一致收敛性剖析课件.ppt
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- 一致收敛性 剖析 课件
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1、数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件一一.函数列的一致收敛性函数列的一致收敛性函数列的一致收敛性:函数列的一致收敛性:|()()|,nfxf x()()(),.nfxf xnxD设函数列设函数列fn(x)与函数与函数f定义在同一数集定义在同一数集D上上,若对任若对任给的正数给的正数,总存在某一自然数总存在某一自然数N,使得当使得当nN时时,对一切对一切x D都有都有则称函数列则称函数列fn(x)在在D上上一致收敛于一致收敛于f,记作记作数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件定理定理1(函数列一致收敛的柯西准则函数列一致收敛的柯西准则)|()()|.nmfxfx0l
2、im sup|()()|.nnxDfxfx函数列函数列fn(x)在数集在数集D上一致收敛的充要条件是上一致收敛的充要条件是:任给任给正数正数 总存在正整数总存在正整数N,使得当使得当n,mN时时,对一切对一切x D,都有都有定理定理2 函数列函数列fn(x)在在D上一致收敛于上一致收敛于f的充要条件是的充要条件是或当或当n,N时时,对任意正整数对任意正整数p,对一切对一切x D,都有都有|()()|.n pnfxfx数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件一致收敛一致收敛.推论推论 设在数集设在数集D上上fn(x)f(x)(n),若存在数列若存在数列xn D,使使|fn(xn)-f
3、(xn)|0,则函数列则函数列fn(x)在数集在数集D上非上非应用此方法判断函数列应用此方法判断函数列fn(x)在数集在数集D上非一致收上非一致收敛于敛于f(x)时时,常作辅助函数常作辅助函数Fn(x)=fn(x)-f(x),取取xn为为Fn(x)在在数集数集D上的最值点上的最值点.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性:设设Sn(x)是函数项级数是函数项级数 un(x)的部分和函数列的部分和函数列,若若Sn在数集在数集D上一致收敛于上一致收敛于S(x),则称函数项级数则称函数项级数 un(x)在在D上上一致收敛一致收敛于于S(x),或
4、称或称 un(x)在在D上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件定理定理3 (一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则)|()()|,n pnSxS x或或1|()()|.nn puxux函数项级数函数项级数 un(x)在数集在数集D上一致收敛的充要条件为上一致收敛的充要条件为对任给的正数对任给的正数,总存在某自然数总存在某自然数N,使得当使得当nN时时,对一切对一切x D和一切自然数和一切自然数p,都有都有数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件)()()(xSxSxRnn 的充要条件是的充要条件是0limsup|()|limsup|()()|.nn
5、nnx Dx DRxS xSx推论推论 函数项级数函数项级数 un(x)在数集在数集D上一致收敛的必要上一致收敛的必要条件是函数列条件是函数列un(x)在一致收敛于零在一致收敛于零.设函数项级数设函数项级数 un(x)在数集在数集D上的和函数为上的和函数为S(x),称称为函数项级数为函数项级数 un(x)的的余项余项.定理定理4 函数项级数函数项级数 un(x)在数集在数集D上一致收敛于上一致收敛于S(x)数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件三、函数项级数的一致收敛性判别法三、函数项级数的一致收敛性判别法,2,1,|)(|nMxunn7()定理定理5(维尔斯特拉斯判别法维尔斯特
6、拉斯判别法)设函数项级数设函数项级数 un(x)定义定义在数集在数集D上上,Mn为收敛的正项级数为收敛的正项级数,若对一切若对一切x D,有有则函数项级数则函数项级数 un(x)在在D上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件定理定理6(阿贝耳判别法阿贝耳判别法)设设(1)un(x)在区间在区间I上一致收敛上一致收敛;(2)对于任意对于任意x I,vn(x)是单调的是单调的;(3)vn(x)在区间在区间I上一致有界上一致有界,即对任意即对任意x I,和自然数和自然数n,存在正数存在正数M,使得使得|vn(x)|M,则级数则级数 un(x)vn(x)在在I上上一致
7、收敛一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件定理定理7(狄里克雷判别法狄里克雷判别法)设设),2,1()()(1 nxuxUnkkn(1)un(x)的部分和函数列的部分和函数列在在I上一致有界上一致有界;(2)对任意对任意x I,vn(x)是单调的是单调的;(3)在在I上上vn(x)一致收敛于一致收敛于0.则级数则级数 un(x)vn(x)在在I上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件对于含参量反常积分对于含参量反常积分(,),Mf x y dy 2.含参量反常积分的一致收敛性含参量反常积分的一致收敛性和函数和函数I(x),若对若对(,)
