信号与系统基础及应用第5章-离散时间系统分析课件.pptx
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- 信号 系统 基础 应用 离散 时间 系统分析 课件
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1、信号与系统基础及应用 第1章 信号与系统基础知识 第2章 连续时间信号分析 第3章 连续时间系统分析 第4章 离散时间信号分析 第5章 离散时间系统分析 第6章 离散傅里叶变换及应用 第7章 数字滤波器设计5.2 离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析5.3 z变换变换5.4 离散时间系统离散时间系统的复频域分析的复频域分析第5章 离散时间系统分析5.1 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析5.1 离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析5.1.2 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应 5.1.1 差分方程的建立和求解差分方程的建立和求解5.1.3 卷积和卷积和连续系
2、统与离散系统的比较连续系统与离散系统的比较zizs()()()y tytytzizs()()()y nynyn()x tzs()()()ynx nh nzs()()()ytx th t连续系统连续系统(1)常系数线性)常系数线性微分微分方程方程离散系统离散系统(1)常系数线性)常系数线性差分差分方程方程h(t)()y t(3)卷积)卷积积分积分(4)拉氏拉氏变换变换()()()Y sH sX s()x nh(n)()y n(3)卷积)卷积和和(4)z变换变换()()()Y zH zX z(2)(2)5.1.1 差分方程的建立和求解差分方程的建立和求解1)()()x nxnnx)(1)(x nn
3、nxx1.前向差分与后向差分前向差分与后向差分 后向差分后向差分前向差分前向差分前向差分与后向差分的关系前向差分与后向差分的关系()(1)x nx n 2()(2)2(1)()x nx nx nxnnx 23()(3)3(2)3(1)()x nx nx nx nnx nx 2()()2(1)(2()x nx nx nx nx n 23()()3(1)3(2)(3x nx nx nxx nxnn 1阶阶2阶阶3阶阶1阶阶2阶阶3阶阶2.常系数差分方程,用来描述常系数差分方程,用来描述LTI离散系统。离散系统。011011()(1)(1()(1)()()1)(MNNMa y na y nay nN
4、a y nb x nb x nbx nMb x nMN01111()(1)(1()(1)(1)()()MNNMby na y nayx nb x nbx nMb x nMnNa y nN首项归一化后:首项归一化后:后向差分形式后向差分形式01111()(1)(1()(1)(1)()()MNNMby na y nayx nb x nbx nMb x nMnNa y nN差分方程是具有递推关系的代数方程,当已知初差分方程是具有递推关系的代数方程,当已知初始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的始条件和激励时可以利用迭代法求得差分方程的数值解,尤其是数值解,尤其是当差分方程阶次较低时当差分方程阶次
5、较低时使用方便使用方便。3.差分方程的求解方法差分方程的求解方法(1)迭代法)迭代法【例例5.1】若若描述某离散系统的差分方程为描述某离散系统的差分方程为:()3(1)2(2)()y ny ny nx n已知初始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激激励励x(n)=2nu(n),求求y(n)。()3(1)2(2)()y ny ny nx n解:将原差分方程中除解:将原差分方程中除y(n)以外的各项都移到等号右端以外的各项都移到等号右端()3(1)2(2)()y ny ny nx n 对对n=2,将已知初始值,将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式,得代入上式,得(2)3(1)2
