信号与系统SandS-3-4课件.ppt

1、ThemeGallery PowerTemplate国家国家“十二五十二五”规划教材规划教材信号与系统信号与系统 重点重点难点难点序列的相关性序列的相关性卷积和与相关的关系卷积和与相关的关系前言前言 相关运算和卷积一样，都是一种广义的线性滤波操作。但与卷积不同的是，相关运算的目的是度量信号彼此之间的相似程度度量信号彼此之间的相似程度。相关同样是信号处理领域中的一种基本运算，特别是在噪声抑制噪声抑制、目标识别目标识别、系统辨识系统辨识等方面具有重要的应用。3-4-1 序列的相关序列的相关设设 和和 均为均为能量有限的能量有限的离散时间序列离散时间序列，对任意整数，对任意整数 令令1、定义、定义（

2、3-4-1）和和()x n()y n0,1,2,k ()()()xxnrkx n x nk()()()xynrkx n y nk（3-4-2）()xxrk()x n()xyrk()x n()y n则称则称 为为 的的自相关序列自相关序列，为为 和和 互相关序列互相关序列。定义式中的变量定义式中的变量k是移位因子。是移位因子。3-4-1 序列的相关序列的相关互相关序列互相关序列 中的下标中的下标 表明了关联的序列顺序。下标顺序表明了关联的序列顺序。下标顺序x在在y之之前，表示一个序列相对于另一个序列的移动方向。比如，式（前，表示一个序列相对于另一个序列的移动方向。比如，式（3-4-2）中中 未移

3、动，而未移动，而 在时间上移动了在时间上移动了k个单位个单位，其中，其中 向向右右移位，移位，向向左左移位。同样，在式（移位。同样，在式（3-4-3）中）中 未移动，而在时间上移动未移动，而在时间上移动了了k个单位个单位，这时，这时 向向左左移位，移位，向向右右移位。显然，由于移位。显然，由于 相对相对于于 向向左左移位移位k个单位个单位等价于等价于 相对于相对于 向向右右移位移位k个单位个单位，因，因此式（此式（3-4-2）和式（）和式（3-4-3）得到相同的互相关序列）得到相同的互相关序列 。对互相关序列对互相关序列()xyrk，有有等价关系等价关系存在存在()()()xyrkx nk y

4、 n（3-4-3）()xyrkxy()x n()y n0k 0k()y n0k 0k()x n()y n()y n()x n()xyrk3-4-1 序列的相关序列的相关如果将式（如果将式（3-4-2）和式（）和式（3-4-3）中的）中的 和和 交换顺序，则必须相应地交换顺序，则必须相应地将下标将下标xy的顺序交换为的顺序交换为yx，得到的互相关序列为，得到的互相关序列为()x n()y n()()()yxnrky n x nk（3-4-4）或或等价等价为为()()()yxrky nk x n（3-4-5）比较比较 和和 的定义式，可知的定义式，可知()xyrk()yxrk()()xyyxrkr

5、k（3-4-6）式式（3-4-6）表明表明 是是 对偶对称序列对偶对称序列，它们关于，它们关于 对称。因此，对称。因此，关于序列关于序列 和和 的相似性，的相似性，和和 将提供将提供完全相同完全相同的信息。的信息。()yxrk()xyrk0k()x n()y n()yxrk()xyrk3-4-1 序列的相关序列的相关例例3-4-1 设(),0,0,2,1,3,7,1,2,3,0,0,x n(),0,0,1,1,2,2,4,1,2,5,0,0,y n式计算序列式计算序列 和和 的互相关序列的互相关序列。()x n()y n解：根据定义式（解：根据定义式（3-4-2），对于），对于 有有 0k 0

6、(0)()()()xynnrx n y nvn其中点乘其中点乘 0()()()v nx n y n为为 0()()(),0,0,2,1,6,14,4,2,6,0,0,v nx n y n因此，因此，的累加值的累加值 0()v n0(0)()7xynrv n3-4-1 序列的相关序列的相关 对于对于 ，只要将，只要将 相对于相对于 向向右移位右移位k个单位，计算点乘序列个单位，计算点乘序列 并将点乘序列的所有值并将点乘序列的所有值相加相加，即可得到，即可得到 0k()y n()x n()()()kv nx n y nk(1)13xyr(2)18xyr(3)16xyr(4)7xyr(5)5xyr(

