高等数学第六章第三节《定积分在物理学上的应用》课件.ppt

1、第三节一、一、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功二、二、液体的侧压力液体的侧压力三、三、引力问题引力问题定积分在物理学上的应用 第六六章 一、一、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间,ba上所作的功为baxxFWd)(例例1.一个单求电场力所作的功.qorabrrdr 11解解:当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为2rqkF 则功的元素为rrqkWdd2所求功为bar

2、rqkWd2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处(a b),在一个带+q 电荷所产生的电场作用下,S例例2.体,求移动过程中气体压力所ox解解:由于气体的膨胀,把容器中的一个面积为S 的活塞从点 a 处移动到点 b 处(如图),作的功.ab建立坐标系如图.xxdx 由波义耳马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比,即,SxkVkp 功元素为WdxFdxxkd故作用在活塞上的SpFxk所求功为baxxkWdbaxk lnabkln力为在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气 例例3.试问要把桶中的水全

3、部吸出需作多少功?解解:建立坐标系如图.oxm3xxxdm5在任一小区间d,xxx上的一薄层水的重力为gxd32这薄层水吸出桶外所作的功(功元素功元素)为Wdxxdg9故所求功为50Wxxdg9g922xg5.112(KJ)设水的密度为05(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m,底圆半径为3m,面积为 A 的平板二、液体侧压力二、液体侧压力设液体密度为 深为 h 处的压强:hpgh当平板与水面平行时,ApP 当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强xpg33g2R例例4.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解解:建立坐标系如图.所论半圆的22

4、xRy)0(Rx 利用对称性,侧压力元素RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xR Pdxg端面所受侧压力为xd方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为 0arcsin22g4222RRxRxRxR,d222xxR 说明说明:当桶内充满液体时,)(gxR 小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxR RxxRR022dg4tRxsin令(P350 公式67)oxyRxxxd三、三、引力问题引力问题质量分别为21,mm的质点,相距 r,1m2mr二者间的引力:大小:221rmmkF 方向:沿两质点的连线若考虑物体物

5、体对质点的引力,则需用积分解决.例例5.设有一长度为 l,线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,M该棒对质点的引力.解解:建立坐标系如图.y2l2l,dxxx细棒上小段对质点的引力大小为 dkF xm d22xa 故垂直分力元素为cosddFFya22dxaxmk22xaa23)(d22xaxamkaxox在试计算FdxFdyFdxxd利用对称性利用对称性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力.0 xF22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为2lFdxFdyFdMy2laoxxxx

6、d棒对质点的引力的垂直分力为 y2l2laoxxxdx说明说明:amk2当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.y内容小结内容小结(1)先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ一般微元的几何形状有:扇扇、片片、等.(2)然后用定积分来表示整体量 Q,并计算之.1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:2.定积分的物理应用:变力作功,侧压力,引力,条条、段段、带带、锐角 取多大时,薄板所受的压力 P 最大.Ex:斜边为定长的直角三角形薄板,垂直放置于解解:选取坐标系如图.设斜边长为 l,水中,并使一直角边与水面相齐,coscotlxyxxygdsin02d)coscot(lxxlxg)cos(cos633lgloyxy则其方程为问斜边与水面交成的xxxdsin0lP)cos(cos633lgP,0ddP令33arccos0故得唯一驻点 故此唯一驻点0即为所求.由实际意义可知最大值存在,即0sincos3sin2,),0(2loyxyxxxd