信号与系统基础及应用第2章-连续时间信号分析课件.pptx

1、信号与系统基础及应用 第1章 信号与系统基础知识 第2章 连续时间信号分析 第3章 连续时间系统分析 第4章 离散时间信号分析 第5章 离散时间系统分析 第6章 离散傅里叶变换及应用 第7章 数字滤波器设计第2章 连续时间信号分析2.1 连续时间周期信号的傅里叶级数（连续时间周期信号的傅里叶级数（CTFS）2.2 连续时间信号连续时间信号的傅里叶变换（的傅里叶变换（CTFT）（Continuous Time Fourier Series）（Continuous Time Fourier Transform）2.1 连续时间周期信号的傅里叶级数（连续时间周期信号的傅里叶级数（CTFS）2.1.2

2、 连续时间周期连续时间周期信号的信号的频谱与功率谱频谱与功率谱2.1.1 连续时间周期连续时间周期信号的信号的傅里叶级数傅里叶级数2.1.3 连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质（1）在在t1,t2区间区间上定义的非零实函数上定义的非零实函数x1(t)与与x2(t)，若满足条件：若满足条件：2112()()0ttx t xt dt 则函数则函数x1(t)与与x2(t)为区间为区间t1,t2上的上的正交函数正交函数。（2）若若 x1(t)与与x2(t)是复变函数，则是复变函数，则 x1(t)与与x2(t)在在t1,t2区间上区间上正交的条件正交的条件是：是：22111212()()(

3、)()0ttttx t x t dtx t x t dt 1.完备正交函数集完备正交函数集2.1.1 连续连续时间周期信号的傅里叶级数时间周期信号的傅里叶级数（3）设有）设有一函数集一函数集g1(t),g2(t)，gN(t)，它们定义，它们定义在区间在区间t1,t2上，如果对于上，如果对于所有所有i、j(可取可取1,2,，N)都有都有 21*0,()(),tijtiijg tg t dtK ij 则该函数集就称为区间则该函数集就称为区间t1,t2上的上的正交函数集正交函数集。21*0,()()1,tijtijg tg t dtij 则称该函数集为则称该函数集为归一化正交函数集归一化正交函数集。

4、如果如果（4）用）用一个在区间一个在区间t1,t2上的正交函数集上的正交函数集gr(t)中各中各函数的线性组合逼近定义在函数的线性组合逼近定义在t1,t2区间上的信号区间上的信号x(t)，即，即 1()()Nrrrx tc g t1122()()()()()rrNNx tc g tc g tc g tc gt其均方误差为其均方误差为 ：若若 ，则称此函数集为则称此函数集为完备正交函数完备正交函数集集。21221211()()Ntrrtrtx tc g tdttt 2lim()0Nt 欲使均方误差最小，其第欲使均方误差最小，其第r个函数个函数gr(t)的加权系数的加权系数cr应按下式选取：应按下

5、式选取：2121*2()()()trtrtrtx t g t dtcg tdt1()()rrrx tc gt 对于对于函数集函数集gr(t)，所谓所谓完备性完备性，是指对任意函数，是指对任意函数x(t)，都可以用一无穷级数表示：都可以用一无穷级数表示：且此级数之和收敛于且此级数之和收敛于x(t)。任何一个任何一个连续函数连续函数都可以在定义域里用某个正交都可以在定义域里用某个正交函数集来表示，若此函数集不仅是正交而且完备，函数集来表示，若此函数集不仅是正交而且完备，则用它来表示信号时将没有误差，即逼近误差是则用它来表示信号时将没有误差，即逼近误差是柯西收敛的，最终趋于零。柯西收敛的，最终趋于零

6、。结论结论常见的完备正交常见的完备正交函数集有：函数集有：三角函数集三角函数集虚指数函数集虚指数函数集切比雪夫多项式集合切比雪夫多项式集合沃尔什函数集沃尔什函数集（5）三角函数集三角函数集是完备正交函数集，正交区间为是完备正交函数集，正交区间为t0,t0+T。000,1,2,.cossin|nntnt，是各个函数是各个函数cosn 0 0t，sinn 0 0t的公共周期。的公共周期。02=T上述正交三角函数集中，当上述正交三角函数集中，当n=0时，时，cos0=1,sin0=0，由于，由于0不应计在此正交函数集中，故正交三角函数集可具体写为不应计在此正交函数集中，故正交三角函数集可具体写为 0