7、6)3xyr()0,7xyrkk 对于对于 ，只要将，只要将 相对于相对于 向向左移位左移位k个单位，计算点乘序个单位，计算点乘序列列 并将点乘序列的所有值并将点乘序列的所有值相加相加，即可得到，即可得到 0k()y n()x n()()()kv nx n y nk(1)0 xyr(2)33xyr(3)14xyr(4)36xyr(5)19xyr(6)9xyr(7)10 xyr()0,8xyrkk 所以，序列所以，序列 和和 的互相关序列的互相关序列 为为()x n()y n()xyrk()()10,9,19,36,14,33,0,7,13,18,16,7,5,3xyknrkv n3-4-1 序

8、列的相关序列的相关 相关运算与卷积运算有密切联系。通过比较相关的定义式（相关运算与卷积运算有密切联系。通过比较相关的定义式（3-4-2）和卷积和的定义式（和卷积和的定义式（3-3-2），可知两者的），可知两者的不同之处不同之处仅仅在于相关运算无仅仅在于相关运算无需进行卷积和运算的需进行卷积和运算的第一步第一步-逆序运算逆序运算，即不必将其中一个序列按纵轴进，即不必将其中一个序列按纵轴进行反转。其它步骤（行反转。其它步骤（即按定义式进行移位、相乘及求和即按定义式进行移位、相乘及求和）是完全相同的。）是完全相同的。2、相关的计算、相关的计算 序列序列 和和 的互相关运算同样可以用的互相关运算同样可

9、以用序列求和法序列求和法，只不过，只不过省略省略了逆序运算这一步了逆序运算这一步。具体而言就是将两样本序列的。具体而言就是将两样本序列的起始点对齐相乘起始点对齐相乘，之后，之后依次顺序依次顺序右移第右移第2 2个序列（或左移第一个序列）并相乘、求和，个序列（或左移第一个序列）并相乘、求和，操作过程操作过程如下所示。如下所示。()x n()y n3-4-1 序列的相关序列的相关上、下行样本起始点对齐相乘上、下行样本起始点对齐相乘(0)(1)(2)(3)(0)(1)(2)xxxxyyy(0)(0)(0)(1)(1)(2)(2)xyrxyxyxy(0)(1)(2)(3)(0)(1)(2)xxxxyy

10、y下行样本右移一位两行对齐相乘求和下行样本右移一位两行对齐相乘求和(1)(0)0(1)(0)(2)(1)(3)(2)(1)(0)(2)(1)(3)(2)xyrxxyxyxyxyxyxy3-4-1 序列的相关序列的相关下行样本右移二位两行对齐相乘求和下行样本右移二位两行对齐相乘求和(0)(1)(2)(3)(0)(1)(2)xxxxyyy(2)(2)(0)(3)(1)xyrxyxy(0)(1)(2)(3)(0)(1)(2)xxxxyyy下行样本右移三位两行对齐相乘求和下行样本右移三位两行对齐相乘求和(3)(3)(0)xyrxy3-4-2 相关序列的性质相关序列的性质对于自相关序列，其对于自相关序列

11、，其常用的性质常用的性质有：有：性质性质1 是是k的的偶函数偶函数，即，即 。()xxrk()()xxxxrkrk性质性质2 对任何对任何k有有 ，这里这里 是序列的是序列的能量能量。()(0)xxxxxrkrE2()xnExn性质性质3 lim()0 xxkrk。上述性质表明，自相关序列是上述性质表明，自相关序列是偶函数偶函数，是其最大值，且当是其最大值，且当 时自相关值趋于零。时自相关值趋于零。(0)xxrk 3-4-2 相关序列的性质相关序列的性质对于互相关序列，对于互相关序列，比较重要的性质比较重要的性质有：有：性质性质4 通常通常 ，即，即 不是不是k的的偶函数偶函数。()()xyx

