高等数学第十二章第五节《函数幂级数展开式的应用》课件.ppt

上传人（卖家）：宜品文库

文档编号：3499161

上传时间：2022-09-07

格式：PPT

页数：14

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关键词：: 函数幂级数展开式的应用高等数学第十二五节函数幂级数展开式应用课件

资源描述：: 1、第五节第五节一、近似计算一、近似计算二、欧拉公式二、欧拉公式函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用机动目录上页下页返回结束一、近似计算一、近似计算mxxm1)1(2!2)1(xmmnxnnmmm!)1()1()11(x例例1.计算5240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926.200741.03的近似值,精确到282811811131!254134105.013431518231!254112331!35941解解:553243240514)1(331机动目录上页下
2、页返回结束)11(432)1ln(432xxxxxx例例2.计算2ln的近似值,使准确到.104解解:已知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxxx5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有机动目录上页下页返回结束 9431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931.01131111133113193414102.0787321在上述展开式中取前四项,机动目录上页下页返回结束说明说明:在展开式xx11ln中,令121n
3、x53)121(51)121(3112121lnnnnnn得)1ln(n具此递推公式可求出任意正整数的对数.如53)91(51)91(319122ln25ln6094.1(n为自然数),53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx机动目录上页下页返回结束 753)20(!71)20(!51)20(!312020sin例例3.利用,!3sin3xxx求9sin误差.解解:先把角度化为弧度9(弧度)52)20(!51r5)2.0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646.0157080.03)20(!312020sin误差不超过 510
4、的近似值,并估计91802015643.0机动目录上页下页返回结束(取例例4.计算积分xexd21201的近似值,精确到)56419.01解解:12xe!)1(20nxnnn)(xxexd22210 xd 2210!)1(20nxnnn0!)1(2nnnxxnd2021.104!1)(2x!2)(22x!3)(32x0 !)1(2nnn1221n)12(n机动目录上页下页返回结束!3721!252132111642xdex22102!3721!252132111642nnnnr22)12(!1141042102)12(!nnn则 n 应满足4nxexd22120则所求积分
5、近似值为欲使截断误差5205.0,4n取机动目录上页下页返回结束例例5.计算积分xxxdsin10的近似值,精确到.104解解:由于,1sinlim0 xxx故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在 x=0 处的值为 1,则它在积分区间!)12()1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551!)12()12()1(nnn3r00167.005556.01上连续,且有幂级数展开式:!7714103.03528019461.0机动目录上页下页返回结束二、欧拉二、欧拉(Euler)公式公式)(1nnnviu 则称收敛收敛,且其和为)
6、(1nnnviu 绝对收敛,1nnu)(1nnnviu 收敛.,1uunn,1vvnn若nnnviu 1.viu 221nnnvu 收敛,若对复数项级数,22nnnvuu22nnnvuv1nnv绝对收敛则称绝对收敛绝对收敛.由于,故知欧拉目录上页下页返回结束定义定义:复变量yixz的指数函数为)(!1!2112zznzzenz易证它在整个复平面上绝对收敛.当 y=0 时,它与实指数函数xe当 x=0 时,nyiyinyiyiyie)(!1)(!31)(!21132nnynyy242!)2()1(!41!211iycos12153!)12()1(!51!31nnynyyyyi s
7、in的幂级数展式一致.机动目录上页下页返回结束 xixexisincosxixexisincos（欧拉公式）2cosxixieex（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式rxxyyoyixzyixzsincosirier则ieexxixi2sin机动目录上页下页返回结束据此可得ni)sin(cosninsincos(德莫弗公式德莫弗公式)利用幂级数的乘法,不难验证2121zzzzeee特别有yixe)sin(cosyiyex),(Ryxyixeyixee)sin(cosyiyexxerxxyyoyixz第六节目录上页下页返回结束欧拉欧拉(1707 1783)瑞士数学家.他写了大量数学经典著作,如无穷小分析引论,微还写了大量力学,几何学,变分法教材.他在工作期间几乎每年都完成 800 页创造性的论文.他的最大贡献是扩展了微积分的领域,要分支(如无穷级数,微分方程)与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理,积分学原理等,为分析学的重在数学的许多分支中都有以他的名字命名的重要常数,公式和定理.机动目录上页下页返回结束

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