7、0001,cos,cos2,sin,sin2,tttt（6）虚指数函数集虚指数函数集0000jj0(e)(e),tTntmttmndtTmn,式中，式中，0j0,1,2,e|ntn 正交正交性质性质为指数函数公共周期，为指数函数公共周期，m、n为整数。为整数。02=T正交虚指数函数集可具体写为正交虚指数函数集可具体写为 000jj2j31,e,e,e,ttt0叫做基频。叫做基频。1829年提出：只有在满年提出：只有在满足一定条件时，周期信足一定条件时，周期信号才能展开成傅里叶级号才能展开成傅里叶级数。数。狄里赫利（狄里赫利（18051859）,德国德国数数学家，解析数论学家，解析数论奠基奠基者

8、者，现代，现代函函数概念的定义者。数概念的定义者。傅立叶（傅立叶（J.B.J Fourier，1768 1830），），法国法国著名数学家、著名数学家、物理学家物理学家。1807年提出：任何一年提出：任何一个周期信号都可以展个周期信号都可以展开成傅里叶级数。开成傅里叶级数。2.三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数 周期周期信号信号x(t)在区间在区间t0,t0+T上有定义，且上有定义，且 （1）Dirichlet条件条件表述如下：表述如下：狄里赫利狄里赫利（Dirichlet）条件解决了傅里叶级数条件解决了傅里叶级数分解的严格性问题！分解的严格性问题！1）在一周期内，如果有间断点存

9、在，则间断点）在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；的数目应是有限个；2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；限个；3）在一周期内，信号满足绝对可积。）在一周期内，信号满足绝对可积。01020010200()coscos2cossinsin2sinkkx taatataktbtbtbkt式中，式中，0 0=2/T 称为基波称为基波角频率（基频），角频率（基频），a0、ak和和bk为加权系为加权系数。数。由于由于x(t)为周期信号，且其周期为周期信号，且其周期T与三角函数集中各函数与三角函数集中各函数的周期的周期T相同，故上述展开

10、式在相同，故上述展开式在(-,)区间也是成立的。区间也是成立的。0001()(cossin)kkkx taaktbkt（2）三角函数）三角函数形式的傅里叶级数形式的傅里叶级数 可得加权系数：可得加权系数：0001()tTtax t dtT0002()costTktax tktdtT0002()sintTktbx tktdtTkkbb 为为k0 0的偶函数的偶函数kkaa为为k0 0的奇函数的奇函数kakb001()cos()kkkx tcckt另一种常用的表示另一种常用的表示形式（仅有余弦函数）如下形式（仅有余弦函数）如下：0022tankkkkkkcacabba,2()0,22Atx tTt

11、解：该信号解：该信号x(t)的周期为的周期为T，基频为，基频为它在一个周期（它在一个周期（-T/2，T/2）内的表达式为）内的表达式为【例例2.1】求图中信号求图中信号x(t)的傅里叶级数。的傅里叶级数。02T2022()cosTTkax tktdtT2sinAkkT2222cosAktdtTT00Sa()2Ak 抽样抽样函数函数sinSa()xxx 2202211()TTAax t dtAdtTTT计算其傅里叶计算其傅里叶级数的系数：级数的系数：抽样抽样函数定义为函数定义为 sinSa()xxx 为偶函数，且为偶函数，且x0时，时，Sa(x)=1；当；当x=k(k=1,2,)时，时，Sa(k

12、)=0。Sa(x)函数的波形函数的波形 Sa(x)2323x1oMATLAB中抽样中抽样函数用函数用sinc(x)表示。表示。sinsinc()xxx22022222()sinsin0TTkbx tktdtAktdtTTT0012()Sa()cos2kkAAx tktTT 于是于是【例例2.1】中中x(t)的的傅里叶级数傅里叶级数表示表示为为 020222()cosSa()2TTkkAax tktdtTT【例例2.2】设设 x()是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数,它在它在 上的表达式为上的表达式为,)1,0()1,0 x 解解:先求傅先求傅里里叶系数叶系数1()cosdkaxk 00

