(VIP专享)第七章-多元生命函数课件.ppt
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- VIP专享 VIP 专享 第七 多元 生命 函数 课件
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1、第七章多元生命函数本章结构n多元生命函数简介n 连生状况n最后生存状况n生命模型n人寿保险与生存年金n在特殊死亡律假定下求值本章中英文单词对照n多元生命函数n连生状态n最后生存状态n共同震动n继承年金nMultiple life functionnJoint-life statusnLast-survivor statusnCommon shocknReversionary annuities第一节多重生命函数简介多重生命函数的定义及作用n多元生命函数的定义:涉及多个生命剩余寿命的函数。n作用n养老金给付场合n合伙人联保场合n遗产税计算场合多元剩余寿命的联合分布n联合密度函数n联合分布函数()
2、()(,)T x T yfs t()()()()0 0(,)Pr(),()(,)T x T ys tT x T yFs tT xs T ytfu v dvdu多元剩余寿命的联合分布n边际生存函数()()()0 0()()()()0 0()()Pr()(,)1()()Pr()(,)1()sT xT x T ysxT xtT yT x T ytyT yFsT xsfu v dvdupFsFtT ytfu v dudvpFt 第二节多元生命状况连生状况n连生状况定义:n当所有成员都活着时的状况,称为连生状况。当有一个成员死亡时,连生状况就结束了。简记连生状况为:n连生状况剩余寿命等于:n连生状况剩余
3、寿命的性质:求连生状况的剩余寿命实质上就是m个生命的最小次序统计量1(,)mxx1min(),()mTT xT x两个体连生状况的生命函数n分布函数n生存函数()Pr()Prmin(),()1 Pr(),()1TtxytxyF tqTtT x T ytT xt T ytp ()Pr(),().TtxytxtyStT xt T ytpi d pp两个体连生状况的生命函数n密度函数n死亡效力函数()().()TTtxtyx ty tdftF t i d ppdt()().()Txyx ty tTftti dSt两个体连生状况的生命函数n两独立个体至少有一个在第K年死亡的概率n连生状况整值剩余寿命为
4、k的概率:1x k y kx k y kx ky kx ky kqpqqqq:Pr()kxyx k y kkxkyx ky kKkpqid ppqq两个体连生状态的生命函数n剩余寿命期望0010()()xytxyxykxykeE T xyp dteE T xyp最后生存状况n最后生存状况定义:n只要有一个成员活着时的状况,称为最后生存状况。只有当所有成员都死亡时,最后生命状况才算结束。简记为:n最后生存状况的剩余寿命等于:n最后生存状况的剩余寿命的性质:最后生存状况的剩余寿命实际上就是m个生命的剩余寿命的最大次序统计量1(,)mxx1max(),()mTT xT x多元生存状况剩余寿命的关系n
5、 n n n ()()()()T xyT xyT xT y()()()()T xyT xyT xT y()()()()K xyK xyK xK y()()()()K xyK xyK xK y两个体最后生存状况的生命函数n分布函数 等价公式()()Prmax(),()Pr()Pr()Pr()tT xyxytxtytxyFtqT x T ytT xtT ytT xytqqq()()()()()()()()T xyT xT yT xyFtFtFtFt两个体最后生存状况的生命函数n生存函数 等价公式()()Prmax(),()Pr()Pr()Pr()tT xyxytxtytxyStpT x T ytT
6、 xtT ytT xytppptxyttxtyxypppp两个体最后生存状况的生命函数n密度函数 等价公式()()()()()()()()()().()T xT yT xyT xyT xytxx ttyy ttxtyy ty tdftFtftftftdti d pppp()()()()()()()()T xyT xT yT xyftftftft两个体最后生存状况的生命函数n死亡效力函数()()()()()().T xyxyT xytxx ttyy ttxtyy ty ttxtytxtyfttStppppi dpppp两个体最后生存状况的生命函数n最后生存状况整值剩余寿命为k的概率n等价公式:P
7、r()Pr()Pr()Pr().()(1)(1)kxx kkyy kxyx k y kkxx kkyy kkxkyx kx kx kx kkykxx kkxkyy kkxkyx kx kK xykK xkK ykK xykpqpqpqi d pqpqppqqqqppqppqpp qqxyxykkkkxyqqqq两个体最后生存状态的生命函数n剩余寿命期望0000 xyxyxyxyxyxyeeeeeeee例1:n假定(60)和(65)服从Moivre 生存模型,n计算100)(,)(,65,6065,6065,6065,60tptptt例1答案350,351401)(350,35354040350
8、351)(3535400401)(404065,60656065,6065656060tttttttpppttttpttttpttttt例1答案4035,401350,14002)(4035,4040350,14001400265,6065,6065,60265,60656065,60tttttppdtdtttttpppptttttt例2n假定:n不抽烟的人的死亡力是同年龄抽烟的人的死亡力的一半。n不抽烟的人数满足如下方程n有一对夫妻丈夫(65)不抽烟,妻子(55)抽烟,求他们还能共同生活的期望时间。750,)75(1000 xxlx例2答案5417.320201010202010102020
9、)55()55(,1010)65()65(7575)(,7575)(7522,7511002010055,6555,65020556555,65255652dtttdtpettppptstsptstspxxsxxsxxtstnttssstnnntsnnsxnxx联合生命状况剩余寿命协方差分析2020()2()()2()(),()(),()()()()()oxytxyoxytxyooooooooxyxyxyxxyyxyVar T xytp dteVar T xytp dteCov T xy T xyE T xy T xyE T xy E T xye eeeeeee第三节联合生命模型简介n联合生命
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