线性代数第一章第四节《对换》课件.ppt

1、一、对换的定义一、对换的定义定义定义在排列中，将任意两个元素对调，其余在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换对换将相邻两个元素对调，叫做将相邻两个元素对调，叫做相邻对换相邻对换mlbbbaaa11例如例如 bamlbbabaa11abnmlccbbbaaa111nmlccabbbaa111baab二、对换与排列的奇偶性的关系二、对换与排列的奇偶性的关系定理定理1 1一个排列中的任意两个元素对换，排列一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性改变奇偶性证明证明设排列为设排列为mlbbabaa11对换对换 与与abmlbbbaa

2、a11除除 外，其它元素的逆序数不改变外，其它元素的逆序数不改变.b,aabba当当 时，时，ba ab的逆序数不变的逆序数不变;经对换后经对换后 的逆序数增加的逆序数增加1,经对换后经对换后 的逆序数不变的逆序数不变，的逆序数减少的逆序数减少1.ab因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.设排列为设排列为nmlcbcbabaa111当当 时，时，ba 现来对换现来对换 与与a.b次相邻对换次相邻对换mnmlccbbabaa111次相邻对换次相邻对换1 mnmlccabbbaa111,111nmlcbcbabaa次相邻对换次相邻对换12 m,111nmlcac

3、bbbaa所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性奇偶性.abnmlccbbbaaa111abab推论推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.nppptnaaaD21211 定理定理2 2 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为n其中其中 为行标排列为行标排列 的逆序数的逆序数.tnppp21证明证明 由定理由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数变化次数,而标准排列是偶排列而标准排列是偶排列(逆序数为逆序数为

4、0),因此因此知推论成立知推论成立.证明证明按行列式定义有按行列式定义有 nnppptaaaD21211 nppptnaaaD211211 记记对于对于D中任意一项中任意一项 ,12121nnppptaaa 总有且仅有总有且仅有 中的某一项中的某一项1D ,12121nqqqsnaaa 与之对应并相等与之对应并相等;反之反之,对于对于 中任意一项中任意一项1D ,12121nppptnaaa 也总有且仅有也总有且仅有D中的某一项中的某一项 ,12121nnqqqsaaa 与之对应并相等与之对应并相等,于是于是D与与1D中的项可以一一对应并相等中的项可以一一对应并相等,从而从而.1DD 定理定理

5、3 3 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为n nnqpqpqptaaaD22111 其中其中 是两个是两个 级排列，级排列，为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和.nnqqq,ppp2121nt例例1 1 试判断试判断 和和655642312314aaaaaa662551144332aaaaaa 是否都是六阶行列式中的项是否都是六阶行列式中的项.解解655642312314aaaaaa下标的逆序数为下标的逆序数为 6102210431265 t所以所以 是六阶行列式中的项是六阶行列式中的项.655642312314aaaaaa662551144332aaaa

6、aa 下标的逆序数为下标的逆序数为 8452316 t所以所以 不是六阶行列式中的项不是六阶行列式中的项.662551144332aaaaaa 例例2 2 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.;)1(651456423123aaaaaa.)2(256651144332aaaaaa解解651456423123)1(aaaaaa431265的逆序数为的逆序数为012201 t,6 所以所以 前边应带正号前边应带正号.651456423123aaaaaa,655642312314aaaaaa行标排列行标排列341562的逆序数为的逆序数为列标排列列标排列23

7、4165的逆序数为的逆序数为400301 t所以所以 前边应带正号前边应带正号.256651144332aaaaaa256651144332)2(aaaaaa6400200 t例例3 3 用行列式的定义计算用行列式的定义计算nnDn0000000010020001000 !.1221nDnnn 221 nn解解 nnnnntnaaaaD1,12,21,11 nnt 1211 ,!1 nt nnnt2121 1232 nn 1.1.一个排列中的任意两个元素对换，排列改一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性变奇偶性2.2.行列式的三种表示方法行列式的三种表示方法 nppptnaaaD2121

8、1 nnppptaaaD21211 nnqpqpqptaaaD22111 三、小结三、小结其中其中 是两个是两个 级排列，级排列，为行为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和标排列逆序数与列标排列逆序数的和.nnqqq,ppp2121nt思考题思考题证明证明 在全部在全部 阶排列中阶排列中 ,奇偶排列各占奇偶排列各占一半一半.n 2 n思考题解答思考题解答证证 设在全部设在全部 阶排列中有阶排列中有 个奇排列个奇排列,个偶个偶排列排列,现来证现来证 .nstts 将将 个奇排列的前两个数对换个奇排列的前两个数对换,则这则这 个奇排个奇排列全变成偶排列列全变成偶排列,并且它们彼此不同并且它们彼此不同,所以所以ss.ts 若将若将 个偶排列的前两个数对换个偶排列的前两个数对换,则这则这 个偶排列个偶排列全变成奇排列全变成奇排列,并且它们彼此不同并且它们彼此不同,于是有于是有tt.st 故必故必有有.ts