傅里叶光学第1章-傅里叶分析课件.ppt

1、本章主要内容本章主要内容1、常用函数2、卷积和相关3、空间频率及空间频谱4、傅里叶级数5、傅里叶变换本章教学目标本章教学目标1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论，包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方法和线性系统理论。2、本章主要介绍傅里叶变换方法，使学生掌握一些常用函数的傅里叶变换；3、理解常见光学运算，特别是卷积和相关运算的基本概念，并将两者与傅里叶变换联系起来。1 1、一些常用函数、一些常用函数1）阶跃函数(Step function)定义 1010200 xstep xxx应用如同一个“开关”，可在某点“开启”或“关闭”另一个函数，常用来表示直边（或刀口）的透过率。

2、1 1、一些常用函数、一些常用函数2）符号函数(Sign function)定义应用Sgn(x-x0)表示间断点移到x0的符号函数，当它与某函数相乘，可使函数xx0部分的函数极性改变。10sgn0010 xxxx 相位板相位板x0y0o1 1、一些常用函数、一些常用函数3）矩形函数(Rectangle function)定义应用常用矩形函数表示狭缝、矩孔的透过率；它与某函数相乘时，可限制该函数自变量的范围，起到截取的作用，故又常称为“门函数”。120axxrectaothers1 1、一些常用函数、一些常用函数4）三角形函数(Triangle function)定义应用常用来表示光瞳为矩形的非

3、相干成像系统的光学传递函数。10 xxxatriaaothers1 1、一些常用函数、一些常用函数5）sinc函数(Sinc function)定义应用常用来描述狭缝或矩形孔的夫琅和费衍射图样。sinsinxxacxaa1,2,3,xna n 零点位置：零点位置：思考题：能否写出sinc2函数的表达式并画出图形？其与sinc函数有何区别？1 1、一些常用函数、一些常用函数2expxxGausaa6）高斯函数(Gauss function)定义应用常用来描述激光器发出的高斯光束强度分布。xGausaSa图形分布特点图形分布特点函数在原点具有最大值1，曲线下的面积为a。1 1、一些常用函数、一些常

4、用函数7）圆域函数(Circle function)定义应用常用来表示圆孔的透过率。22220010 xyxyrCircrothers 1 1、一些常用函数、一些常用函数8）脉冲函数(function)定义应用常用函数代表点质量、点电荷、点脉冲或者其他在某一坐标系中高度集中的物理量。,00,0,1x yxyx y dxdy 1 1、一些常用函数、一些常用函数对于实际物理问题而言，函数只是一种理想化处理，主要目的是使许多物理过程的研究更加方便。脉冲函数的另一种定义是可以把函数看作是宽度逐渐减小、高度逐步增大但体积保持为1的一个脉冲序列的极限：2222,limexpNx yNNxy2,limNx

5、yN rect Nx rect Ny2,limsinsinNx yNc Nxc Ny1 1、一些常用函数、一些常用函数 函数的运算要通过积分作用于另一个函数才能得到定值，它是一种“广义函数”。把函数当作广义函数给出比较严格的定义：,x y,0,0 x yx y dxdy 是检验函数；要求检验函数是连续的、在一个有限区间外为零，并具有所有阶的连续导数。1 1、一些常用函数、一些常用函数 函数的常用性质 0000,xxyyx y dxdyxy)()(00 xxbbxx)(|1)(00 xxxx)()(xx000000(,)(,)(,)(,)f x yxxyyf xyxxyya)a)筛选性质筛选性质

6、b)b)对称性对称性c)c)比例变化性质比例变化性质d)d)与其他函数的乘积与其他函数的乘积1 1、一些常用函数、一些常用函数9）梳状函数(Comb function)一维情况一维情况nnxxComb)()(11()()nxxComb xnncomb沿x轴间隔为1的无穷个脉冲函数的和沿x轴间隔为的无穷个脉冲函数的和应用应用可以利用梳状函数对其他普通函数作等间距抽样。1 1、一些常用函数、一些常用函数二维情况二维情况1(,)nmxyxna ymbcombcombabab (,)nmxn ymcomb x comb y 应用应用常用二维梳状函数表示点光源阵列或小孔阵列的透过率函数。1 1、一些常用

7、函数、一些常用函数*10）宽边帽函数(Somb function)应用可用来表示圆形光瞳的相干脉冲响应（对应somb)；圆孔光瞳的非相干脉冲响应以及圆孔的夫琅和费衍射图样（对应somb2)。drdrJdrsomb)(2)(1定义1 1、一些常用函数、一些常用函数圆形光瞳的相干脉冲响应圆孔光瞳的非相干脉冲响应以及圆孔的夫琅和费衍射图样1 1、一些常用函数、一些常用函数 需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。)()(),(0000dyyrectbxxrectdyybxxrect二维矩形函