8、cf x y dy 任意任意 0,存在存在N 0,对任意对任意M N,对一切对一切 x a,b,都有都有则称含参量反常积分则称含参量反常积分(,)cf x y dy 在在 a,b上一致收敛于上一致收敛于I(x),或称或称(1)在在a,b上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件含参量反常积分一致收敛的判别法含参量反常积分一致收敛的判别法一致收敛的柯西准则一致收敛的柯西准则21(,)AAf x y dy 含参量反常积分含参量反常积分(1)在在 a,b上一致收敛的充要条件上一致收敛的充要条件是对是对任意任意 0,存在存在M c,对任意对任意A1,A2M,对一切对一切
9、x a,b,都有都有数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件111(,)()nnAnAnnf x y dyux 与级数一致收敛的关系与级数一致收敛的关系在在a,b上一致收敛的充要上一致收敛的充要含参量反常积分含参量反常积分(,)cf x y dy 条件是:对任一趋于条件是:对任一趋于+的递增数列的递增数列An(其中其中A1=c),函数函数项级数项级数在在a,b上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件定理定理 设有函数设有函数 g(y),使得使得(,)(),.f x yg y axb cy 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯M判别法判别法:()cg y dy
10、若若收敛收敛,则则(,)cf x y dy 在在a,b上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件狄利克雷判别法狄利克雷判别法Ncf x y dy(,)若若 (1)对任意对任意 N c,含参量正常积分含参量正常积分数数 x 在在a,b上一致有界上一致有界,即存在即存在 M 0,对一切对一切 N c 及及对参对参|(,)|.Ncf x y dyM一切一切 x a,b有有(,)(,)cf x y g x y dy(2)对任意对任意 x a,b,函数函数 g(x,y)关于关于 y 单调递减且当单调递减且当y 时时,对参量对参量x,g(x,y)一致地收敛于一致地收敛于0,
11、则含参量则含参量在在a,b上一致收敛上一致收敛.反常积分反常积分数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件阿贝耳判别法阿贝耳判别法:(2)对任意对任意 x a,b,函数函数 g(x,y)为为 y 单调函数单调函数,且且对对参量参量x,g(x,y)在在a,b上上一致有界一致有界,则含参量反常积分则含参量反常积分cf x y dy(,)若若 (1)在在a,b上一致收敛;上一致收敛;(,)(,)cf x y g x y dy在在a,b上一致收敛上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件例例1 设设f(x)在全体实数集上连续在全体实数集上连续,101()(),nnkkf
12、xf xnn证明证明:函数列函数列fn(x)在任何有限区间上一致收敛在任何有限区间上一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件由由f(x)的连续性的连续性,101(),nkkf xnn把区间把区间0,1 n等分等分,作函数作函数 f(x+t)的积分和的积分和证明证明:对任何有限区间对任何有限区间a,b,f(x)在在a,b+1连续连续,从而一致从而一致连续连续,对任意对任意 0,存在存在 0,对任意对任意x ,x a,b+1,当当|x -x|时时|()()|,f xf x 11001lim()lim()().nnnnkkfxf xf xt dtnn数学分析选讲数学分析选讲多媒
13、体教学课件多媒体教学课件1110001|()()|()()|nnkkfxf xt dtf xf xt dtnn111100|()()|kknnnnkkkknnkf xdtf xt dtn110|()()|knnkknkf xf xt dtn110|()()|knnkknkf xf xtdtn数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件由于由于1,k ktnn所以所以1|()|,kkxxttnnn故取故取n 充分大充分大,使使1/n ,则则|()()|.kf xf xtn 因此因此数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件10|()()|nfxf xt dt110|()()|k
14、nnkknkf xf xtdtn110.knnkkndt故故fn(x)在在a,b一致收敛于一致收敛于10().f xt dt数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件例例2 设设2 3(ln)()(,)nxxnfxnn 试问当试问当 为何值时为何值时,fn(x)在在0,+)一致收敛一致收敛.数学分析选讲数学分析选讲多媒体教学课件多媒体教学课件解解:由于由于11(ln)()(),lnnxxnfxxnn 当当x1/lnn时时,f(x)单调递减单调递减,因因此此,fn(x)在在x=1/lnn时取最大值时取最大值,又又0lim()().nnfxf x所以所以1001,),)(ln)sup|(
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