6数字信号处理5课件.ppt

1、理想系统的频响特性Hd(ej)，设计一个可实现系统时域最小平方误差设计有的也称最小平方逆设计或反(逆)滤波。前面几节讨论的设计方法都是已知某个问题是从实际应用中引出的。按时域平方误差准则逼近希望的输出。确定系统函数H(z)。这时要求所设计的滤波器输出是差设计，是在Hd(ej)不确定的情况下，设计H(ej)、的H(ej)去逼近它。本节所讨论的时域最小平方误6.7 最小平方误差（逆）设计最小平方误差（逆）设计6.7.1、混响、混响在许多实际问题中，信号数字处理的目的是抑制干扰，突出有用信号，以提供进一步的分析利用。为了有效做到这点，“对症下药”很重要。前面讨论的选频滤波器，如低、高、带通、带阻等，

2、仅适用于有用信号与干扰信号在频谱上分离的情况。若干扰与信号频谱重合，例如干扰是由信号的“回声”引起的。这时“回声”的频谱除了振幅与相位与信号频谱有区别外，基本与原信号相同；无线信道的多径效应等现象也与此类似，而由选频滤波器是无法消除这种干扰的。例信号叠加了回声序列这时 先从时、频与两个方面考察单个回声的情况。01ndzzH（6.7-2）(6.7-1)由上式可见，回声干扰相当对原信号做了一次简单的FIR滤波。其传递函数为x(nn0)其中 0时，hd(m)=0，故只有rhd(0)=hd(0)应取非零值。令hd(0)=1（否则只要将序列乘以一个常数即可）。NrrrNhhhrNrNrNrrrNrrrh

3、dhdhdhhhhhhhhhhhhhhhhhh10100110110001 rhh h=rhdN 1的列矩阵；rhd 阵是一个N 1的列矩阵。这样(6.7-22)式在最小平方反滤波时为(6.7-23)或表示为式中rhh 阵是一个(N+1)(N+1)的对称方阵；h阵是一个上例可见，为了计算rhh(n)，就得知道hd(n)。这个托布里兹(Toeplitz)方程组的形式更特殊一些，求解计算也比(6.7-21)式更快。粗看，最小平方反滤波的问题解决了，其实不然。从合许多实际问题的情况)，给出计算rhh(n)的近似方法。这实际是一个苛刻的要求。不过在一些实际问题中，可以从对y(n)以及x(n)的某些特性

4、了解来寻求的hd(n)估计值。假设x(n)是不相关、统计独立的序列(这符 mEnxmnxxn0 mrxx即当信号x(n)的自相关函数满足式中Ex=rxx(0)是自相关函数，也是x(n)的能量，这时有表明不计常数因子，可以直接用ryy(m)代替rhh(m)。(6.7-24)这样，不必求hd(n)的具体数值，就可以实现最小平方反滤波。ryy(m)Ex rhh(m)准则逼近给定的d(n)。6.7.5、时域最小平准则方设计方法、时域最小平准则方设计方法在实际应用中，如图6.7-1 反滤波的框图所示，若给出的已知条件是输入序列y(n)与希望的输出序列d(n)，则要求所设计的滤波器输出v(n)按照时域平方

5、误差最小Y(z)=Hd(z)X(z)V(z)=H(z)Hd(z)X(z)Hd(z)H(z)X(z)x(n)y(n)v(n)按照设计要求，h(n)应满足下列关系 20minndnvEn(6.7-26)(6.7-25)且v(n)与d(n)的近似程度应使它们各样点值之差的平方最小，即Y(z)=Hd(z)X(z)V(z)=H(z)Hd(z)X(z)Hd(z)H(z)X(z)x(n)y(n)v(n)v(n)=h(n)y(n)d(n)特别的，若v(n)=d(n)，误差E=0。这时很容易由已知的y(n)、d(n)求出系统函数H(z)为H(z)=Z d(n)/Z y(n)(6.7-27)=D(z)/Y(z)系

6、统差分方程。例6.7-1 已知某逆滤波器的输入y(n)=3,1，希望的d(n)=1,0.25,0.1,0.01，求逆滤波器的系统函数H(z)、解Y(z)=3+z1，D(z)=1+0.25z1+0.1z2+0.01z 3 zYzDzH/1321301.01.025.01zzzz 1110.2510.120.01333d nd ny ny ny ny nH(z)是IIR DF的系统函数，对应的系统差分方程为从此例可见，一般情况逆滤波器系统的系统函数H(z)是IIR DF。由D(z)/Y(z)实现的逆滤波器应该没有误差。Y(z)=3+z1，D(z)=1+0.25z1+0.1z2+0.01z 3IIR