13、11(1)cosd1 cosdkk 0(0,1,2,)k，将将 x()展成傅展成傅里里叶级数。叶级数。1()sindkbxk 0011(1)sind1 sindkk 001cos1cos=kkkk 21cos kk 4,1,3,5,0,2,4,6kkk 411()sinsin3sin(21)321xkk ()4sin44sin+sin33444sin+sin3+sin5354444sin+sin3+sin5+sin7357（3）吉布斯现象）吉布斯现象（Gibbs phenomenon）用有限次谐波分量近似具有不连续点的用有限次谐波分量近似具有不连续点的周期信号时周期信号时，在，在不连续点出现过

14、冲；当不连续点出现过冲；当选取的项数越多，在所合成的波形中出选取的项数越多，在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点；当现的峰起越靠近原信号的不连续点；当选取的项数很大时，该峰起值趋于一个选取的项数很大时，该峰起值趋于一个常数，大约等于总跳变值的常数，大约等于总跳变值的9%。吉布斯现象产生的吉布斯现象产生的原因：原因：时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。美国人，美国人，1839-1903，物理化学家，数学物理化学家，数学物理学家物理学家约西亚约西亚威拉德威拉德吉布斯吉布斯（J

15、osiah Willard Gibbs）N=5N=15N=50N=500-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.2-2-1.5-1-0.500.511.52-0.200.20.40.60.811.29%9%9%9%3.指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 利用欧拉公式利用欧拉公式0000jj0jj01cosee21sinee2jktktktktktkt001()cos()kkkx t

16、cckt0022tankkkkkkcacabba 再次写出三角函数的傅里叶级数如下：再次写出三角函数的傅里叶级数如下：0000jjjj011jjjj011eeee22eeee22kkkkktktkkkkktktkkkkccccccje2kkkcX令为复函数kkkkcc 0000j()j()01jjjj011()ee2eeee22kkkkktktkkktktkkkkcx tcccc0j()ektkkx tX式中，式中，T=2/0 0为指数函数公共周期为指数函数公共周期，k为为整数整数。0/2j/21()e,0,1,2,TktkTXx tdt kT 复振幅系数为复振幅系数为采用指数形式傅里叶级数的

17、原因是：表达形式和采用指数形式傅里叶级数的原因是：表达形式和系数系数计算比计算比三角形三角形式简单式简单。k 信号的带宽时，信号传输与处理结果信号的带宽时，信号传输与处理结果才能接近不失真。才能接近不失真。2.1.3 连续时间傅里叶级数的性质连续时间傅里叶级数的性质性质性质周期信号周期信号傅里叶级数系数傅里叶级数系数/频谱频谱线性线性时移时移频移频移时间反转时间反转共轭共轭共轭对称共轭对称()()ax tby tkkaXbY0()x tt0 0jektkX0je()mtx tk mX()x tkX()xtkX*()xtkX性质性质周期信号周期信号傅里叶级数系数傅里叶级数系数/频谱频谱尺度变换尺

18、度变换周期卷积周期卷积相乘相乘微分微分(),0 x at a kX()()Txy tdkkTX Y()()x t y tlk llX Y()dx tdt0jkkX2.2 非周期信号的傅里叶变换（非周期信号的傅里叶变换（CTFT）2.2.1 傅里叶变换的傅里叶变换的导出与非周期信号的频谱导出与非周期信号的频谱2.2.2 常见信号常见信号的傅里叶变换的傅里叶变换 2.2.3 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换的性质的性质(Continuous Time Fourier Transform)2.2.1傅里叶变换的傅里叶变换的导出导出与非周期信号的频谱与非周期信号的频谱设任意周期信号为设任意周期信号

19、为()Txt其傅里叶级数指数形式的展开式为其傅里叶级数指数形式的展开式为0j()ektTkkx tX其中傅里叶系数为其中傅里叶系数为0/2j/21()eTktkTTXxtdtT推导思路推导思路：令令周期周期T趋近趋近()lim(),TTx txt0/2jj/2limlim()e()eTkttkTTTTTXxtdtx tdt记成记成j(j)()etXx tdt傅里叶傅里叶正变换正变换0/2j/2()eTktkTTTXxtdt当当T 时，时，02,dT0k，112dT反过来反过来00jj()lim()limelimektTkTTkktkTkx txtXTXT当当T 时，时，j1()(j)e2tx

