线性代数第五章第五节《二次型及其标准形》课件.ppt
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- 关 键 词:
- 二次型及其标准形 线性代数 第五 五节 二次 及其 标准 课件
- 资源描述:
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1、5 二次型及其标准形二次型及其标准形1000对应对应 11,0.xxy yx0(,)P x y111(,)P xy投影变换投影变换 例例 2阶方阵阶方阵 cossinsincos 对应对应 1111cossin,sincos.xxyyxy 以原点为中心逆时针以原点为中心逆时针旋转旋转 角角的的旋转变换旋转变换 例例 2阶方阵阶方阵 (,)P x y111(,)P xy yx0n解析几何中,二次曲线的一般形式解析几何中,二次曲线的一般形式ax2+bxy+cy2=0 通过选择适当的的旋转变换通过选择适当的的旋转变换使得使得 mx 2+ny 2=0 定义:定义:含有含有 n 个变量个变量 x1,x2
2、,xn 的二次齐次函数的二次齐次函数称为称为二次型二次型cossin,sincos.xxyyxy 22212111222121213131,1(,)222nnnnnnnnf xxxa xa xa xa x xa x xaxx22212111222121213131,12111121211221212222221122,1222(,)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnijiji jf xxxa xa xa xa x xa x xaxxa xa x xa x xa x xa xa x xa x xa x xa xa x x 令令 aij=aji,则,则 2 aij xi xj=aij xi
3、xj+aji xi xj,于是,于是212111121211221212222221122(,)nnnnnnnnnnnnf xxxa xa x xa x xa x xa xax xa x xax xa x 11111221()nnx a xa xa x22112222()nnx a xa xax1122()nnnnnnx a xaxa x11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xaxxxxa xaxa x 1112112122221212(,)nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax Tx Ax 对称阵对称阵1112112122221
4、21212(,)(,)nnnnnnnnnaaaxaaaxf xxxxxxaaax 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 对称阵对称阵 A 的秩也叫做的秩也叫做二次型二次型 f 的秩的秩线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.对称阵的对称阵的二次型二次型二次型二次型的矩阵的矩阵对于二次型,寻找可逆的线性变换对于二次型,寻找可逆的线性变换使二次型只含平方项,即使二次型只含平方项,即f =k1 y12+k2 y22+kn yn2 定义:定义:只含平方项的二次型称为二次型的只含平方项的二次型称为二次型的标准形标准形(或法式)(或法式).如果标准形的
5、系数如果标准形的系数 k1,k2,kn 只在只在1,0,1三个数中取值三个数中取值,即即 f =k1 y12+kp yp2 kp+1 yp+12 kr yr2 则上式称为二次型的则上式称为二次型的规范形规范形说明:这里只讨论实二次型,所求线性变换也限于实数范围说明:这里只讨论实二次型,所求线性变换也限于实数范围.11111221221122221122,.nnnnnnmnnnxc yc yc yxc yc ycyxc ycycy 简记为简记为 x=C y,于是于是 f=xTAx =(C y)T A(C y)=yT(CTAC)y定义:定义:设设 A,B 都是都是 n 阶矩阵,若有可逆矩阵阶矩阵,
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