7、 DF的系统函数H(z)。不过，若输入序列y(n)有M+1个样值，输出序列d(n)有N+1个样值，则H(z)的系数一般是M+N+1个（通常取d(n)最高项系数1）。当M、N较大时，滤波器要求的存储量较大，且计算时间长，这是不希望的。所以要对滤波器的精度和实现的经济性进行折衷考虑：既要求所设计IIR DF的H(z)系数少于M+N+1个，又要使输出满足平方误差最小的精度。这就要按照上面提出的思路，利用FIR hd(n)的N+1个系数设计N+1个系数的第二步第二步根据hd(0)、hd(1)、hd(N)求出IIR DF的系统设计方法主要分为两个步骤：第一步第一步 先求出FIR DF的单位脉冲响应hd(

8、n)：hd(0)、hd(1)、hd(N)。函数H(z)，即确b0、b1、a1、a2、。20nhnyndEn 200knykhndNkn1)、第一步先求出FIR DF的单位脉冲响应h(n)将v(n)=y(n)h(n)代入式(6.7-26)换为y(n)。可见是相同的分析方法，可以得到相同的设上式与最小平方滤波分析时的误差公式相比只是将x(n)计结果。0ihE即由i=0,1,2,N可以得到N+1个线性方程，表示为矩阵形式为 NrrrNhhhrNrNrNrrrNrrrydydydyyyyyyyyyyyyyyyyyy10100110110或表示为ryy h=ryd(6.7-28)ryy h=ryd(6.

9、7-28)nNnznhzH0式中ryy阵是一个(N+1)(N+1)的对称、正定(所有系数大于等于零)方阵；h阵是一个N 1的列矩阵；ryd阵是一个N 1的列矩阵。解此矩阵方程，求出滤波器的h(n)(n=0,1,2,N)。h(n)是有限项的，其z变换(6.7-29)2)、第二步根据求出的h(n)再求出IIR DF的系统函数H(z)。为了得到IIR DF的系统函数 NkkkMkkkzazbzH101(6.7-30)要让(6.7-29)、(6.7-30)相等，从而找出由h(n)求ak(k=1,2,N1)、bk(k=1,2,M)的关系式。nNnznhzH0NkkkMkkkzazb101 MkkkNkk

10、knNnzbzaznh0101上式两边z-i项(0iM)的系数应相等，于是有令(6.7-31)或(6.7-32)NkkNkkkikihaihzaihihb11 (6.7-33)(0iM)由于bk(k=1,2,M)在k M后为零，即bi=0在(i M)，ihkihaNkk1代入式(6.7-32)可得到：NkkNkkkikihaihzaihihb11(6.7-34)式中M为分子系数的个数；NM为分母系数的个数。(M+1iN)由(6.7-34)式可以求出ak，然后代入(6.7-33)中求出bk。最终求出H(z)的M+1个bk系数，NM个ak系数。由此设计的系统函数系数总个数为N+1个，比E=0时系数

11、个数要少。一般M的值较小，N的值较大。如果希望设计的系数再少些，可以进一步压缩ak的个数（降低系统阶数）。KkkkMkkkzazbzH101 211NKki MkEh ia h ik0laE 0211lihkihaihaEKkkNMil令ak的个数为K个(K N M)，即(6.7-35)为使式(6.7-35)逼近(6.7-29)式，考虑到(6.7-34)式，以及使误差最小，令(l=0,1,2,N)，得到 lihihlihkihaNMiKkkNMi111由上式可列K个方程，解出K个ak系数。将K个ak系数代入(6.7-33)，再求出M+1个bk系数。不过ak系数不能即(6.7-36)随意减少，否

12、则有可能导致系统不稳定。例例6.7-2 2：已知hd(n)的长度为2，hd(0)=1，hd(1)=1/2，用此时的d(n)应为(n)，与y(n)相比误差较大。解：解：hd(n)相当于有一次回声的干扰滤波器，要求IIR 时域最小平方准则设计设计一个有两项系数的IIR DF。反滤波，当输入为(n)时，输出是DF的系统函数H(z)，必须知道h(0)、h(1)。若不经过y(n)=hd(n)=(n)+0.5(n1)nhmnhmrmrddnyyhh0计算托布里兹(Toeplitz)矩阵的各元素经过反滤波器的输出为v(0)、v(1),，v(n)应逼近(n)。又由于y(n)有两个样点值，d(n)亦有两个样点值

13、(一个非零样点值，一个零样点值)，即M=1,N=1。设计要求两个系数，所以只要求出b0，a1两个系数。先由 nhinhknhdnddn21010 4/54/111022ddhh 2/11001110ddddddnhhhhnhnh(i=k)111001010dhdhndnhrnhd 010011110dhdhndnhrnhdrhh(0)=hh(i，k)rhh(1)=hh(i，k)k i=1 01104/52/12/14/5hh相应的托布里兹矩阵为相应的托布里兹方程组为解出由(6.7-34)(5/4)h(0)+(1/2)h(1)=1(1/2)h(0)+(5/4)h(1)=0h(0)=20/21；h

