线性代数第五章第七节《正定二次型》课件.ppt

1、一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩下面我们限定所用的变换为下面我们限定所用的变换为实变换实变换，来研究，来研究二次型的标准形所具有的性质二次型的标准形所具有的性质 .,0 ,0 ,)(11122222112222211相等相等中正数的个数中正数的个数中正数的个数与中正数的个数与则则及及使使及及有两个实的可

2、逆变换有两个实的可逆变换为为它的秩它的秩设有实二次型设有实二次型惯性定理惯性定理定理定理 rrirrirrTkkzzzfkykykykfPzxCyxrAxxf 222164zyxf 为为正定二次型正定二次型22213xxf 为为负定二次型负定二次型 .,0)(0;,00 0,0,)(1是是负负定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵为为负负定定二二次次型型则则称称都都有有如如果果对对任任何何是是正正定定的的并并称称对对称称矩矩阵阵次次型型为为正正定定二二则则称称显显然然都都有有如如果果对对任任何何设设有有实实二二次次型型定定义义AfxfxAffxfxAxxxfT 例如例如证明证明使使设设可可逆逆变变换

3、换Cyx .21iniiykCyfxf 充分性充分性 .,10niki 设设,0 x任给任给,0 xCy1-则则故故 .021 iniiykxf.:2个系数全为正个系数全为正它的标准形的它的标准形的件是件是为正定的充分必要条为正定的充分必要条实二次型实二次型定理定理nAxxfT 必要性必要性,0 sk假假设设有有,)(时时单单位位坐坐标标向向量量则则当当sey .0 sskCef,0 sCe显显然然.为正定相矛盾为正定相矛盾这与这与 f故故 .,10niki 推论对称矩阵推论对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的特征值全为正的特征值全为正AA,011 a,02221121

4、1 aaaa,;01111 nnnnaaaa .,2,1,011111nraaaarrrrr 这个定理称为霍尔维茨定理这个定理称为霍尔维茨定理定理定理3 3 对称矩阵对称矩阵 为正定的充分必要条件是：为正定的充分必要条件是：的各阶主子式为正，即的各阶主子式为正，即AA对称矩阵对称矩阵 为负定的充分必要条件是：奇数阶主为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即子式为负，而偶数阶主子式为正，即A正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性质;,A,.1 1T定定矩矩阵阵均均为为正正则则为为正正定定实实对对称称阵阵设设 AAA.,.2 矩矩阵阵也也是是正正定定则则阶阶

5、正正定定矩矩阵阵均均为为若若BAnBA 例例1 1 判别二次型判别二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf,524212425 它的顺序主子式它的顺序主子式,05 ,011225 ,01524212425 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.例例2 2 判别二次型判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为,502040202 A用用特征值判别法特征值判别法.0 AE 令令.6,4,1321 故此二次型为正定二次型故此二次型为

6、正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，A例例3 3 判别二次型判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩阵为的矩阵为f,0511 a,026622522211211 aaaa,080 A.13为负定为负定知知根据定理根据定理f,402062225 A2.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导.00,是否为正定矩阵是否为正定矩阵矩阵矩阵试判定分块试判定分块阶正定矩阵阶正定矩阵阶阶分别为分别为设设 BACnmBA.是正定的是正定的C解解于是于是量量不同时为零向不同时为零向则则若若维列向量维列向量维和维和别是别是分分其中其中维向量维向量为为设设因为因为,0,),(,yxznmyxnmyxzTTT yxBAyxCzzTTT00),(,0 ByyAxxTT.,为正定矩阵为正定矩阵故故是实对称阵是实对称阵且且CC