二维随机变量的数字特征课件.ppt

1、 (),1,2,3kkXP Xxpk定定义义 设设 为为离离散散型型随随机机变变量量，其其概概率率分分布布律律为为11kkkkkkx px pX若若级级数数绝绝对对收收敛敛，则则称称级级数数的的和和为为随随机机变变量量 的的(或或数数学学期期望望均均值值)，记记作作1()kkkE XEXx p ,)(,),1,2,3ijijX YP Xx Yypij定定义义 设设(为为离离散散型型随随机机变变量量，其其概概率率分分布布律律为为11()()iijijE XEXxp11()()iijiiE YEYypXp1234.02.04.0解解XY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.例

2、例1 设设(X,Y)的分布律为的分布律为(),().E XE Y求求.24.032.024.01)(XE得得.03.014.003.01)(YE得得Yp1 013.04.03.0的分布律为的分布律为Y(),()Xf xxf x dxX 定定义义 设设连连续续型型随随机机变变量量 的的密密度度函函数数为为如如果果积积分分绝绝对对收收敛敛，则则称称该该积积分分值值为为随随机机变变量量 的的数数学学期期望望(均均值值)，即即()EXxf x dx ()x f x dxX 若若积积分分发发散散，则则称称 的的数数学学期期望望不不存存在在.()()XE Xxfx dx 设设(X,Y)为二维连续型随机变量

3、，则为二维连续型随机变量，则(,)xf x y dxdy ()()YE Yyfy dy (,)yf x y dxdy 例例2 设设(X,Y)服从服从G上的均匀分布，其中上的均匀分布，其中G为为xoy平平面内由面内由x轴、轴、y轴及轴及 围城的三角区域围城的三角区域.12yx 求求 E(X)，E(Y).解解1,(,)(,)0,(,)x yGf x yx yG 2(1)yxxy012G()(,)GE Xxf x y dxdy 13 12(1)00 xdxxdy ()(,)GE Yyf x y dxdy 12(1)00 xdxydy 23 1(),()()()(),kkkg xpXE YE g Xg

4、 x f x dxX 离离散散型型连连续续型型 该公式的重要性在于，当我们求该公式的重要性在于，当我们求Eg(X)时时,不不必知道必知道g(X)的分布，只需知道的分布，只需知道X的分布就可以了的分布就可以了.这这给求随机变量函数的期望带来很大方便给求随机变量函数的期望带来很大方便.dxdyyxfyxgYXgEZE),(),(),()(定理定理2 设设g(X,Y)是随机变量是随机变量X、Y的函数，且的函数，且Eg(X,Y)存在存在 (2)如果如果X、Y是连续型随机变量，联合概率密度是连续型随机变量，联合概率密度为为 f(x,y)，则，则 (1)如果如果X、Y是离散型随机变量，联合概率分是离散型随

5、机变量，联合概率分布为布为 pij,i,j=1,2,，则，则 11()(,)(,)ijijjiE ZE g X Yg x yp 解解XY1231 0120.10.10.10.10.10.0030.2(),().E Y XEXY 例例3 设设(X,Y)的分布律为的分布律为求求1 0121 21031p),(YXXY)1,1(2.0)0,1(1.0)1,1(1.0)1,2(1.0)1,2(1.0)0,3(3.0)1,3(1.0p),(YX)1,1(2.0)0,1(1.0)1,1(1.0)1,2(1.0)1,2(1.0)0,3(3.0)1,3(1.02)(YX 41091944.091.002.01

6、3.04)(2 YXE得得.5 1.0313.001.0211.0211.011.002.01 XYE于于是是.151 .,0,10 ,2)(.,0,10 ,3)(,00:1300:12 2时间的数学期望时间的数学期望求先到达者需要等待的求先到达者需要等待的其他其他其他其他的概率密度分别为的概率密度分别为已知已知立立相互独相互独和和且设且设间间分别是甲、乙到达的时分别是甲、乙到达的时设设会面会面在在甲、乙两人相约于某地甲、乙两人相约于某地 yyyfxxxfYXYXYXYX例例11解解的联合概率密度为的联合概率密度为和和 YX .,0,10,10 ,6),(2其他其他yxyxyxf112006d