14、(1)=8/21。a1=h(1)/h(0)=8/20=0.4a1h(11)=h(1)；a1h(0)=h(1)114.019524.04.0121/20zzzH利用v(n)=h(n)hd(n)，求出v(n)的前两个样点值。由(6.7-33)或者 20/21-8/2110/21-8/42用竖式20/21-8/2111/22/2120/21（只取两位）b0=h(0)=20/21v(n)=h(n)hd(n)-8/21110100.5112/2120/210v(0)=20/21，v(1)=2/21，两者比例为10，输出接近单位脉冲序列，h(n)、v(n)如图6.7-1所示。v(n)=(20/21)(n)

15、+(2/21)(n1)hd(n)v(n)h(n)nnn一个有四项系数的IIR DF的系统函数H(z)。在例6.7-1中设计的无误差IIR滤波器有5个系数，下面设计一个既满足要求，系数又只有四个的IIR系统。例例6.7-3：已知受到干扰的信号y(n)=3,1，希望的信号d(n)=1,0.25,0.1,0.01；按时域最小平方误差准则设计bk(k=0,1)、ak(k=1,2),(k=NM=2)。解解：由于y(n)有两个样点值，d(n)有四个样点值，即M=1，N=3。设计要求有四个系数，所以只要求出 321032100123101221013210ydydydydyyyyyyyyyyyyyyyyyy

16、yyyyyyyyyyyyyyrrrrhhhhrrrrrrrrrrrrrrrr 30ny nk y niik由(6.7-28)式列出矩阵其中=y2(0)+y2(1)+y2(2)+y2(3)=9+1=10ryy(0)=yy(i,k)i=k 30ny nk y ni 30ny nk y ni 30ny nk y niryy(1)=yy(i,k)ik=1=y(0)y(1)+y(1)y(2)+y(2)y(3)=3+0+0=3ryy(2)=yy(i,k)ik=2=y(0)y(2)+y(1)y(3)=0+0=0ryy(3)=yy(i,k)ik=3=y(0)y(3)=0ik=1 ik=2 ik=2 10Nnd

17、ny nir yd(i)=yd(i,0)=d(0)y(i)+d(1)y(1i)+d(2)y(2i)+d(3)y(3i)ryd(1)=yd(1,0)=d(0)y(1)+d(1)y(0)+d(2)y(1)+d(3)y(2)ryd(0)=yd(0,0)=d(0)y(0)+d(1)y(1)+d(2)y(2)+d(3)y(3)=3+0.25+0+0=3.25=0+0.75+0.1+0=0.85=0+0+0+0.03=0.03=d(0)y(3)+d(1)y(2)+d(2)y(1)+d(3)y(0)=0+0+0.3+0.01=0.31=d(0)y(2)+d(1)y(1)+d(2)y(0)+d(3)y(1)r

18、yd(2)=yd(2,0)ryd(3)=yd(3,0)03.031.085.025.3321010300310300310300310hhhh将计算结果代入(6.7-28)式的矩阵解此矩阵求出h(n)h(2)=0.0422；h(0)=0.3333，h(1)=0.0278；h(3)=0.0097 32120121hhaahhhh由(6.7-34)代入(6.7-33)，求出 解出a1 h(21)+a2 h(22)=h(2)a1 h(31)+a2 h(32)=h(3)a1=0.1555，a2=0.1137b0=h(0)=0.3333，b1=h(1)+a1 h(0)=0.0242，1137.01555

19、.00242.03333.01137.01555.010242.03333.022211zzzzzzzzH 2683.04238.00726.03333.0zzzz 最后两个极点都在单位圆内，是稳定系统。v(n)+1.555v(n 1)0.1137 v(n 2)=0.3333 y(n)+0.0242 y(n 1)(书中有错)。令v(1)=v(2)=0，将y(n)=3,1，代入，求出v(n)的前八个样点值，并与d(n)比较实际输出与设计要求的输出是极其接近的。v(n)：0.9999 0.2504 0.0989 0.0131 0.0092 0.0001 0.0010 -0.0002d(n)：1 0

20、.25 0.1 0.01 0 0 0 0 1.55510.113720.33330.02421v nv nv ny ny n 114662.114616.03333.0zzzH4662.13862.13333.0zz计中需要考虑。输出序列。此例说明，分母系数的减少是有限制的，设极点在单位圆外，是不稳定系统，不可能得到所要求的如果滤波器设计要求三项系数，则根据求出的h(n)，由求出a1，将a1代入(6.7-33)式求出b0，b1最后得到附：输出自相关函数推导 mnynyEmnnyy，rmnxknxrhkhEkr rmnxknxErhkhkr 假设 是平稳的，则 只与时间差 有关，因此 nx rmnxknxErkm mnnyy，mrkmrhkhyyxxkr 令 lrklhkhhhk myy lrlmrlrlmhhxxlhhxxl0 lmlmmrrhhxx00令 krl myy klhkhlmkxxl