高等数学第十二章第二节《常数项级数的审敛法》课件.ppt

1、二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若,0nu1nnu定理定理 1.正项级数1nnu收敛部分和序列nS),2,1(n有界.若1nnu收敛,收敛则nS,0nu部分和数列nSnS有界,故nS1nnu从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证证:“”“”定理定理2(比较审敛法比较审敛法)设,1nnu1nnv且(1)若级数1nnv则级数1nnu(2)若级数1nnu则级数1nnv则有收敛,也收敛

2、;发散,也发散.nnvu 是两个正项级数,(n=1,2,3)例例1.讨论 p 级数pppn131211(常数 p 0)的敛散性.调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1)1(nun,)1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu证明级数1)1(1nnn发散.证证:因为2)1(1)1(1nnn),2,1(11nn而级数111nn21kk发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.定理定理3.(比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3)当 l=,1发散

3、时且nnv.1也发散nnu设两正项级数满足(1)当 0 l 时,nunv,limlvunnn是两个正项级数正项级数,(1)当 时,l0两个级数同时收敛或发散;特别取,1pnnv 可得如下结论:对正项级数,nu,1p l0lunn limpn,1p l0发散nu(2)当 且 收敛时,0lnv(3)当 且 发散时,lnv也收敛;nu也发散.nu收敛nu的敛散性.nnn1lim例例3.判别级数11sinnn的敛散性.解解:nlim sin1nn11根据比较审敛法的极限形式知.1sin1发散nn例例4.判别级数1211lnnn解解:nlim221limnnn1根据比较审敛法的极限形式知.11ln12收

4、敛nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn定理定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法)设 nu为正项级数,且,lim1nnnuu则(1)当1(2)当1 时,级数收敛;或时,级数发散.(3)当时,级数可能收敛可能发散;1 1lim1nnnuu说明说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数:11npnnnnuu1limppnnn1)1(1lim1但,1p级数收敛;,1p级数发散.limn例例5.讨论级数)0(11xxnnn的敛散性.解解:nnnuu1limnxn)1(1nxnx根据定理4可知:,10时当 x级数收敛;,1时当 x级数发散;.1发散级数nn,1时当

5、x定理定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设 1nnu为正项级,limnnnu则;,1)1(级数收敛时当.,1)2(级数发散时当 数,且1时,级数可能收敛也可能发散.(3)例如,p 级数:11pnnpnnnnu1)(1n,1pnnu 但,1p级数收敛;,1p级数发散.例例6.证明级数11nnn收敛于S,似代替和 S 时所产生的误差.解解:nnnnnu1n1)(0n由定理5可知该级数收敛.令,nnSSr则所求误差为21)2(1)1(10nnnnnr21)1(1)1(1nnnn1)1(1nnnnn)1(11111n并估计以部分和 Sn 近 二二、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符

6、号正负相间的级数nnuuuu1321)1(称为交错级数交错级数.定理定理6.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数;),2,1()11nuunn,0lim)2nnunnnu11)1(收敛,且其和,1uS 其余项满足.1nnur,2,1,0nun设收敛收敛nn1)1(4131211)11!1)1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:nnn10)1(104103102101)31432收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?;1)11nn;!1)21nn.10)31nnn发散收敛收敛 !)1(1 n!1n11 nnnuu1 10

7、1 1nnnn10 nn1101 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意项级数,1nnu若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级111)1(nnn,!)1(1)1(11nnn1110)1(nnnn1nnu收敛,1nnu数1nnu为条件收敛.均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛.证证:设1nnunv),2,1(n根据比较审敛法显然,0nv1nnv收敛,收敛12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu也收敛)(21nnuu 且nv,nu收敛,令例例7.证明下列级数绝对收敛:.)1()2(;sin)1(1214nn

8、nnennn证证:(1),1sin44nnn而141nn收敛,14sinnnn收敛因此14sinnnn绝对收敛.(2)令,2nnenu nnnuu1lim limn12)1(nennen2211limnnen11e因此12)1(nnnen12)1(nnnen收敛,绝对收敛.内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件0limnnu不满足发 散满足比值审敛法 limn1nunu根值审敛法nnnulim1收 敛发 散1不定 比较审敛法用它法判别部分和极限13.任意项级数审敛法为收敛级数1nnu设Leibniz判别法:01nnuu0limnnu则交错级数nnnu1)1(收敛概念:,1收敛若nnu1nnu称绝对收敛,1发散若nnu条件收敛1nnu称思考与练习思考与练习设正项级数1nnu收敛,能否推出12nnu收敛?提示提示:nnnuu2limnnu lim0由比较判敛法可知12nnu收敛.注意注意:反之不成立.例如,121nn收敛,11nn发散.Ex:;)1ln(1)1(1nn1.判别级数的敛散性:.1)2(1nnnn解解:(1),)1ln(nnnn1)1ln(111nn发散,故原级数发散.11npnp:级数不是 p级数(2)nlimnnn1lim111nn发散,故原级数发散.nnn1n1