7、 dxyx y x y 21dd6)(dd6)(22DDyxyxyxyxyxyx61121 ).(41小时小时()E XY 1200d()6dxxxyx y y1120d()6dxxxyx y y方差的定义方差的定义2()()DXVar XE XEX21()kkkDXxEXp 2()()DXxEXf x dx.)()()(22XEXEXD 二维随机变量方差的计算方法与一维类似，但二维随机变量方差的计算方法与一维类似，但需要先根据联合分布计算边缘分布，再根据具体公需要先根据联合分布计算边缘分布，再根据具体公式求解方差。式求解方差。(1)01()0 cxxxXf x其他c(21)DX(1)01()

8、0 cxxxXf x其他4 01,01(,)(,)0 (23)xyxyX Yf x yDXY随机变量其他求：).()()(YDXDYXD )()()(2YXEYXEYXD 2)()(YEYXEXE 22()()2()()E XE XEYE YE XE XYE Y 2()()2()EXE XYE YE XYXEYYEXEXEY 2()2()E XYEXEYEYEXEXEYE XYEXEY 1.定义定义 任意两个随机变量任意两个随机变量X和和Y的协方差的协方差,记为记为Cov(X,Y),定义为定义为 2.性质性质(1)Cov(X,C)=0,C为常数为常数(2)Cov(X,X)=D(X)(3)Cov

9、(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)(6)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(5)Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y)a,b 是常数是常数(7)D(XY)=D(X)+D(Y)2Cov(X,Y)(4)Cov(aX+b,Y)=a Cov(X,Y)a,b 是常数是常数Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)可见可见，若若X 与与 Y 独立，独立，则则Cov(X,Y)=0.3.计算协方差的一个简单公式计算协方差的一个简单公式由协方差的定义及期望的性质，可得由协方差的定义及期望

10、的性质，可得Cov(X,Y)=E X-E(X)Y-E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即即例例1 已知离散型随机变量已知离散型随机变量(X,Y)的概率分布如下：的概率分布如下：(,).Cov X Y求求XY20120.10.0.1510.10.0.05030.1 020解解 易求得易求得X，Y的概率分布分别为的概率分布分别为(0)0.3,(1)0.45,(2)0.25P XP XP X(1)0.55,(0)0.25,(2)0.2P YP YP Y ()0.95,()0.15E XE Y 从而从而例例1 已知离散型随机变量已知离

11、散型随机变量(X,Y)的概率分布如下：的概率分布如下：(,).Cov X Y求求XY20120.10.0.1510.10.0.05030.1 020()E XY 于是于是0(1)0.10 0 0.20 2 02 2 0.10 0.95 0.150.1425(,)Cov X Y ()()()E XYE X E Y 解解 1(),01,02,(,)30,xyxyf x y 其其他他例例2 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为求求Cov(X,Y).解解 yxyxfxXEdd),()(21001d()d3yx xyx2011+d332yy 59 1(),01,02

12、,(,)30,xyxyf x y 其其他他例例2 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为求求Cov(X,Y).解解 2100111()d()d39E Yyy xyx210012()d()d33E XYyxy xyx(,)Cov X Y ()()()E XYE X E Y 181 221,1(,)0,xyf x y 其其他他例例3 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为求求Cov(X,Y)，并判断，并判断X与与Y是否相互独立是否相互独立.解解 ()(,)Xfxf x y dy 22111,10,xxdyx 其其他他22 1,

13、10,xx 其其他他同理，同理，22 1,1()0,Yyyfy 其其他他X与与Y不相不相互独立互独立()()XE Xxfx dx 1212 10 xxdx ()()YE Yyfy dy 1212 10yydy ()(,)d dE XYxyf x yx y 221111d1d0 xxxxyy (,)Cov X Y ()()()E XYE X E Y 0 由此可知，由此可知，X与与Y相互独立相互独立Cov(X,Y)=0反之不一定成立反之不一定成立 协方差的大小在一定程度上反映了协方差的大小在一定程度上反映了X和和Y相互间相互间的关系，但它还受的关系，但它还受X与与Y本身度量单位的影响本身度量单位的

14、影响.例如：例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入了就引入了相关系数相关系数.为随机变量为随机变量 X 和和 Y 的相关系数的相关系数.定义定义 设设 D(X)0，D(Y)0，称，称)()(),(YDXDYXCovXY 在不致引起混淆时在不致引起混淆时，记记 为为 .XY 相关系数的性质：相关系数的性质：11|.证证:由方差的性质和协方差的定义知由方差的性质和协方差的定义知,对任意实数对任意实数 b,有有0D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y)(),(XDYXCovb 令令，