20、tXd傅里叶傅里叶反变换反变换02dT，0k，()kTXX j，112dTX(j)描述描述的是单位频带的复振幅，称为频谱密度函数。的是单位频带的复振幅，称为频谱密度函数。j(j)(j)|(j)|eXXXj(j)()etXx tdtj1()(j)e2tx tXd傅里叶傅里叶反变换反变换傅里叶傅里叶正变换正变换幅度谱幅度谱相位谱相位谱2.2.2常见信号常见信号的傅里叶变换的傅里叶变换【例例2.6】门门函数的宽度为函数的宽度为，高度高度为为A，通常用通常用符号符号AG(t)来表来表示。试求其频谱函数。示。试求其频谱函数。解：解：频带宽度：频带宽度：2(rad/s)()Sa()2AG tA 周期和非周

21、期矩形脉冲信号频谱的对比周期和非周期矩形脉冲信号频谱的对比0Sa()2kkAXT (j)Sa()2XA AT对于由非周期脉冲按一定的周期对于由非周期脉冲按一定的周期T重复后构成的周期重复后构成的周期信号，其信号，其X(j)和和Xk之间可以互相推算。之间可以互相推算。A0k 非周期矩形脉冲信号频谱的特点非周期矩形脉冲信号频谱的特点连续性；连续性；无限无限延续性延续性；收敛性；收敛性。【例例 2.7】求求单位冲激函数单位冲激函数(t)的频谱函数。的频谱函数。j(j)()e1tXtdt j1()1 e2ttd ()1t解：解：【例例2.8】求求指数信号的频谱函数。指数信号的频谱函数。1jjarcta

22、n221ej(j)()etXx tdt j0eettdt(j)0(j)te右单边指数函数右单边指数函数解：解：左单边指数信号左单边指数信号j(j)()etXx tdt e,0()0,0ttx tt 0jeettdt1j0(j)ejtjarctan221ee()tut221(j)X (j)arctan()X其幅度频谱其幅度频谱为：为：相位频谱为：相位频谱为：1(j)jX 偶双边指数信号偶双边指数信号e,()e,atatx t 00tte0t，222j(j)()etXx tdt 0jeettdtj0eettdt1j1j222(j)X 0)(其幅度频谱其幅度频谱为：为：相位频谱为：相位频谱为：222

23、(j)X x(t)为偶函数，为偶函数，(j)X为为 的实函数，的实函数，且为且为 的偶函数。的偶函数。奇双边指数信号奇双边指数信号e()e()ttu tut222jj(j)()etXx tdt 0jeettdt j0eettdt1j 1je0()e,0tttx tt，222(j)jX x(t)为奇函数，为奇函数，(j)X为为 的纯虚函数，的纯虚函数，且为且为 的奇函数。的奇函数。j()b,02(),02 222(j)X 幅度幅度频谱频谱为：为：相位频谱为：相位频谱为：10Sgn()1,0ttt，考察奇双边指数信号考察奇双边指数信号 e0()e,0tttx tt，时：当0()Sgn()x tt2

24、22(j)jX 2Sgn()=j0t，F T 【例例 2.9】求求符号函数的频谱函数。符号函数的频谱函数。解：解：2(j)X,02(),02 幅度频谱幅度频谱为：为：相位频谱为：相位频谱为：2Sgn()=j=j()0tb，F T 【例例2.10】求求阶跃函数阶跃函数u(t)的频谱函数。的频谱函数。Sgn()tt1 -1 1()Sgn()12u ttjj1()()e=Sgn()1e2ttUu tdttdt Sgn()t2()jS 解：解：j111()()ed()22jtUSt 1()()ju t 2.2.3 连续时间傅里叶变换连续时间傅里叶变换的性质的性质 j1()=(j)e2tx tXdj(j

25、)=()etXx tdt时间函数时间函数x(t)和频谱函数和频谱函数X(j)有一一对应的关系，有一一对应的关系，可记为可记为()(j)x tX正变换正变换反变换反变换()(j)x tXF T1.线性线性若若 1122()(j),()(j),x tXx tX且设且设a1,a2为常数，则有为常数，则有 1 1221122()()(j)(j)a x ta x ta Xa X2.时移性时移性若若x(t)X(j)，且且t0为实常数为实常数(可正可负可正可负)，则有则有0j0()(j)etx ttX【例例2.11】求求移位门信号的频谱函数。移位门信号的频谱函数。相位谱相位谱 幅度谱幅度谱()()2G tS