12、yrkrk()xyrk性质性质5 性质性质6()()xyyxrkrk，但，但 。()()xyyxrkrk存在某个存在某个 值，使得对所有值，使得对所有 有有 。0kk0()()xyxyrkrk性质性质7 对任何对任何k有有 ，这里，这里 、分别是序列分别是序列 和和 的能量。的能量。()(0)(0)xyxxyyxyrkrrE ExEyE()x n()y n性质性质8 lim()0 xykrk。上述性质的证明可参见文献上述性质的证明可参见文献【徐伯勋，徐伯勋，p32-33，Prokis(DSP),p88-】3-4-2 相关序列的性质相关序列的性质 可以证明，序列经过展缩运算后再进行互相关运算，其

13、可以证明，序列经过展缩运算后再进行互相关运算，其（互相关）（互相关）序列的形状不发生改变，变化的仅仅是序列的形状不发生改变，变化的仅仅是互相关序列互相关序列的的幅度幅度。在实际工作。在实际工作中，常常利用这个特性将自相关及互相关运算中，常常利用这个特性将自相关及互相关运算归一化归一化到到 的区间范围。的区间范围。针对自相关序列，归一化运算针对自相关序列，归一化运算只需除以只需除以 。因此，归一化的自相关序因此，归一化的自相关序列列 就被就被定义定义为：为：1,1(0)xxr()xxk()()(0)xxxxxxrkkr（3-4-7）同理，同理，归一化归一化互相关互相关运算运算 定义定义为：为：(

14、)xyk()()(0)(0)xyxyxxyyrkkrr（3-4-8）显然显然，它们与，它们与信号序列的展缩信号序列的展缩没有关系没有关系。()1xxk()1xyk3-4-2 相关序列的性质相关序列的性质例例3-4-2 计算序列 的自相关序列。()(),01nx na u na解：解：是无限长序列，故其自相关序列也是无限长的。现分两种情况是无限长序列，故其自相关序列也是无限长的。现分两种情况进行讨论。进行讨论。()x n对于对于 ，从图，从图3-4-1可以看出：可以看出：0k 2111()()()()nn kknxxnnnrkx n x nka aaa由于由于 ，故，故 收敛收敛且且 01a()

15、xxrk21(),01kxxrkaka3-4-2 相关序列的性质相关序列的性质对于对于 ，则有，则有 0k 02200()()()1(),01xxnnn kknknnrkx n x nka aaaaka事实上在事实上在 时，时，故上述关于，故上述关于 的两个关系式可以的两个关系式可以合并成下式：合并成下式：0k kkaa()xxrk21(),1kxxrkaka 3-4-2 相关序列的性质相关序列的性质因此，归一化自相关序列因此，归一化自相关序列 为：为：由图由图3-4-1显见，显见，()()xxxxrkrk和和21(0)1xxra()xxk()(),(0)kxxxxxxrkkakr 3-4-2

16、 相关序列的性质相关序列的性质图3-4-1 序列的自相关运算()(),01nx na u na3-4-3 周期序列的相关性周期序列的相关性 针对能量信号序列，我们已在针对能量信号序列，我们已在3-4-1节定义了自相关和互相关序列运算。节定义了自相关和互相关序列运算。本节考虑功率有限信号序列、特别是周期信号序列的自相关运算。本节考虑功率有限信号序列、特别是周期信号序列的自相关运算。设设 和和 均为均为功率有限的功率有限的离散时间序列离散时间序列，对任意整数，对任意整数 ，定义它们的互相关序列为定义它们的互相关序列为()x n()y n0,1,2,k 1()lim()()21MxyMnMrkx n

17、 y nkM（3-4-9）式中式中M是一个整数边界值。是一个整数边界值。上式中若上式中若 ，则定义，则定义功率有限序列的自相关序列功率有限序列的自相关序列为为()()x ny n1()lim()()21MxxMnMrkx n x nkM（3-4-10）3-4-3 周期序列的相关性周期序列的相关性 特别地，如果特别地，如果 和和 都是周期为都是周期为N的的周期序列周期序列，则式（，则式（3-4-9）和（和（3-4-10）中的）中的无限长平均区间无限长平均区间将将完全等价于完全等价于序列单个周期的平均序列单个周期的平均，因，因此式（此式（3-4-9）和（）和（3-4-10）定义的相关运算就可简化为

