高等数学第十一章第七节《斯托克斯公式环流量与旋度》课件.ppt
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1、三、环流量与旋度三、环流量与旋度 斯托克斯公式 环流量与旋度 第七节一、斯托克斯公式一、斯托克斯公式*二、空间曲线积分与路径无关的条件二、空间曲线积分与路径无关的条件*四、向量微分算子四、向量微分算子 yozx一一、斯托克斯斯托克斯(Stokes)公式公式 定理定理1.设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,yxyPxQxzxRzPzyzQyRddddddzRyQxPddd(斯托克斯公式斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,的侧与 的正向符合右手法则,RQP,在包含 在内的一证证:情形情形1 与平行 z 轴的直线只交于 一点,设其方程为yxDyxyxfz),(,),(:n为确定起见,不妨设
2、取上侧(如图).yxDC则有则xPdCxyxzyxPd),(,(利用格林公式)yxyxzyxPyyxDdd),(,(yxyzzPyPyxDddSfzPyPydcos,cos2211yxff,cos221yxyfffcoscosyfyozxnyxDC因此SzPyPxPdcoscoscosdSyPzPdcoscosyxyPxzzPdddd同理可证yQdzyzQyxxQddddxRdxzxRzyyRdddd三式相加,即得斯托克斯公式;情形情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线把 分成与z 轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的
3、两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意注意:如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:RQPzyxyxxzzyddddddzRyQxPddd 或用第一类曲面积分表示:SRQPzyxdcoscoscoszRyQxPddd yxzyxxzzyzyxddddddzxy111o例例1.利用斯托克斯公式计算积分zyyxxzddd其中为平面 x+y+z=1 被三坐标面所截三角形的整个解解:记三角形域为,取上侧,则边界,方向如图所示.zyyxxzdddyxxzzydddddd利用对称性yx
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