6、(0)(2)2yyyx 依次迭代可得依次迭代可得(3)3(2)2(1)(3)10(4)3(3)2(2)(4)10.yyyxyyyx 特点:便于用计算机求解特点:便于用计算机求解(2)经典解法)经典解法01111()(1)(1()(1)(1)()()MNNMby na y nayx nb x nbx nMb x nMnNa y nN完全解由齐次解和特解两部分组成:完全解由齐次解和特解两部分组成:nf()()()y nyny nLTI系统()x n()y n齐次解:齐次解:齐次齐次方程为方程为1110NNNNaaa它的它的N N个根个根i (i=1,2,N)称为差分方程的特征根。称为差分方程的特征
7、根。特征方程为特征方程为n011()()()N rNnN iniiiii N rynCC n 11()(1)(1)()0NNy na y nay nNa y nNN-r个单根个单根r阶重根阶重根几种典型激励函数相应的特解几种典型激励函数相应的特解激励函数激励函数x(n)响应函数响应函数y(n)的特解的特解mncosn或sinnn11101mmmmA nAnAnA所有特征根不等于11101rmmmmnA nAnAnAr有 重特征根等于101110nnnrnrnnnrrAAnAA nAnAnAr当 不等于特征根时当 为特征单根时当 是 重特征根时cos()sinAnBn特解:特解:选定特解后代入原
8、差分方程,求出待定系数就得出方程的特解。选定特解后代入原差分方程,求出待定系数就得出方程的特解。完全解:完全解:代入初始条件求出待定系数代入初始条件求出待定系数ki,于是得到完全解,于是得到完全解的闭式。的闭式。n1f01f()()()()()()NrNnN iniiiii NrynCC ny ny ny n 解:方程的特征方程为解:方程的特征方程为【例例5.2】若若描述某系统的差分方程为描述某系统的差分方程为()4(1)4(2)()y ny ny nx n已知初始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=-1,激励激励x(n)=2n,n 0,求方程的全解。,求方程的全解。0442特征根为特征根
9、为 1 1 22,为,为2阶重阶重根,齐次解为根,齐次解为n12()(2)(2)nnynC nC由题意,设特解为由题意,设特解为f()2,0ny nAn将将yf(n)代入到原代入到原方程方程得得1224242()2nnnnAAAx n14A 全解为:全解为:nf121()()()(2)(2)2,04nnny nyny nC nCn将已知初始条件代入,将已知初始条件代入,得得C11,C2=-1/411()(2)(2)2,044nnny nnn自然响应自然响应强迫响应强迫响应5.1.2 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应1.完全解的一般形式完全解的一般形式 零状态响应,仅由外加激励引起的
10、响应零输入响应,激励为零时的响应zizs()()()y nynyn011()()()N rNnN inziiiiii N ryncc n 0f11()()()()N rNnN inzsiiiii N ryndd ny n 011f()()NrNnN iniiiii NrCC ny n 零输入零输入零状态零状态自然自然强迫强迫0f10111()()()()()()NrNnN iniiiii NrNrNnN iniiiii Nrdcc nynndy n 2.初始条件值初始条件值起始状态起始状态初始条件初始条件值值全响应全响应零输入零输入响应响应零状态响零状态响应应(1),(2),(3),.yyy(
11、0),(1),(2),.,(1)yyyy nzizizi(1)(1),(2)(2),(3)(3),.yyyyyyzszszs(1)(2).()0yyynzizizizi(0),(1),(2),.,(1)yyyynzszszszs(0),(1),(2),.,(1)yyyyn由完全态差分方程推出由完全态差分方程推出由零输入差分方程推出由零输入差分方程推出由零状态差分方程推出由零状态差分方程推出【例例5.3】若若描述某离散系统的差分方程为描述某离散系统的差分方程为()3(1)2(2)()y ny ny nx n已知已知x(n)=0,n0时为零,因时为零,因而在而在n0时,系统的时,系统的h(n)和系
12、统的零输入响应的函数和系统的零输入响应的函数形式相同。形式相同。【例例5.4】设因果离散系统的差分方程为设因果离散系统的差分方程为 y(n)-0.6 y(n-1)-0.16y(n-2)=5x(n)试求其试求其单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)。解:当解:当n0时,系统的差分方程变成齐次差分方程,时,系统的差分方程变成齐次差分方程,即即该系统的特征方程为该系统的特征方程为 2-0.6-0.16=0特征根为特征根为-0.2和和0.8,对应的特征模式为,对应的特征模式为(-0.2)n和和(0.8)n。得其得其单位脉冲响应单位脉冲响应 h(n)为为 h(n)=d1(-0.2)n+d2(0.8)n,(n0
