高等数学第十章第二节《二重积分的计算法》课件.ppt

1、第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 二重积分的计算法一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分且在D上连续时,0),(yxf当被积函数bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲顶柱体体积的计算可知,若D为 X 型区域 则)(1xy)(2xyxboyDax若D为Y 型区域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(则oxy说明说明:(1)若积分区域既是X型区域又是Y 型区域

2、,Dyxyxfdd),(为计算方便,可选择积分序选择积分序,必要时还可以交换积分序交换积分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc则有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyxfyyd),()()(21dcyd(2)若积分域较复杂,可将它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域,321DDDD则 xy211xy o2例例1.计算,d2 DyxI 其中D 是直线 y1,x2,及yx 所围的闭区域.xy例例2.计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域.解解:为计算简便,先对 x 后对 y 积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d

3、)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线则 例例3.计算,ddsinDyxxx其中D 是直线,0,yxy所围成的闭区域.oxyDxxy 解解:由被积函数可知,因此取D 为X 型域:xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先对 x 积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.例例4.交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解:积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo2

4、1D221xy 222280:22xxyD21DDD将:D视为Y型区域,则282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dyxyokkkrrkkkkkkrrsin,cos对应有二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下,用同心圆 r=常数则除包含边界点的小区域外,小区域的面积kkkkkkrrrr)(21),2,1(nkk在k),(kkrkkkkrrkkkr221内取点kkkrr221)(及射线 =常数,分划区域D 为krkrkkkrkkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Dr

5、rf)sin,cos(drrddrdDo)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf设,)()(:21rD则Drrrrfdd)sin,cos(d特别特别,对20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD若 f 1 则可求得D 的面积d)(21202Dd思考思考:下列各图中域 D 分别与 x,y 轴相切于原点,试答答:;0)1()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(例例6.计算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解:在极坐标系下,200:arD原式Drerard02

6、are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.注注:利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式2d02xex事实上,当D 为 R2 时,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例6的结果,得)1(limd42220aaxexe故式成立.例例7.求球体22224azyx被圆柱面xayx222)0(a所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解解:设由对称性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1(3322033a)322(3323aoxy

7、za2内容小结内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形:若积分区域为)()(,),(21xyyxybxayxD则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为)()(,),(21yxxyxdycyxD则xy)(1yxx Ddc)(2yxx)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy)(2xyy xybaD)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(则)()(21d)sin,cos(drrrrf极坐标系情形极坐标系情形:若积分区域为ddrrDo)(1r)(2r(3)计算步骤及注意事项计算步

8、骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算图示法不等式充分利用对称性应用换元公式axy2解：解：原式ay0daay2d22xaxy22yaaxEx:1.给定改变积分的次序.)0(d),(d20222ayyxfxIaaxxaxay0d2222d),(yaaayxyxfayaaxyxf222d),(aayxyxf222d),(ayx22a2a2aoxy3261sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrryyx422yyx22203 yx2.计算其中D 为由圆所围成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直线,03yx解：解：平面闭区域.03 xysin2 roxy2436d