26、a()2G tj2()Sa()e22G t解：解：3.频移性频移性 若若0j0()ej()tx tX()(j)x tX则则0001()cos j()j()2x ttXX000j()sin j()j()2x ttXX相乘调制相乘调制000()(cosjsin)j()x tttX0()()cosx tEG tt()Sa()2G t00(j)Sa()Sa()222EX【例例 2.12】求求矩形调幅信号的频谱。矩形调幅信号的频谱。解：解：4.时频展缩特性时频展缩特性 若若()(j)x tX则则1()(j),0|x atXaaa矩形脉冲的矩形脉冲的时频展缩情况？时频展缩情况？a=0.5a=1a=25.对

27、称性对称性 若若()(j)x tX则则(j)2()Xtx()1t12()2()2Sa()2(1)(1)2tuu 【例例2.13】求求抽样函数抽样函数Sa(t)的频谱。的频谱。()Sa()2G t(1)(1)Sa()2u tu tSa()(1)(1)tuu 解：解：（1）时域）时域卷积的运算卷积的运算 6.时域卷积定理时域卷积定理()()()=()()y txh tdx th t 卷积运算的卷积运算的4个步骤：个步骤：翻翻转转平平移移相相乘乘积积分分【例例2.14】求信号求信号 和和 的卷积。的卷积。)(t)(th解：解：()()()()d()h tthth t 另外另外00()()()h tt

28、th tt 本结论被用来获取系统的本结论被用来获取系统的冲激响应函数冲激响应函数。系统系统()t()h t()()()x txtd()()()y tx th t若若11()(j),x tX则则22()(j)x tX1212()()(j)(j)x tx tXX(2)时域卷积定理时域卷积定理 【例例2.15】求信号求信号 和和 的的卷积。卷积。)(ty)(tx设设 其中，其中，,0,0 basin2(),atx ttsin2(),bty tt它们的频谱分别为它们的频谱分别为 1,|2,()0,|2,aXa1,|2,()0,|2.bYb令令 min(,),ca b则则 1,|2,()()0,|2.c

29、XYc解：解：信号信号 和和 均为抽样信号，均为抽样信号，)(ty)(tx根据卷积定理有根据卷积定理有 )()(tytxsin2.ctt2(1),2()0,2Ettx tt 2()Sa()44EX 22()()*()Ex tG tG t【例例2.16】求求三角脉冲信号的频谱。三角脉冲信号的频谱。解：解：7.频域卷积频域卷积 若若11()(j),x tX则则22()(j)x tX12121()()(j)(j)2x tx tXX12()()x tx t12(j)(j)XX12()()x tx t121(j)(j)2XX例如，例如，,利用时域微分性质显然有利用时域微分性质显然有 1)(t()jt()

30、(j)(j)nnnd x tXdt 此性质还可推广到此性质还可推广到x(t)的的n阶导数，阶导数，即即 若若()(j)x tX则则()j(j)dx tXdt()dx tdt且且存在傅立叶变换存在傅立叶变换8.时域微分时域微分 9.时域积分时域积分 时域积分性质多用于时域积分性质多用于X(0)=0的情况，而的情况，而X(0)=0表明表明x(t)的频谱的频谱函数中直流分量的频谱密度为零。函数中直流分量的频谱密度为零。若若则则如果如果则有则有()(j)x tX(0)=0X(j)()(0)()jtXxdX(j)()jtXxd0000,(0)(),(0)1,()tty tttttt ()()ty txd

31、 ()()(0)()jF TtXxdX 0j02()Sa()e2ttx tF T 0j021Sa()e()j2tt 【例例2.17】求求斜变截平信号的频谱。斜变截平信号的频谱。解：解：10.帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理 设设 ,则则()(j)x tX221()()2x tdtXd2()Ex t dt一般来说，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，但一般来说，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，但其能量为有限量，因而是一个能量信号。非周期信号的总能其能量为有限量，因而是一个能量信号。非周期信号的总能量量E为为非周期信号的帕塞瓦尔定理表明，对非周期信号，在时域中求非周期信号的帕塞瓦尔定理表明，对非周期信号，在时域中求得的信号能量与频域中求得的信号能量相等。得的信号能量与频域中求得的信号能量相等。第第2章完章完本课件的参考文献参见教材末尾所列的文献目录。本课件的参考文献参见教材末尾所列的文献目录。本课件部分图片来源于网络。本课件部分图片来源于网络。