13、)h(n)-0.6 h(n-1)-0.16h(n-2)=0h(0)=d1+d2=5因此因此单位脉冲响应单位脉冲响应 h(n)为为 h(n)=(-0.2)n+4(0.8)n,(n0)或写成或写成 h(n)=(-0.2)n+4(0.8)nu(n)h(n)是零状态响应,所以起始状态为:是零状态响应,所以起始状态为:h(-1)=h(-2)=h(-3)=0由由 y(n)-0.6 y(n-1)-0.16y(n-2)=5x(n)得得:h(0)=0.6 h(-1)+0.16h(-2)+5(0)=5h(1)=0.6 h(0)+0.16h(-1)=3h(1)=d1(-0.2)+d2(0.8)=3求取系数:求取系数
14、:解得解得:d1=1,d2=45.1.3 卷积和卷积和1.零状态响应与卷积和零状态响应与卷积和2.卷积和的性质卷积和的性质3.卷积和的计算卷积和的计算 (n)h(n)1.零状态响应与卷积和零状态响应与卷积和系统系统系统系统x(n)的分解:的分解:()()()(1)(1)(0)()(1)(1)kx nx knkxnxnxn x(n)yzs(n)=x(n)*h(n)zs()()()()kynx nx knkTTTT()()Tkx knk()()kx k h nk()*()x nh n一般定义一般定义:zs()()*()()()kynx nh nx k h nk2.卷积和的性质卷积和的性质(1)卷积
15、代数)卷积代数1221()()()()x nx nx nx n123123()()()()()()x nx nx nx nx nx n1231213()()()()()()()x nx nx nx nx nx nx n(2)离散卷积和的单位元)离散卷积和的单位元是是(n)()()()x nnx n()()()x nnkx nk1212()()()x nknkx nkk(3)u(n)是数字积分器是数字积分器()()()nkx nu nx k3.卷积和的计算卷积和的计算(1)直接按定义或性质计算)直接按定义或性质计算(2)图解法计算)图解法计算(3)竖式法计算)竖式法计算(1)直接按定义或性质计算
16、)直接按定义或性质计算1212()()()()()ky nx nx nx k x nk1()()()2n kku ku nk0011()()(2)22nnn knkkk1()2(),02ny nn1220111()()()()()()()2(),0222nnnkknkkky nx nx nx ku kn【例例5.5】设有设有离散信号离散信号x1(n)=u(n),x2(n)=(1/2)nu(n),求,求y(n)=x1(n)*x2(n)。由等比数列求和公式有由等比数列求和公式有 也可利用卷积和的性质也可利用卷积和的性质3u(n)是数字积分器性质,得到是数字积分器性质,得到解:解:(2)图解法计算)
17、图解法计算(3)竖)竖式法计算式法计算不需要作进位。不需要作进位。()3,1,4,2x n ()2,1,5h n ()()()?y nx nh n ()6,5,24,13,22,10y n 1n 0n 1n 结论:三个结论:三个LTI系统响应相同系统响应相同 4.利用卷积分析系统的简单情况:利用卷积分析系统的简单情况:123【例例5.6】LTI离散时间离散时间系统系统的输入输出关系如下图所示:的输入输出关系如下图所示:已知系统已知系统1的的h1(n)=u(n),系统系统2的的h2(n)(n)-(n-1),求系统求系统1的输出的输出y1(n)、系统、系统2的输出的输出y2(n)以及系统输出以及系
18、统输出y(n)。nkkxnhnxny)()(*)()(1122()*()()*()()*(1)()(1)y ns nh ns nns nns ns n)可见,系统可见,系统1为累加器,系统为累加器,系统2为一阶差分运算器。为一阶差分运算器。若将系统若将系统1和系统和系统2级联成一个系统,有级联成一个系统,有12()()*()()*()(1)()*()()*(1)()(1)()h nh nh nu nnnu nnu nnu nu nn系统输出为系统输出为)()(*)()(nxnnxny恒等系统恒等系统解:解:5.2.1 系统频率响应系统频率响应5.2 离散时间系统的频域分析离散时间系统的频域分析
