高等数学第九章第六节《多元函数微分学的几何应用》课件.ppt

1、第六节第六节 多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例引入引入空间曲线空间曲线的参数方程的参数方程),(tx ),(ty ),(

2、tz ,tzkyjxir ktjtittf)()()()()(tfr 映射映射3,:Rf 一元向量值函数一元向量值函数定义定义设数集设数集,RD 则称映射则称映射nRDf:为一元向量值函数，为一元向量值函数，通常记为：通常记为：因变量因变量自变量自变量定义域定义域Dttfr ),(l注注(1)一元向量值函数是一元函数的推广一元向量值函数是一元函数的推广一元函数一元函数一元向量值函数一元向量值函数自变量自变量因变量因变量实数值实数值实数值实数值实数值实数值n维向量维向量(2)这里只研究这里只研究n=3的情形的情形表示法表示法在在3R中中,若向量值函数若向量值函数Dttf),(的三个分量函数依次为

3、的三个分量函数依次为,),(),(),(321Dttftftf 则向量值函数则向量值函数f可表示为可表示为Dtktfjtfitftf ,)()()()(321或或Dttftftftf ),(),(),()(321图形图形xyzOMr设设,OMr 当当t 改变时改变时,终点终点M的轨迹的轨迹(记作曲线记作曲线)称为向量值函数称为向量值函数Dttfr ),(的的终端曲线终端曲线，曲线曲线也称为向量值函数也称为向量值函数Dttfr ),(的的图形图形一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数

4、及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例定义定义设向量值函数设向量值函数)(tf在点在点0t的某一去心邻域内有定义的某一去心邻域内有定义,如果如果存在一个常向量存在一个常向量,0r对于任意给定的正数对于任意给定的正数,总存在正数总存在正数,使得当使得当t 满足满足|00tt时时,对应的函数值对应的函数值)(tf都满足都满足:,|)(|0 rtf那么那么,常向量常向量0r就叫做向量值函数就叫做向量值函数)(tf当当0tt 时的极限，记作时的极限，记作,)(lim00rtftt 或或00,)(ttrtfl注注向量值函数向量

5、值函数)(tf当当0tt 时的极限存在的充要条件时的极限存在的充要条件:)(tf的三个分量函数的三个分量函数)(),(),(321tftftf当当0tt 时的时的极限存在极限存在,且有且有:)(lim),(lim),(lim)(lim3210000tftftftftttttttt定义定义l注注 向量值函数向量值函数)(tf在在0t连续的充要条件连续的充要条件:设向量值函数设向量值函数)(tf在点在点0t的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义,若若)()(lim00tftftt 则称向量值函数则称向量值函数)(tf在在0t连续连续.)(tf的三个分量函数的三个分量函数)(),(),(321tftf

6、tf都在都在0t连续连续.定义定义设向量值函数设向量值函数.),(Dttf 若若,1DD )(tf在在1D中的每一点中的每一点都连续，则称都连续，则称)(tf在在1D上连续上连续,并称并称)(tf1D为为上的连续函数上的连续函数.一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例定义定义.|dd0tttr 设向量值函数设向量值函数)(tf在点在点0t的某一邻域内有定义的某一邻域内

7、有定义,如果如果ttfttftrtt )()(limlim0000存在存在,那么就称这个极限向量为向量值函数那么就称这个极限向量为向量值函数)(tfr 在在0t处的导数或导向量处的导数或导向量,记作记作)(0tf 或或l注注)(tf的三个分量函数的三个分量函数)(),(),(321tftftf都在都在0t可导可导.0t向量值函数向量值函数)(tf在在可导的充要条件可导的充要条件:当当)(tf在在0t可导时可导时,.)()()()(321ktfjtfitftf )(tf1D),(0tf 设向量值函数设向量值函数.),(Dttf 若若,1DD )(tf在在1D中的每一点中的每一点都存在导向量都存在

8、导向量在在上可导上可导.那么就称那么就称运算法则运算法则(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)0dd Ct)()(ddtuctcut )()()()(ddtvtutvtut )()()()()()(ddtuttuttutt )()()()()()(ddtvtutvtutvtut )()()(ddtuttut )()()()()()(ddtvtutvtutvtut 设设)(),(),(ttvtu 可导可导,C是常向量是常向量,c是任一常数，则是任一常数，则几何意义几何意义xyzOr割向量割向量0 t向量向量向量值函数向量值函数Dttfr ),(的终端曲线的终端曲线,为空间曲线为空间曲线割向量

9、割向量切向量切向量与与t 的增长方向一致的增长方向一致0 t与与t 的增长方向相反的增长方向相反与与t 的增长方向一致的增长方向一致与与t 的增长方向一致的增长方向一致向量值函数向量值函数Dttfr ),(的终端曲线的终端曲线在点在点M处的一个切向量处的一个切向量,其指向与其指向与t 的增长方向一致的增长方向一致.MNr tr trt 0lim:)(0tf),(0tfOM )(0ttfON 指向指向,0)(0 tf设设一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数

10、及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例u例例1).(lim4tft 设设,)(sin)(cos)(tkjtittf 求求u例例2u例例3(1)滑翔机在任意时刻滑翔机在任意时刻t 的速度向量和加速度向量的速度向量和加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻滑翔机在任意时刻t 的速率的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻滑翔机的加速度与速度正交的时刻.设空间曲线设空间曲线的向量方程为的向量方程为,),62,34,1()(22Rttttttfr 求曲线求曲线在与在与20 t相应的点处的单位切向量相应的点处的单位切向量.一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上

