工程力学第13章-压杆稳定课件.ppt
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- 工程力学 13 稳定 课件
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1、第13章 压杆稳定13.1压杆稳定性的概念在第6章中讨论压杆的强度计算时,认为杆总是在直线形状下保持平衡,杆的失效都是由于强度不足而引起的。事实上,这种考虑仅对于粗短的压杆才有意义。对于细长的压杆,在其破坏以前,就已不能保持其原有的直线形状的平衡,即本篇引言中所述的失稳。构件一旦失稳,可能导致整个承载系统或结构不能安全可靠的工作,甚至会造成严重的后果。为了进一步介绍有关压杆稳定性的概念,现研究一根理想状态下的等直细长压杆,此压杆由均质材料制成,在两端受轴向压力F作用(图13-1a)。设此杆在F力作用下处于直线形状的平衡状态。如果对杆施加一微小横向力,则压杆将发生弯曲变形。若压杆在弹性阶段内工作
2、,则当横向力撤除后,压杆将随轴向压力F的大小不同而会出现两种不同的情况:当压力F未达到某一界限值时,已变弯的压杆会在横向力撤除后自行恢复到原来的直线形状(图13-1b);但当压力F超过某一界限值后,则已变弯的压杆将在横向力撤除后,不能再恢复到原来的直线形状(图13-1c)。前一情况表明,压杆的原有直线形状的平衡是稳定的,而后一情况则表明压杆的原有直线形状的平衡是不稳定的。由上述可见,此细长压杆在直线形状下的平衡是否稳定,与压力F的大小有关。当轴向压力由小逐渐增大到某一界限值时,压杆在直线形状下的平衡将由稳定的过渡到不稳定的。上述过渡,使压杆的直线平衡形式发生质的变化,它具有临界状态的性质,故轴
3、向压力F的这一界限值,称为压杆的临界力,用Fcr表示。当轴向压力达到此值时,压杆即向失稳过渡。所以,对于压杆稳定性的研究,其关键在于确定压杆的临界力。为了确定临界力的大小,现在研究如图13-2所示的长为l0、两端为球形铰支座的细长压杆AB。设此压杆受轴向压力Fcr作用而在微弯的变形形状下保持平衡。如前所述,压杆在临界力作用下,原有直线形状的平衡将从稳定过渡到不稳定,也就是说,在临界力作用下,压杆就开始有可能在微弯的形状下保持平衡。因此,可以认为使压杆在微弯的形状下保持平衡的最小F值,就是此细长压杆的临界力Fcr。要确定此临界力的值,应从研究压杆在微弯形状下的挠曲线着手。如果杆内的应力不超过材料
4、的比例极限,就可以利用梁弯曲变形的公式来写出此压杆挠曲线的近似微分方程式,即13.2细长压杆的临界力13.2.1两端铰支约束细长压杆的临界力两端铰支约束细长压杆的临界力式中,Fcr是不考虑正负号的数值,而在图13-2所选择的坐标系内,当压杆的挠曲线向下凸出时,w为负值;而为正值,如果挠曲线向上凸出,则w为正值,而 为负值。为了使等式两边的符号一致,所以在式(a)的右边加上了负号。若令 ,则经过移项后,式(a)可改写为式中,积分常数A、B以及 是未知量。这里的k之所以是个未知量,是因为现在还不知道Fcr的大小。根据杆端的边界条件:当x=0时,w=0,代入式(c)可以解得B=0。于是式(c)可改写
5、为w=Asinkx(d)杆的另一端的边界条件:当x=l0时,w=0,代入式(d)后得Asinkl0=0(e)由式(e)可知,A或sinkl0应等于零。但若A=0,则压杆轴线上各点的挠度都等于零,这与压杆在微弯的变形形状下保持平衡的前提相矛盾;因而只能是sinkl0等于零。满足这一条件的kl0值应为kl0=n式中,n=0、1、2。由此得或使压杆失稳的最小轴向压力应该在式(f)中取n=1。这就是所求的压杆的临界力Fcr,其计算公式为式(13-1)通常又称为两端铰支细长压杆的欧拉公式。在工程实际中,将遇到不同形式的杆端约束约束。要计算这些压杆的临界力Fcr,须依具体情况作具体分析。以图13-4所示长
6、为l、下端固定、上端自由的圆截面直杆为例,当作用力F小于临界力Fcr时,受横向干扰后,杆在微弯位置AC保持平衡。将曲线AC对称于m-m向下延长得CB,则ACB曲线就和图13-2所示的AB曲线完全相似,都是正弦曲线的半波。于是长为l、一端固定、一端自由的压杆的临界力,就可以按两端铰支细长压杆的临界力公式(13-1)来计算,但是,须将公式中的杆长l0用AB的长度2l来代替,即令l0=2l,代入公式(13-1)得依上讨论推知:长为l,杆端具有各种约束的细长杆的临界力,可统一表达为式中,称为长度因数,它反映了各种不同支承情况对临界力的影响;l称为计算长度。13.2.2其他约束情况下细长压杆的临界力其他
7、约束情况下细长压杆的临界力从公式(13-2)可知,临界力Fcr的大小,与压杆材料的弹性模量E、杆的计算长度l、截面对中性轴的惯性矩I值有关。几种常见的理想杆端约束情况的值列于表13-1中。从表中可以看到,两端都有支座的压杆,其长度因数在0.5到1.0的范围内。在实际情况中,压杆的杆端很难做到完全固定,只要杆端截面稍有发生转动的可能,这种杆端就不能看成是理想的固定端,而是接近于铰支端的情况,因此在设计中,常将压杆的长度因数取为接近于1.0的值,而使临界载荷偏于安全方面。在各种实际的杆端约束情况下,压杆的长度因数在一般的设计规范中都有具体的规定。由于习惯上常用应力来计算,我们也可以用临界力除以截面
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