18、：）定义的相关运算就可简化为：()x n()y n101()()()Nxynrkx n y nkN（3-4-11）和和01()()()Nxxnrkx n x nkN（3-4-12）可以看出，可以看出，和和 都是周期为都是周期为N的周期性相关序列，其中的周期性相关序列，其中 可以认为是归可以认为是归一化比例因子。一化比例因子。()xyrk()xxrk1N3-4-4 卷积和与相关的关系卷积和与相关的关系 相关与卷积运算的差别在于前者无需将其中一个序列按纵轴进行反转，相关与卷积运算的差别在于前者无需将其中一个序列按纵轴进行反转，其它运算步骤两者是相同的。由此可知，两个序列的相关就是一个序列与其它运算

19、步骤两者是相同的。由此可知，两个序列的相关就是一个序列与另一个序列另一个序列反折后的卷积反折后的卷积；同理，两个序列的卷积也是一个序列与另一个；同理，两个序列的卷积也是一个序列与另一个序列反折后的相关。因此有序列反折后的相关。因此有1、卷积与相关的时域关系、卷积与相关的时域关系()()()()x ny nx nyn#（3-4-13）()()()()x ny nx nyn#（3-4-14）式中式中 为卷积算子，为卷积算子，为相关算子。为相关算子。#另外，由于另外，由于偶函数的反折等于自身偶函数的反折等于自身，故当式（，故当式（3-4-13）或式（）或式（3-4-14）中序列中序列 为偶函数时，两

20、个序列的相关和卷积相等。为偶函数时，两个序列的相关和卷积相等。()y n3-4-4 卷积和与相关的关系卷积和与相关的关系 1）卷积满足交换律，但相关运算）卷积满足交换律，但相关运算不满足不满足交换律。交换律。2、卷积与相关的变换域关系、卷积与相关的变换域关系 卷积与相关的变换域关系将在后续章节中讨论。卷积与相关的变换域关系将在后续章节中讨论。通过上述讨论不难看出：通过上述讨论不难看出：2）为为偶函数偶函数时，卷积和就等于相关运算。时，卷积和就等于相关运算。()y n3-4-5 相关分析讨论相关分析讨论 在对一个函数建模时，正确的做法是首先确定各个（测定）量之间在对一个函数建模时，正确的做法是首

21、先确定各个（测定）量之间是否存在着是否存在着某种关系某种关系。相关运算是当两个（测定）量之间存在。相关运算是当两个（测定）量之间存在线性关系线性关系时构建时构建概率度模型概率度模型的一种方法。如果两个量之间的一种方法。如果两个量之间不存在相关不存在相关，则当一个，则当一个量的值变化时另一个量的值量的值变化时另一个量的值没有随之变化的趋势没有随之变化的趋势。在各种类型（如工程、科学、经济）的数据分析中，相关性主要有在各种类型（如工程、科学、经济）的数据分析中，相关性主要有两方面两方面的典型应用。的典型应用。其一是变量之间的相关程度其一是变量之间的相关程度，而，而相关系数相关系数是度量变是度量变量

22、之间相关程度的一个量之间相关程度的一个重要指标重要指标，因此，相关系数的计算就显得尤为重，因此，相关系数的计算就显得尤为重要。要。另外一个应用是识别含噪声信号序列中是否存在周期性分量另外一个应用是识别含噪声信号序列中是否存在周期性分量，其典，其典型问题及解决方案如下。型问题及解决方案如下。3-4-5 相关分析讨论相关分析讨论 其中，其中，是我们感兴趣的是我们感兴趣的时间序列时间序列，可能具有周期性但周期，可能具有周期性但周期N是未知的；是未知的；则是则是加性高斯白噪声干扰加性高斯白噪声干扰。假设观测量有。假设观测量有M个样本，则样本序号个样本，则样本序号n满足满足 ，这里要求，这里要求 。为更

23、接近于工程实际，不妨进一步假设在。为更接近于工程实际，不妨进一步假设在 及及 时，时，。显然，此时已假设。显然，此时已假设 是一个因果有限长时是一个因果有限长时设有一含随机噪声的信号序列设有一含随机噪声的信号序列()()()y nx nw n（3-4-15）()x n()w n01nMMN0n nM()0y n()y n间序列。间序列。如果使用归一化因子如果使用归一化因子 ，则由式（，则由式（3-4-12）可给出）可给出 的归一化自的归一化自相关序列为相关序列为 1 M()y n101()()()Myynrky n y nkM（3-4-16）将将 代入上式，有代入上式，有 ()()()y nx

24、 nw n3-4-5 相关分析讨论相关分析讨论 101010101()()()()()1()()1()()()()1()()()()()()MyynMnMnMnxxxwwxwwrkx nw nx nkw nkMx n x nkMx n w nkw n x nkMw n w nkMrkrkrkrk（3-4-17）上式中上式中 是是 的自相关序列，如果的自相关序列，如果 是周期的，则它的自相关序是周期的，则它的自相关序列列 就具有与就具有与 相同的周期。因此，将在相同的周期。因此，将在 等处包含相等处包含相对较大的峰值。对较大的峰值。()xxrk()x n()x n()xxrk()x n0,2,k

25、NN3-4-5 相关分析讨论相关分析讨论 但是，当平移但是，当平移k到接近（样本数）到接近（样本数）M时时，峰值在幅度上将峰值在幅度上将减小减小，这是，这是因为样本数因为样本数M是是有限值有限值，在，在 时时 的的乘积都为零乘积都为零。因此，。因此，运算中应运算中应避免避免计算较大移位（比如计算较大移位（比如 ）时的）时的 。kM()()x n x nk2kM()yyrk 由于由于感兴趣序列感兴趣序列 和和加性高斯白噪声序列加性高斯白噪声序列 可以认为可以认为彼此无关彼此无关，故式（故式（3-4-17）中的）中的两个互相关序列两个互相关序列 和和 在通常意义上是相对很在通常意义上是相对很小的。

26、至于小的。至于加性高斯白噪声序列加性高斯白噪声序列 的的自相关序列自相关序列 ，由于，由于 本身本身具有的具有的随机特性随机特性，使得它只是在，使得它只是在 处有处有一个峰值一个峰值，而且这个峰值，而且这个峰值 快速快速衰减到零衰减到零。()x n()w n()xwrk()wxrk()w n()wwrk()w n0k()wwrk由此可见，由此可见，时时 的峰值基本上是由的峰值基本上是由感兴趣序列感兴趣序列 的的自相关序列自相关序列 的的峰值峰值引起的，如果这些峰值以引起的，如果这些峰值以一定的周期间隔一定的周期间隔出现，就可以识别出现，就可以识别（或检测）出淹没在随机噪声中的周期信号序列的存在

27、并且（或检测）出淹没在随机噪声中的周期信号序列的存在并且确定出确定出它的它的周周期。期。0k()yyrk()x n3-4-5 相关分析讨论相关分析讨论 ()xxrk例例3-4-3 正弦序列正弦序列 ，其中，其中 ，它受到在，它受到在 内均匀分布的加性随机噪声的污染，试根据该受到污染的信号序列确内均匀分布的加性随机噪声的污染，试根据该受到污染的信号序列确定正定正 正弦序列的周期。正弦序列的周期。()cos(0.25)x nn095n 0.5,0.5解：本例说明如何用解：本例说明如何用MATLAB计算受到噪声污染的周期序列的周期。计算受到噪声污染的周期序列的周期。源程序如下：源程序如下：3-4-5

28、 相关分析讨论相关分析讨论 运行程序，结果如图运行程序，结果如图3-4-2所示。由图所示。由图3-4-2(a)可知，在可知，在k=0（移位为零（移位为零）处有一个最大的峰值，并且在）处有一个最大的峰值，并且在k=8 的整数倍处都有幅度不等的峰值，的整数倍处都有幅度不等的峰值，这就说明该正弦序列的周期为这就说明该正弦序列的周期为8。而图。而图3-4-2(b)给出了噪声序列的自相关给出了噪声序列的自相关序列，图中序列，图中 仅仅在仅仅在k=0（移位为零）处有一个最大的峰值。这是因（移位为零）处有一个最大的峰值。这是因为噪声序列的样本值互不相关，在其它位移量处的为噪声序列的样本值互不相关，在其它位移量处的 峰值都很小。峰值都很小。()ddrk()ddrk图图3-4-2 3-4-5 相关分析讨论相关分析讨论 -30-25-20-15-10-50510 15 20 2530-15-10-505101520Lag index k(a)Amplitude含噪声正弦自相关序列-30-25-20-15-10-50510 15 20 2530-1-0.500.511.522.53Lag index k(b)Amplitude噪声序列的自相关序列