15、则上式为，则上式为 D(Y-bX)=)(),()(2XDYXCovYD)()(),(1)(2YDXDYXCovYD1)(2 YD由于方差由于方差D(Y)是正的是正的,故必有故必有1-0,所以所以|1 22.1XY 存在常数存在常数 a,b(b0)，使使 PY=a+b X=1，即即 X 和和 Y 以概率以概率 1 线性相关线性相关.注：注：相关系数相关系数XY 刻画了刻画了X与与Y的的“线性相关线性相关”程度程度.XY 的值越接近的值越接近1，Y与与X的线性相关程度越高；的线性相关程度越高；XY 的值越接近的值越接近0，Y与与X的线性相关程度越弱的线性相关程度越弱.1XY 时，时，Y可完全由可完

16、全由X的线性函数给出；的线性函数给出；0XY 时，时，Y与与X之间不是线性关系之间不是线性关系.由于当由于当X和和Y独立时，独立时，Cov(X,Y)=0.故故(,)0()()Cov X YD XD Y 请看下例请看下例.3.X和和Y独立时，独立时，=0，即，即X与与Y不相关不相关.注：注：0XY 时，只说明时，只说明Y与与X之间没有之间没有线性关系，线性关系，并不能说明并不能说明Y与与X之间没有之间没有其他函数关系，其他函数关系，从而不能推出从而不能推出Y与与X相互独立相互独立.从而从而0,即即X与与Y不相关不相关.即即X与与Y不独立不独立.解解1()sin d02E X 1()cos d02

17、E Y 1()sincos d02E XY 但但X与与Y满足满足221XY例例4 设设 服从服从 上的均匀分布，上的均匀分布，判断，判断X与与Y是否相关，是否独立？是否相关，是否独立？,sinX cosY 定理定理 若随机变量若随机变量X与与Y的方差都存在，且均不的方差都存在，且均不为零；则下列四个命题等价为零；则下列四个命题等价.0XY （1）；（2）Cov(X,Y)=0；（3）E(XY)=EXEY；（4）D(X Y)=DX+DY.但可以证明对下述情形，独立与不相关等价但可以证明对下述情形，独立与不相关等价前面，我们已经看到：前面，我们已经看到：若若 X 与与 Y 独立，则独立，则X与与Y不

18、相关不相关.但由但由X与与Y不相关，不一定能推出不相关，不一定能推出X与与Y独立独立.若若(X,Y)服从二维正态分布，则服从二维正态分布，则X与与Y独立独立X与与Y不相关不相关解解yxyxfxXEdd),()(xyxyxxdd)21(7610202 xxxd767121023 ,75 261(),01,02,(,)720,xxyxyf x y 其其他他例例5 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为求求(X,Y)的协方差及相关系数的协方差及相关系数.yxxyxxXEdd)21(76)(1020222 ,7039,49023757039)(2 XD故故xyxyx

19、yYEdd)21(76)(10202 因为因为,78 xyxyxyYEdd)21(76)(1020222 ,2134,14746782134)(2 YD故故xyxyxxyXYEdd)21(76)(10202 ,2117)()()(),(Cov YEXEXYEYX 故故,147178752117 的相关系数的相关系数与与YX)()(),(CovYDXDYXXY .6915 例例6 设设22(,),(,)XNYN ，12ZXYZXY，且相互独立，且相互独立，试求试求的相关系数的相关系数(其中其中 是不全为是不全为0的常数的常数).，1()()D ZDXY 22()()D XD Y222()12(,

20、)(,)Cov ZZCovXYXY 22(,)(,)Cov X XCov Y Y 1222122212(,)()()Z ZCov ZZD ZD Z 22()()D XD Y 222()2()()D ZDXY 22()()D XD Y 222()1sin()0,0(,)2220 xyxyf x y 其其它它1.已知二维连续型随机变量已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为求求 E(X).22001 ()sin()24E Xxxy dxdy 解解8,01(,)0,xyxyf x y 其其他他练习练习 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为求求Cov(X,Y).解解 (,)Cov X Y ()()()E XYE X E Y 4225 1108()d8d15xE Xxxxy y1104()d8d5xE Yxyxy y1104()d8d9xE XYxxyxy y