19、5.2.2 正弦稳态响应正弦稳态响应5.2.3 系统频率响应的分析系统频率响应的分析5.2.1 系统频率响应系统频率响应jj(j)j(e|(e)=()e()e)|j HnjnHeeHh nH y nx nh njjjeeeYXH()x nh(n)()y n称称H(ej)为离散时间系统的为离散时间系统的频率响应;频率响应;表示系统对输入信号频谱的作用;表示系统对输入信号频谱的作用;H(ej)是是 的周期函数,的周期函数,周期为周期为2。1.定义定义jjjeeeYHX2.系统系统频率响应的计算频率响应的计算jjj0jj0e(e)(e)(e)eMrrrNiiibYHXa00()()NMirira y
20、 nib x nr差分方程j()(e)ID TF Th nH31()(1)(2)2()48y ny ny nx njj2j2(e)311ee48H【例例5.7】有一线性时不变系统,初始状态为有一线性时不变系统,初始状态为0,且,且由下列差分方程表征:由下列差分方程表征:解:该系统的频率响应为解:该系统的频率响应为 试求其系统频率响应和试求其系统频率响应和单位脉冲响应单位脉冲响应。jjjjj242(e)1111(1e)(1e)1e1e2424H11()4()()2()()24nnh nu nu n为了确定相应的为了确定相应的单位脉冲响应单位脉冲响应,需要,需要求求 的的反反变换。和连续时间情况一
21、样,有效的方法是利用部变换。和连续时间情况一样,有效的方法是利用部分分式展开法,即分分式展开法,即 其中每一项的反变换都能直接求出来,其结果为其中每一项的反变换都能直接求出来,其结果为j(e)H()(0.5)()nh nu n()(0.8)()nx nu njj1()(0.8)()(e)1 0.8enx nu nXjj1()(0.5)()(e)1 0.5enh nu nH【例例5.8】已知一离散已知一离散LTI系统的系统的单位脉冲响应单位脉冲响应为为输入信号为输入信号为试求试求零状态响应零状态响应yzs(n)。解:解:jjjzsjjjj(e)(e)(e)118/35/31 0.8e1 0.5e
22、1 0.8e1 0.5eYXHzs85()(0.8)(0.5)()33nnynu n根据时域卷积性质有根据时域卷积性质有 求上式求上式IDTFT,有,有 5.2.2 正弦稳态响应正弦稳态响应离散时间系统的正弦稳态响应与连续时间系统离散时间系统的正弦稳态响应与连续时间系统的正弦稳态响应类似的正弦稳态响应类似。对于线性时不变系统对于线性时不变系统,设,设输入信号的形式为输入信号的形式为j()e()nx nu n则一个单位则一个单位脉冲响应为脉冲响应为h(n)的的因果系统相应的因果系统相应的稳态稳态输出输出为为jjss()(e)enynHjj1(e)=1eH()2cos(1),2x nnj2j211
23、1(e)=()1+j421 eH【例【例5.9】一个离散时间一个离散时间LTI系统的频率响应为系统的频率响应为若输入信若输入信号号求系统的稳态输出响应求系统的稳态输出响应yss(n)。根据频率根据频率响应响应的物理意义可直接写出下式的物理意义可直接写出下式解:分析输入信号解:分析输入信号x(n),知其频率为,知其频率为/2。jjss()2|(e)|cos1(e)22=cos(1)242ynHnHn 5.2.3 系统频率响应的分析系统频率响应的分析离散系统的滤波特性与连续系统的滤波特性类似。sT低通带通高通带阻全通0000fsf2sf2sfsfs2s2ss22f 2112k2kN1N 频率轴定标
24、频率轴定标0数数字字频频率率()(),|1nh na u na【例例5.10】分析系统分析系统jj1(e)1eHa取取a=0.5低通高通取取a=-0.5的频率响应特性。的频率响应特性。解:解:5.3 z变换变换5.3.1 z变换变换的的定义及收敛域定义及收敛域5.3.2 基本基本z变换对变换对5.3.3 z变换的性质变换的性质5.3.4 z反反变换变换5.3.4 z变换变换与拉氏变换的关系与拉氏变换的关系5.3.1 z变换变换的定义的定义()()nnX zx n z是复变量是复变量z-1的的幂级数,又称为罗朗级数。幂级数,又称为罗朗级数。jezr双边双边z变换:变换:0()()nnX zx n
25、 z若双边序列取单边若双边序列取单边z变换,或对因果变换,或对因果信号序列信号序列取取z变变换,得换,得()()nnX zx n z21012(2)(1)(0)(1)(2)()znzxzxzxzxzxzx n z 的正幂的负幂 1Xzz是的幂级数 nnx n幂中的 指出的位置 x n级数的系数是1.对对z变换式的理解变换式的理解1n z的正幂级数构成左边序列z的负幂级数构成右边序列0n(1)收敛域的定义)收敛域的定义收敛的所有收敛的所有z 值之集合为收敛域,值之集合为收敛域,即需满足即需满足下下式:式:()()nnX zx n z()nnx n z 对于任意给定的序列对于任意给定的序列x(n)
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