工程振动测试技术01-第1章-振动的基本理论课件.ppt

1、刘习军刘习军工程振动测试技术工程振动测试技术工程振动测试技术工程振动测试技术刘习军刘习军 教授教授天津大学天津大学机械工程学院力学系机械工程学院力学系振动是指物体在其稳定的平衡位置附近所作振动是指物体在其稳定的平衡位置附近所作的往复运动。的往复运动。第第1章章 振动的基本理论振动的基本理论为了研究振动现象的基本特征，首先建立理想为了研究振动现象的基本特征，首先建立理想化的力学模型，即化的力学模型，即振动系统振动系统。具有连续分布的质量与弹性的系统，称为具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续连续弹性体系统弹性体系统，其运动方程是，其运动方程是偏微分方程偏微分方程。对连续系统进行简化，形成有限个

2、弹簧质量对连续系统进行简化，形成有限个弹簧质量的离散系统。称为的离散系统。称为离散系统离散系统或或多自由度系统多自由度系统，运动，运动方程是方程是常微分方程常微分方程。最简单的情况是最简单的情况是单自由度系统单自由度系统。1.1 振动系统的组成振动系统的组成一般来说，振动系统主要由弹簧、质量、阻尼一般来说，振动系统主要由弹簧、质量、阻尼器和激振力系统组成。器和激振力系统组成。1恢复力恢复力 弹簧是产生恢复力的弹性部件弹簧是产生恢复力的弹性部件(具有势能具有势能)。它。它可以是线性的也可以是非线性的。可以是线性的也可以是非线性的。2惯性力惯性力 质量产生惯性力质量产生惯性力(转动惯量转动惯量)具

3、有动能。具有动能。应用能量观点来说，产生的振动过程就是两种能应用能量观点来说，产生的振动过程就是两种能量的反复交换。量的反复交换。3阻尼力阻尼力 阻尼是对振动系统产生的阻尼力的总称，阻尼是阻尼是对振动系统产生的阻尼力的总称，阻尼是客观存在的，阻尼只能消耗能量。客观存在的，阻尼只能消耗能量。4激振力激振力激振力是振动系统之外的物体对振动系统的作用，激振力是振动系统之外的物体对振动系统的作用，是对振动系统进行能量补充的系统。是对振动系统进行能量补充的系统。a、周期函数形式的力、周期函数形式的力f(t)=f(t+m T),m=0,1,2,b、正弦函数形式的力、正弦函数形式的力c、周期性矩形波形式的力

4、、周期性矩形波形式的力d、冲激函数形式的力冲激函数形式的力tFtfsin)(F tff()0020ttttt 0)(1d)(tt单自由度系统单自由度系统的的弹簧质量系统弹簧质量系统 )(stxkmgxm 当物块在任意位置当物块在任意位置x时，物块的运动时，物块的运动微分方程为微分方程为 02 xpxn 其中其中mkpn 以物块的静平衡位置为坐标原点以物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下为正。当物块在静平衡位置轴铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件时，由平衡条件无阻尼自由振动微分方程无阻尼自由振动微分方程 固有圆频率固有圆频率0 0stkmgFx整理得整理得其通解为：其通解为：t

5、pCtpCxnnsincos2101xC tpxtpxx00000sincos002pxC其中其中C1和和C2为积分常数，由物块运动的起始条为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设件确定。设t=0时，时，可解可解00 xxxx，02 xpxn)sin(tpAxn )(arctg)(002020 xxppxxAnn 两种形式两种形式描述的物块振描述的物块振动，称为无阻动，称为无阻尼自由振动，尼自由振动，简称自由振动。简称自由振动。无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动动中心的简谐振动 初初相相位位角角 振振 幅幅振动的周期振动的周期kmpTn22

6、 系统的固有频率系统的固有频率mkpTfnn221系统的固有圆频率为系统的固有圆频率为fpn2 固有频率固有频率只与振动系统的弹簧常量只与振动系统的弹簧常量k和物块的质和物块的质量量 m 有关，而与运动的初始条件无关。有关，而与运动的初始条件无关。0eqeqqkqm 0kxxm meq-等效刚度。等效刚度。keq-等效质量。等效质量。内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。转中常常产生扭转振动，简称扭振。根据刚体转动微分方程建立该系统根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程的运动微分方程nOkI 02 np OnnIkp 固有圆频

7、率固有圆频率扭振的运动规律扭振的运动规律tpptpnnnsincos00 xcFc它与物体的形状、它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米米/秒秒(Ns/m)。图示为一有阻尼的弹簧图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的质量系统的简化模型。以静平衡位置简化模型。以静平衡位置O为坐标原点，为坐标原点，选选x轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程微分方程 kxxcxm 022 xpxnxn mkpn 2整理得整理得npn)(e21tCCxntkmmpnmcnc2 2 2。11Otx)ee(e222221tpntpnntnnCCx