11、升气流而位置一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而位置向量为向量为ktjtittfr2)sin3()cos3()(的路径螺旋的路径螺旋式向上式向上.求求复习复习:平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线)(xfy),(00yx切线方程0yy 法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为,0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在点),(00yx切线方程法线方程)(0yy),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在点有有因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 一、一、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M

12、 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.1.曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况)(,)(,)(:tztytxzzzyyyxxx000,t上述方程之分母同除以得令,0t切线方程切线方程000zzyyxx),(0000zyxMtt对应设),(0000zzyyxxMttt对应)(0t)(0t)(0tTMM:的方程割线MM)(00 xxt此处要求)(,)(,)(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量.)()(00yyt0)(00zzt如个别为0,则理解为分子为 0.M不全为0,)(,)(

13、,)(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 说明说明:若引进向量函数)(,)(,)()(ttttr,则 为 r(t)的矢端曲线,0t而在处的导向量)(,)(,)()(0000ttttr就是该点的切向量.o)(trTzyxo例例1.求圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos2对应点处的切线方程和法平面方程.,2时当切线方程 Rx法平面方程xR022kzkxR即002RykRzRxk即解解:由于,sinRx0Ry kkz2,cosRy,kz),0(20kRM对应的切向量为0)(2kzk在),0,(kRT,故2.曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当0

14、),(),(zyGFJ)()(xzxyxydd曲线上一点),(000zyxM,且有xzdd,),(),(1xzGFJ,),(),(1yxGFJ 时,可表示为处的切向量为 MMyxGFJxzGFJ),(),(1,),(),(1,1)(,)(,100 xxT 000zzyyxxMzyGF),(),(则在点),(000zyxM切线方程切线方程法平面方程法平面方程有MzyGF),(),(MxzGF),(),(MyxGF),(),()(0 xx MyxGF),(),(MxzGF),(),()(0yy 0)(0 zz或MMMyxGFxzGFzyGFT),(),(,),(),(,),(),(例例2.求曲线0

15、,6222zyxzyx在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.xxzzxyydddd解解:方程组两边对 x 求导,得1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2,1)处有:切向量解得11zx,zyxzzyyx)1,0,1(MMxzxyTdd,dd,1切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0)1()1()2(0)1(1zyx即0 zx点 M(1,2,1)处的切向量011)1,0,1(T0),(:zyxF二、二、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0tt 设对应点 M,)(,)(,)(000ttt切线方

16、程为)()()(000000tzztyytxx不全为0.则 在,)(,)(,)(:tztytx且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面.上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.)(,)(,)(000tttTMT证:在 上,)(,)(,)(:tztytx0)(,)(,)(tttF,0处求导两边在tt,0Mtt对应点注意)(0t0),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFz)(0t)(0t得)(,)(,)(000tttT),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的

17、任意性,表明这些切线都在以为法向量n的平面上,从而切平面存在.n)(),(0000 xxzyxFx曲面 在点 M 的法向量法向量法线方程法线方程 000zzyyxx)(),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzMTn),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx)(),(000 xxyxfx曲面时,),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点),(zyx故当函数),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,

18、yyfF 1zF令有在点),(000zyx特别特别,当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时,)(),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程,法向量法向量用2211cosyxff将),(,),(0000yxfyxfyx,yxff法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向.为锐角则分别记为则,1cos,1cos2222yxyyxxffffff向上,)1,),(,),(0000yxfyxfnyx例例3.求球面3632222zyx在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解解:3632),(222zyxzyxF所以球面在点(1,2,3)处有:切平面

19、方程切平面方程)1(2x03694zyx即法线方程法线方程321zyx)2(8y0)3(18z149法向量令)6,4,2(zyxn)18,8,2()3,2,1(n例例4.确定正数 使曲面zyx222zyx在点),(000zyxM解解:二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切,故000000000zyxyzxxzy0 x202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2a相切.333a与球面,),(0000001yxzxzyn),(0002zyxn 21/nn,因此有20y20z21.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程 000zzy

20、yxx法平面方程)(00 xxt1)参数式情况.)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量内容小结内容小结)(0t)(0t)(0t)()(00yyt0)(00zzt)(,)(,)(000tttT切线方程法平面方程MMMyxGFzzxzGFyyzyGFxx),(),(),(),(),(),(000空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxFMzyGF),(),(切向量2)一般式情况.,),(),(MzyGF,),(),(MxzGFMyxGF),(),()(0 xx MxzGF),(),()(0yy MyxGF),(),(0)(0 zzT空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程

21、),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)(),()(),(00000000yyzyxFxxzyxFyx1)隐式情况.的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程2.曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线),(,),(,),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx空间光滑曲面),(:yxfz)(),()(),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff2)显式情况.法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量)1,(yxffn思考与练习思考与练习1.如果平面01633zyx与椭球面相切,提示提示:设切点为,),(000zyxM则223yx.求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2162 z(二法向量平行)(切点在平面上)(切点在椭球面上)证明 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.提示提示:在曲面上任意取一点,),(000zyxM则通过此0zz)(0 xxxzM)(0yyyzM2.设 f(u)可微,证明原点坐标满足上述方程.点的切平面为