(N1)H(z1)所以，如果zi是H(z)的零点，则也是H(z)的零点。iz综上所述，共有三种情况的零点。(1)单零点 又由于h(n)是实序列，所以如果H(z)有复零点，必为共轭成对出现，即若 zi 是H(z)的零点，其共轭 也是H(z)的零点。zi=1对应一阶节结构1 z 1。或zi=1，(2)双零点 对应二阶节结构 1)在实轴上 11zz1+a z 1+z 2 111/1/zz22

12、/1 zz2)在单位圆上。22/1 zz 3、四个一组的复数零点，对应的系统为四阶节结构a+b z 1+cz 2+b z 3+az 4 H(z)=A(1+2.05 z 1+z 2)8.022zz25.1/1/122zz解解得A=1，所以H(z)=1+2.05 z 1+z 2系统的零极点如图7.1.11所示 H(e j)=A(12.05+1)=0.05例7.1-1 已知某二阶线性相位FIR系统的一个零点z2=0.8，且H(ej)=0.05，求该系统的系统函数，并画出系统的零极点图。-1.5-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartIm

13、aginary Part零 极 图430.5j0.5z31/1jz z3=0.5+j0.5，且H(ej0)=1，求该系统的系统函数，1/z3=1j，例例7.1.2已知某四阶线性相位FIR系统的一个零点解 z3=0.5+j0.5，并画出系统的零极点图。H(z)=A(1 3 z 1+4.5 z 2 3 z 3+z 4)H(e j0)=A(13+4.53+1)=1解得A=2，所以H(z)=2(1 3 z 1+4.5 z 2 3 z 3+z 4)-1-0.500.51-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81Real PartImaginary Part零 极 图4由这三种零点情

14、况可以做成基本一阶节、二阶节、四第二类：H()=0，所以H(z)在z=1有单零点；第四种：类型H(0)=0，因此H(z)在z=1有单零点；第三种：H()=H(0)=0，那么H(z)在z=1有单零点。波器。从对幅度特性的讨论，我们知道四类FIR线性相位滤小结：小结：阶节网络的级联。7.2 FIR 数字滤波器的窗函数设计数字滤波器的窗函数设计7.2.1、FIR数字滤波器的窗函数设计基本方法数字滤波器的窗函数设计基本方法响应是积分的结果一般是非因果无限时宽的IIR系统。希望得到的是理想滤波器频响为Hd(e j)，对应的脉冲n=,1,0,1,jj1eed2nddhnH要做的是用一个有限时宽的h(n)去

15、逼近hd(n)，从而使所设计的系统频响H(e j)逼近Hd(ej)。01其频响特性为jjee0cdcHHd(ej)cc图7.2-1是一个截止频率为c，时延为 的理想低通d()jj11ee2jccnnn sinSacccnnn 对应的脉冲响应 jj1eed2ccndhnj1ed2ccn 0因果序列。hd(n)c/+c/c/n如图7.2-2所示 hd(n)是以为中心，偶对称无限长非h(n)。为了保证h(n)的因果性，我们取hd(n)的0N1一这是一个物理不可实现的系统。如何用一个有限长因果序列逼近它？最简单的方法是直接截取它的一段做段，这可以由乘矩形序列RN(n)实现；为了保证系统的称中心，则取=

16、(N 1)/2。线性相位，h(n)要满足偶对称条件，应该是h(n)的对所以有：h(n)=hd(n)RN(n)=(N-1)/2(7.2-1)上式所表示的h(n)与hd(n)关系，是hd(n)乘以矩形截短函数，可以认为是通过一个矩形“窗”看到的hd(n)。如果hd(n)乘以不同形式的截短函数，h(n)就是通过不同形式“窗”看到的hd(n)。这种用hd(n)乘以不同截短函数设计FIR滤波器的方法即为窗函数设计法。其它0100Nnnw其中在窗函数设计中 h(n)与hd(n)的关系可记为h(n)=hd(n)w(n)w(n)是窗函数在FIR数字滤波器窗函数设计中，就是要选择合适的窗函数w(n)，达到所需要