8、数二维矩形函数1 1、一些常用函数、一些常用函数二维三角形函数二维三角形函数)()(),(0000dyytribxxtridyybxxtri1 1、一些常用函数、一些常用函数二维二维sincsinc函数函数)(sin)(sin),(sin0000dyycbxxcdyybxxc1 1、一些常用函数、一些常用函数二维高斯函数二维高斯函数0000(,)()()xxyyxxyyGaussGaussGausbdbd2 2、卷积和相关、卷积和相关(,)(,)*(,),g x yf x yh x yfh xyd d 1）卷 积 卷积的定义利用图解有助于理解卷积运算的真实含义：以一维函数卷积为例()()*()

9、()()g xf xh xfh xd卷积图解计算的四个步骤：第二步：位移第一步：折叠第三步：相乘 第四步 积分 图解计算过程图解计算过程另一例子另一例子 100 xf xothers 00 xexh xothers折叠折叠位移位移相乘、积分相乘、积分2 2、卷积和相关、卷积和相关 卷积运算的两个效应（1）展宽（2）平滑化2 2、卷积和相关、卷积和相关 卷积的性质(,)*(,)(,)*(,)f x yh x yh x yf x y交换律交换律(,)(,)*(,)(,)*(,)(,)*(,)af x ybg x yh x ya f x yh x yb g x yh x y分配律分配律结合律结合律(

10、,)*(,)*(,)(,)*(,)*(,)f x yg x yh x yf x yg x yh x y平移不变性平移不变性00()*()()*()f xh xxf xxh x2 2、卷积和相关、卷积和相关定标性质定标性质若)()(*)(xgxhxf)()(*)(bxgbbxhbxf则注意：)()(*)(bxgbxhbxf(,)*(,)(,)f x yx yf x y 函数的卷积函数的卷积性质性质0000(,)*(,)(,)f x yxxyyf xxyy（1）任意函数与函数的卷积是其本身（2）任意函数与发生某一平移的函数的卷积，则是该函数平移到脉冲函数平 移到的空间位置。2 2、卷积和相关、卷积

11、和相关2）相 关 相关运算包括互相关互相关和自相关自相关运算两种 互相关,fgrx yf x yg x yfgxy d d f(x)g(x)f(x)*g*(-x)互相关与卷积的关系互相关与卷积的关系与卷积运算比较差别在于：相关运算函数g取复共轭，但不需要折叠，而位移、相乘和积分三个步骤是同样的。思考题：互相关运算是否满足交换律、结合律？思考题：互相关运算是否满足交换律、结合律？2 2、卷积和相关、卷积和相关互相关运算的含义互相关是两个信号之间存在多少相似性的量度，两个完全不同的、毫无关系的信号，对所有位置，它们互相关的值应为零。假如两个信号因为某种物理上的联系在一些部位存在相似性，在相应位置上

12、就存在非零的互相关值。2 2、卷积和相关、卷积和相关,ffrx yf x yf x yffxy d d ,ffffrx yrxy 自相关自相关的性质：（1）自相关函数是厄米的，即（2）自相关函数在原点的模最大（用施瓦兹不等式关系），即,0,0ffffrx yr2 2、卷积和相关、卷积和相关 自相关运算的含义自相关函数是自变量相差某一值时，函数值间相关的量度；当函数相对本身有平移时，就改变了位移为零时具有的逐点相似性，自相关的模越小。但是只要信号本身在不同部位存在相似性，相应部位还会产生不为零的自相关值。3 3、傅里叶级数、傅里叶级数1）19世纪初，傅里叶在向巴黎科学院提交的关于热传导的著名论文

13、中首次提出了傅里叶级数的概念；经过不断发展，在今天，傅里叶分析的方法已经被广泛应用于物理及工程学科的各个领域。2）傅里叶级数的思想就是用一正交函数系中各函数的线性组合来表示某一函数。常用的正交函数系包括三角函数系和复指数函数系。因此，对于某一周期性函数g(x)，周期是f=1/，如果满足狄里赫利条件，即在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点。则该函数可表示为三角傅里叶级数和指数傅里叶级数的形式。三角傅里叶级数三角傅里叶级数 01cos 2sin 22nnnag xanfxbnfx其中，002ag x dx 02cos 2nag xnfx dx 02sin 2nbg xnfx dx1,2,n

14、 3 3、傅里叶级数、傅里叶级数指数傅里叶级数指数傅里叶级数 exp2nng xcjnfx 01exp20,1,2,ncg xjnfx dxn 其中，两种表达形式之间的联系两种表达形式之间的联系002ac 12nnncajb12nnncajb1,2,3,n ncnfnc0,2,3,fff傅里叶系数是频率的函数，称为频谱函数。一般是复函数，等频率分量，频率取值是离散的，所以只有离散谱。它包括振幅频谱和相位频谱。由于周期性函数只包含*所谓的研究频谱就是研究所谓的研究频谱就是研究c cn n与与nf nf 之间的关系之间的关系。如果njnncA e其中，An称为振幅频谱，n称为相位频谱。3 3、傅里

15、叶级数、傅里叶级数,40,42Axg xx举例：如下图所示的周期为=1/f0的矩形波函数，在一个周期内，函数解析式为（1）展开为三角傅里叶级数形式为 00002111cos2cos23cos25cos272357AAg xf xfxfxfx3 3、傅里叶级数、傅里叶级数矩形波的傅里叶综合矩形波的傅里叶综合3 3、傅里叶级数、傅里叶级数（2）展开为指数傅里叶级数形式 0000002323252522235jfxjfxjfxjfxjf xjf xAAAAg xeeeeee对应的频谱为4 4、傅里叶变换、傅里叶变换 2jfxg xG f edf 2jfxG fg x edx1）对非周期函数同样可以作

