高等数学第一章第七节《无穷小的比较》课件.ppt

1、 第一章,0时xxxxsin,32都是无穷小,第七节引例引例.xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的.无穷小的比较,0limCk定义定义.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若,1lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小,记作例如例如,当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如，2

2、2)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且例例1.证明:当0 x时,11nxxn1证证:lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb定理定理1.)(o证证:1lim,0)1lim(0lim即,)(o即)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x,)(sinxoxx)(tanxoxx定理定理2.设,且lim存在,则lim lim证证:limlim limlimlim lim例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052设对同一

3、变化过程,为无穷小,说明说明:无穷小的性质,由等价可得简化某些极限运算.例如,xxxx3sinlim30 xxxx3lim3031.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1(tanlimxxxx2132210limxxxx例例1.求解解:原式 231x221x例例2.求.1cos1)1(lim3120 xxx解解:,0时当x1)1(312 x231x1cosx221x0limx原式32内容小结内容小结0lim,0,)0(C,1,0lim Ck1.无穷小的比较设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小2.等价无穷小替换定理,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1思考与练习思考与练习Th 2P59 题1,2常用等价无穷小: