高等数学第一章第六节《极限存在准则及两个重要极限》课件.ppt

1、二、二、两个重要极限两个重要极限 一、极限存在准则一、极限存在准则第六节极限存在准则及两个重要极限 第一章 极限存在准则极限存在准则夹逼准则;单调有界准则;柯西审敛准则.azynnnnlimlim)2(1.夹逼准则夹逼准则(准则1),2,1()1(nzxynnnaxnnlim证证:由条件(2),0,1N当1Nn 时,ayn当2Nn 时,azn令,max21NNN 则当Nn 时,有,ayan,azan由条件(1)nnnzxya a即,axn故.limaxnn,2N例例1.证明11211lim222nnnnnn证证:利用夹逼准则.nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn1

2、1lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由2.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限(准则2)Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xxab例例2.设,),2,1()1(1nxnnn证明数列nx极限存在.(P52P54)证证:利用二项式公式,有nnnx)1(11nn 1!121!2)1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!)1()1(11)1(1!1nn)1(2n)1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n11nx)1(1!1nn)1(2n)1(1

3、nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211!)1(1nnnnn大大 大大 正正),2,1(1nxxnn11)1(1nnnx!21!31!1n又比较可知根据准则 2 可知数列nx记此极限为 e,ennn)1(lim1 e 为无理数,其值为590457182818284.2e即有极限.11)1(1nnnx!21!31!1n1121221121n又32121111n1213n2.函数极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则定理定理2.,),(0时当xxAxhxgxxxx)(lim)(lim00,)()(xhxg

4、)(xfAxfxx)(lim0)0(Xx)(x)(x)(x且1sincosxxx圆扇形AOB的面积二、二、两个重要极限两个重要极限 1sinlim.10 xxx证证:当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x,1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有注注当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注例例2.求.tanlim0 xxx例例4.求.arcsinlim0 xxx例例3.求.cos1lim20 xxx nnnR

5、cossinlim2Rn例例5.已知圆内接正 n 边形面积为证明:.lim2RAnn证证:nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明:计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx2exxx)1(lim1说明说明:此极限也可写为ezzz1)1(lim0例例6.求.)1(lim1xxx解解:令,xt则xxx)1(lim1ttt)1(lim1 1limttt)1(1e1说明说明：若利用,)1(lim)()(1)(exxx则 原式111)1(limexxxlimx例例7.求.)cos(sinlim11xxxx解解:原式=2)cos(sinlim211xxxx2)sin1(lim2xxx)sin1(2xexx22sinx2sin1内容小结内容小结(1)数列极限存在的夹逼准则函数极限存在的夹逼准则2.两个重要极限1sinlim)1(0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注:代表相同的表达式思考与练习思考与练习填空题填空题 (14);_sinlim.1xxx;_1sinlim.2xxx;_1sinlim.30 xxx;_)11(lim.4nnn0101e