17、的设计要求。(7.2-3)具有的对称性，经过加窗函数后的h(n)仍应保持，所以窗函数要满足对窗函数w(n)也有要求。因为设计的是线性相位FIR滤波器，所以hd(n)原本所w(n)=w(N1n)因为h(n)=hd(n)w(n)H(e j)=Hd(e j)W(e j)由频域卷积定理不难得到经过加窗函数后的系统频响为(7.2-4)jjj1eeed2dHHW 从 (7.2-4)式可推知，H(e j)逼近Hd(e j)的程度取决于窗函数的频率特性。特别的，若W(e j()=(e j()，则H(e j)=Hd(e j)，即当窗函数频谱为冲激时，无频谱泄漏，此时H(e j)等于Hd(e j)。但是这意味着窗

18、函数w(n)是无限时宽序列，等于没有加窗。所以只要加了窗函数，总是会有频谱泄漏存在，只是H(ej)逼近Hd(e j)程度的好坏不同。实际可以做 的是设计频谱能量尽量集中在低频（主瓣）的窗函数。前人在这方面已经做了不少工作，有不同技术指标的窗函数可供选用，只要根据具体的技术指标要求，就可选择不同的窗函数设计。下面先讨论简单的矩形窗函数。7.2.2、矩形窗、矩形窗这里仍以低通为例详细讨论加矩形窗后的H(e j)与理想频响Hd(e j)的差别，基本结论稍作修改对其它窗也适用。其它010Nnnhnhd 其它0101NnnRnwN矩形窗函数为仍以低通为例讨论。显然w(n)=w(N1n)加矩形窗函数后系统

19、的单位脉冲响应为加了矩形窗后的H(ej)与理想的Hd(e j)相差多少？jRNjjjNjnNnjeWeNeeeeW21102/sin2/sin11 xxNNWRsin2/sin2/sin旁瓣峰值衰减13dB，第一旁瓣比峰值低13dB。当N主瓣高度宽度面积不变；主瓣宽度为=4/N。旁瓣高度宽度面积不变。当N其中1、矩形、矩形窗函数的频率特性W(e j)=(N-1)/2 WR()()WR()N1=2N2N2=N1/24/N14/N22/N12/N2 20lgWR()2/N12/N2-132、加矩形窗函数后FIR系统的频响H(e j)W(e j)=WR(e j)ej，理想滤波器的频响为Hd(e j)

20、=e j 2/N，H(0)近似等于WR()的全部面积。=0WR()=WR()cc=0若c 2/N 210HHc0卷积值正好是H(0)的一半，即=c，如图7.2-4c所示=cWR()cc 0895.10/2HNHc0整个主瓣在积分区间内，一个大的旁瓣在积分区间外，此时卷积值最大，响应出现峰值。cWR()=c 2/N，=c 2/N，c 0895.00/2HNHc 整个主瓣在积分区间外，一个大的旁瓣在积分区间内，此时卷积值最小，响应出现谷值。=c+2/NWR()cc010的主、旁瓣在通、阻带的面积变化而起伏。1，则上式可改写为幅度谱如图所示0.5WR()0.25WR(2/N)0.25WR(+2/N)

21、2/N4/N04/NW()4/N此时幅度函数为三项频谱之和，如图7.2-6所示。由三部分频谱的叠加，使旁瓣得到很大的抵消，使能量有效的集中在主瓣之内。不过主瓣的宽度增加了一倍。升余弦窗的技术指标为过渡带=8/N（主瓣宽度）旁瓣峰值衰减31dB阻带最小衰减44dB nRnNnwN12cos46.054.0 121223.054.0NWNWWWRRR NWNWWWRRR2223.054.03、Hamming（海明）窗改进升余弦窗若N1，则上式可改写为与升余弦窗相比在过渡带相同情况下，获得了更好的改进升余弦窗的技术指标为过渡带=8/N（主瓣宽度）旁瓣峰值衰减44dB阻带最小衰减54dB旁瓣抑制及阻带

22、衰减。nRnNnNnwN14cos08.012cos5.042.0 121225.042.0NWNWWWRRR141404.0NWNWRR五部分叠加4、Blackman（布莱克曼）窗二阶升余弦窗 NWNWWWRRR2225.042.0NWNWRR4404.0 若N 1 阻带最小衰减74dB过渡带=12/N（主瓣宽度）旁瓣峰值衰减57dB窗函数旁瓣峰值衰减 过渡带宽阻带最小衰减矩形窗-13=4/N 21三角窗 25升余弦窗-31=8/N 44改进升余弦窗 -41=8/N 53二阶升余弦窗 -57 74表7-1 常用的几种窗函数=8/N=12/N nRINnInwN0201/211其中I0(x)是

23、零阶贝塞尔函数5、Kaiser（凯塞或凯泽）窗0四个不同参数的凯泽（Kaiser）窗曲线如图7.2-8所示。零阶贝塞尔函数曲线如图所示，I0(x)开始随着x增长得很缓慢，随着x的进一步增长I0(x)将迅速增长上去。xI0(x)I0()0204000.20.40.60.81kaiser1 windownw(n)010203000.20.40.60.81kaiser2 windownw(n)0510152000.20.40.60.81kaiser3 windownw(n)051000.20.40.60.81kaiser4 windownw(n)12100IINw由图可见1）在中点n=(N-1)/2

24、时，从中点两边逐渐减小。2）n=0及n=N1时，w(0)=w(N1)=1/I0()3）越大，w(n)变化越快。越大频谱的旁瓣越小，但主瓣宽度相应加宽。凯泽窗曲线近似二阶升余弦窗；=0，凯泽窗就是矩形很难导出。凯泽给出了经验公式。由于贝塞尔函数的复杂性，这种窗函数的计算公式所以改变值，就可以改变主瓣宽度与旁瓣衰减的关系。例如=5.44，凯泽窗曲线近似改进升余弦窗；=8.5，窗。是凯泽（Kaiser）窗可以选择的参数。2spf5021)21(07886.0)21(5824.050)7.8(1102.04.0sssss136.1495.7fNs滤波器阶数当给定指标通带截止频率p、通带最大波纹p、阻带

25、最低频率s、最小阻带衰减s，可以计算归一化过渡带宽为ccjjdeeH0特性为：例例7.2-1设计一个线性相位低通数字滤波器，要求的频率其中c=/2，2=0.1，=/12 用矩形窗由阻带指标决定用什么窗由过渡带决定N取多少解 20lg0.1=20dB =4/N=/12，得到N=48 deenhjnjdcc21denjcc21ccnjnjeenj121cccnSannsinnnnnccsin对 偶对称线性相位低通的hd(n)如图7.2-9所示。0hd(n)c/+c/c/n为方便，实际取N=51，=(N 1)/2=25h(n)=hd(n)R51(n)，因为h(n)对 偶对称，只用计算一半，另一半对称

26、得到h(25)=h()=c/=1/2；sin26252625ch(26)=sin(/2)/=1/=h(24)；h(n)=hd(n)RN(n)H()=H(2)H()=H(2)N为奇数N为偶数21042/4sin29hh 1042/4sin49hh 0251252/50sin50hh223132/3sin28hh205152/5sin28hhsin27252725ch(27)=sin/2=0=h(23)；23 24 25 26 270.521 22 28 29 其振幅与单位脉冲响应如图7.2-11 所示。1/(5)1/(3)0h(n)n1/1/1/(3)1/(5)h(n)如图7.2-10所示 nnznhzH500 25150025zhzznhnNnn线性相位低通数字滤波器系统函数为矩形窗一般不是最佳设计，但简单快速。00.40.50.5830.7-20-15-10-50Magntide in dbfrequency in pi unitsdecibels01020304050-0.2-0.100.10.20.30.40.5单位脉冲响应n 215.235.235.235.232/sinh3225h,5226h25.23245.23242/sin24h例题中若取N=48，=(N-1)/2=23.5作业 1、3