16、傅里叶分析，只是此时其频率取值不再 是离散的，而是连续的。2）傅里叶变换定义及存在条件根据傅里叶级数的思想，可把函数看作复指数函数在整个连续的频率区间上的积分和，即其中，称为g(x)的傅里叶变换或频谱。G(f)是g(x)在频率域的表示形式，其作用类似于傅里叶系数cn，即作为各种频率成分的权重因子，描述各复指数分量的相对幅值和相移。如果G(f)是复函数，则有 jfG fA f e则称A(f)为g(x)的振幅频谱，(f)为g(x)的相位频谱。4 4、傅里叶变换、傅里叶变换,exp2,xyxyxyxyg x yG ffjf xf ydf dfG ff-1F将该定义推广到二维形式，有,exp2,xyx

17、yG ffg x yjf xf ydxdyg x y F思考题：在什么情况下傅里叶积分才有意义？（1）g在整个积分区域内绝对可积；（2）在任一区域内，g必须只有有限个间断点和有限个极大和极小值；（3）g必须没有无穷大间断点4 4、傅里叶变换、傅里叶变换,limxyg x yrectrect2sinsinxyxyrectrectcfcfF3）广义傅里叶变换 某些函数并不满足傅里叶积分的条件，若希望用傅里叶分析讨论它们，必须将傅里叶变换定义进行推广，即进行广义傅里叶变换。所谓的广义傅里叶变换就是将函数看作某个可变换函数所组成的序列的极限，对序列中每一函数进行变换，组成一个新的变换式序列，这个新序列

18、的极限就是原来函数的广义傅里叶变换。举例：举例：求函数g(x,y)=1的傅里叶变换显然该函数不满足傅里叶变换的条件，但它可以定义为矩形函数序列的极限，即不难求出该矩形函数的傅里叶变换为2,limsinsin,xyxyg x ycfcfffF根据广义傅里叶变换的定义4 4、傅里叶变换、傅里叶变换4）虚、实、奇、偶函数傅里叶变换的性质,g x y,xyGff,g x y,xyGff空域频域空域频域实函数厄米型函数虚值偶函数虚值偶函数虚函数反厄米型函数*虚值奇函数实值奇函数实值偶函数实值偶函数偶函数偶函数实值奇函数虚值奇函数奇函数奇函数*:若实部为奇函数，虚部为偶函数，则函数是反厄米型函数。4 4、

19、傅里叶变换、傅里叶变换5）傅里叶变换定理若假设：若假设：,xyxyg x yG ffh x yHffFF线性定理线性定理,xyxyag x ybh x yaG ffbHffF相似性定理相似性定理1,yxffg ax byGababF平移定理平移定理,exp2,exp2,xyxyabxaybg xa ybG ffjf af bg x yjf xf yG ffffFF4 4、傅里叶变换、傅里叶变换 Parseval Parseval定理定理22|(,)|(,)|xyxyg x ydxdyG ffdf df 卷积定理卷积定理 *,xyxyxyxyg x yh x yG ffHffg x y h x

20、yG ffHffFF自相关定理自相关定理 2,xyxyxyg x yg x yG ffg x y g x yG ffG ffFF傅里叶积分定理傅里叶积分定理,g x yg x yg x y-1-1FFF F4 4、傅里叶变换、傅里叶变换 ,xyg x ygxgy6）可分离变量函数的变换在某个坐标系中，若某个二维函数可表示为两个一维函数的乘积，则称此函数在该坐标系中是可分离的，即其对应的傅里叶变换为 ,xyg x ygxgyxyFFF即是两一维函数傅里叶变换式的乘积。4 4、傅里叶变换、傅里叶变换7）傅里叶-贝塞尔变换,g rr,Rg rgr 0022RRGrgr Jrdrgr B22xyff

21、G Rgr RgrB G G-1B 0022RRgrGJrdgr-1B极坐标系中的函数，当它只是半径 的函数时，即称它为圆对称的。圆对称函数的傅里叶变换式为其中，是用极坐标表示的频率坐标。也是圆对称函数，称之为函数的傅里叶贝塞尔变换，记为，而的逆变换记为，由下式计算：4 4、傅里叶变换、傅里叶变换8）一些常用函数的傅里叶变换式本章小结本章小结1）介绍了一些常用函数，包括矩形函数、三角形函数、脉冲函数、梳状函数等，理解这些函数的定义及应用是课程的基本要求。2）介绍了两种典型的运算：卷积和相关，需要理解各自的含义，以及两者的联系。3）理解空间频率和空间频谱；基于傅里叶级数的思想，可以对周期性和非周期性函数进行傅里叶分析，傅里叶级数可以理解为傅里叶变换的一种特殊情况。掌握常用函数的傅里叶变换是课程的基本要求。熟悉傅里叶变换定理的应用。