8、npn)sincos(e21tpCtpCxddnt 其中其中C1和和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设设t=0时，时，可得可得00 xxxx，dpxnxC002 C1=x0 000220020tan)(nxxpxpnxxxAdd )sin(e tpAxdnt初初相相位位角角 振振 幅幅 这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。按负指数衰减的衰减运动。衰减振动衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而的往复运

9、动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。衰减。)sin(e tpAxdnt设衰减振动经过一周期设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两，在同方向的相邻两个振幅分别为个振幅分别为Ai和和Ai+1，即，即两振幅之比为两振幅之比为dnTiiAAe1称为振幅减缩率或减幅系数。称为振幅减缩率或减幅系数。由此可见由此可见，在弱阻尼情况下，周期的变化虽，在弱阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰减却非常显著然微小，但振幅的衰减却非常显著，它是按几何，它是按几何级数衰减的。级数衰减的。简谐激振力简谐激振力tFFsin0SF0为激振力的幅值，为激振力的幅值，w为激振力的圆为激振力的圆频率。物块运动微分

10、方程为频率。物块运动微分方程为 tFkxxcxmsin0 thxpxnxnsin22 ，mHhmcnmkpn 22具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是具有粘性阻尼的单自由度受迫振动微分方程，是二阶常系数线性非齐次常微分方程。二阶常系数线性非齐次常微分方程。整理得整理得其中其中00(0)(0)xxxx和和)()(21txtxxthxpxnxnsin22 022xpxnxn thxpxnxnsin22 )()(21txtxxtBtpAtxntsinsine)(d2n022220 ,12arctan,21phBpnpBBnntBtxsin)(2其中其中212arctannnpnp,222211

11、则有则有0BB称为放大系数称为放大系数 在低频区和高频区，当在低频区和高频区，当 11时，时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。Mme)dddd()(dd22tytxcyxktxm例例 在图示的系统中，物在图示的系统中，物块受粘性欠阻尼作用，其阻尼块受粘性欠阻尼作用，其阻尼系数为系数为c，物块的质量为，物块的质量为m，弹，弹簧的弹性常量为簧的弹性常量为k。设物块和。设物块和支撑只沿铅直方向运动，且支支撑只沿铅直方向运动，且支撑的运动为撑的运动为 ,试求试求物块的运动规律。物

12、块的运动规律。tbtysin)(建立物块的运动微分方程建立物块的运动微分方程 mxcxkxcykymxcxkxcbtkbtcossin整理得整理得即即设解为设解为 )dddd()(dd22tytxcyxktxmyxz令令tbmkztzctzmsindddd222)sin(tZz2222)()(cmkbmZ2tanmkctbtysin)(则得则得 2tanmkc)sin(tZz2222)()(cmkbmZtbtysin)()sin()(tByztx2222)2()1()2(1bB2223412arctan由于由于 则则 其中其中 2当频率比当频率比 0和和 时，无论阻尼比时，无论阻尼比 为为多少

13、，振幅多少，振幅B恒等于支承运动振幅恒等于支承运动振幅b；2 在实际问题中，遇到的大多是周期激励。在实际问题中，遇到的大多是周期激励。设粘性阻尼系统受到周期激振力设粘性阻尼系统受到周期激振力F tF tT()()F taantbntnnn()(cossin)01112谐波分析方法，得到谐波分析方法，得到系统的运动微分方程为系统的运动微分方程为mxcxkxF taantbntnnn()(cossin)01112周期周期T21基频基频由叠加原理，并考虑弱阻尼情况，得到系统的稳态响应由叠加原理，并考虑弱阻尼情况，得到系统的稳态响应x takAntBntnnnnn()cos()sin()01112n2

14、nn12222222212tan)2()1(1)2()1(1mpcmkppnkbBkaAnnnnnnnnnnn，Theory of Vibration with ApplicationsmIv 设设t=时，时，大小为大小为I的冲量作用在单自由度系统中，的冲量作用在单自由度系统中，根据碰撞理论，可得物块受冲量作用获得的速度根据碰撞理论，可得物块受冲量作用获得的速度系统的初始条件为系统的初始条件为x00mIvx0则物块的响应为则物块的响应为)(sine)(tpmpIxdtnd同理，对于在单位脉冲力作用下的受迫振动响应为同理，对于在单位脉冲力作用下的受迫振动响应为tttpmpthdtnd0),(si

15、ne1)()(mxcxkxF t()有一任意激振力有一任意激振力F(t)作用于系统作用于系统运动微分方程为运动微分方程为将激振力看作是一系列将激振力看作是一系列元冲量的叠加，元冲量的叠加，t=时时元元冲量为冲量为d)(FI 得到系统的响应得到系统的响应)(sined)(d)(tpmpFxdtnd1.2.6 系统对任意激振力的响应系统对任意激振力的响应由线性系统的叠加原理，由线性系统的叠加原理，tdtndttpmpFxtx0)(0d)(sine)(d)(tt1系统的响应系统的响应)(sined)(d)(tpmpFxdtnd单自由度系统对任意激振力响应的统一表达式单自由度系统对任意激振力响应的统一

16、表达式这个结论称为杜哈梅这个结论称为杜哈梅(Duhamel)积分。积分。tthFtx0d)()()(tt1tttpmpthdtnd0),(sine1)()(应用单自由度系统的振动理论，可以解决机应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。下面以两个自由度系统为例，论述一些基本下面以两个自由度系统为例，论述一些基本概念、方法和结论。概念、方法和结论。然后

17、推广到多自由度系统。然后推广到多自由度系统。这就是两自由度系统的自由振动微分方程这就是两自由度系统的自由振动微分方程00)(2212222212111xkxkxmxkxkkxm m xk xkxxm xkxx111122122221()()图示两自由度的图示两自由度的弹簧质量系统。略去弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼。摩擦力及其它阻尼。取两物体为研究对象，取两物体为研究对象，以各自的静平衡位置以各自的静平衡位置为坐标原点，由牛顿为坐标原点，由牛顿第二定律得第二定律得 整理得整理得mmxxkkkkkxx121212222120000 MxKx 0Mmmmm11122122质量矩阵质量矩阵 Kk

18、kkk11122122刚度矩阵刚度矩阵mij质量影响系数质量影响系数kij刚度影响系数刚度影响系数 xxx12 xxx12加速度列阵加速度列阵 坐标列阵坐标列阵写成矩阵形式写成矩阵形式根据微分方程的理论，设方程的解为根据微分方程的理论，设方程的解为)sin()sin(2211ptAxptAx002122222211211211AAmpkkkmpk代入微分方程代入微分方程化简可得代数齐次方程组化简可得代数齐次方程组 mmxxkkkkkxx121212222120000002122222211211211AAmpkkkmpk 02MpK022222121211211mpkkkmpk系数行列式等于零

19、系数行列式等于零 这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程这就是两自由度系统的频率方程，也称特征方程 02122211211222211422112kkkpkmkmpmmp它的展式为它的展式为 0)(24bcadpdap则特征方程可改写为则特征方程可改写为 引入记号引入记号 akmbkmckmdkm1111121121222222,)(22222,1bcaddadap这就是特征方程的两组特征根。这就是特征方程的两组特征根。p1、p2就是系统的自由振动频率，即固有圆频率。就是系统的自由振动频率，即固有圆频率。较低的频率较低的频率p1称为称为第一阶固有圆频率第一阶固有圆频率；较高的频率；较高的频

20、率p2称为称为第二阶固有圆频率第二阶固有圆频率。)(22222,1bcaddadap得振幅比得振幅比 222221222pdcbpaAA第二主振型第二主振型 212111121pdcbpaAA第一主振型第一主振型将固有圆频率分别代入将固有圆频率分别代入方程的解方程的解002122222211211211AAmpkkkmpk在第一主振动中，质量在第一主振动中，质量m1与与m2沿同一方向运动；沿同一方向运动；在第二主振动中，在第二主振动中，m1、m2的运动方向则是相反的。的运动方向则是相反的。这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统这表明，在振动过程中，振幅比决定了整个系统的相对位置。的相对位置

21、。根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微根据微分方程理论，两自由度系统的自由振动微分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即分方程的通解，是它的两个主振动的线性组合，即)sin()sin()()sin()sin()(22)2(211)1(2)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11tpAtpAxxtxtpAtpAxxtx21)2(1)1(1,AA由运动的初始条件确定。由运动的初始条件确定。例例 如图所示为一带有附于相同质量如图所示为一带有附于相同质量m并杆长相等为并杆长相等为l的双摆，采用质量的微小水平平移的双摆，采用质量的微小水平平移 x1和和x2 为坐标，为坐标，试

22、求系统的固有频率和振型。试求系统的固有频率和振型。21mg2T1T2mg2T22111sinsinTTxm 222sinTxm 解：分别以各质点解：分别以各质点m为研究对象，受力图如图所示为研究对象，受力图如图所示mgTT2211coscos0mgT22cos0lxxlx1221121sin sin 1cos 1cos03211gxlmgxlmxm 0122gxlmgxlmxm 由于由于运动微分方程为运动微分方程为3mgmgllKmgmgll 00mMm质量矩阵和刚度矩阵为质量矩阵和刚度矩阵为20Kp M由频率方程由频率方程0322mplmglmglmgmplmg即即2(1)mgp mladj

23、Bmgl 1211132.41412mglmgp ml221130.414mglmgp ml2BKp M由特征矩阵由特征矩阵的伴随矩阵的第一列的伴随矩阵的第一列分别代入频率值，得分别代入频率值，得glp)22(1glp)22(2解得解得两个质点的运动相互影响的现象叫做耦联，具两个质点的运动相互影响的现象叫做耦联，具有耦联性质的系统叫有耦联性质的系统叫耦联系统耦联系统。振动位移项的耦联，称为振动位移项的耦联，称为静力耦联静力耦联或弹性耦联。或弹性耦联。振动加速度项耦联，称为振动加速度项耦联，称为动力耦联动力耦联或质量耦联。或质量耦联。如果坐标选择得当，方程式没有耦联项。这正如果坐标选择得当，方程

24、式没有耦联项。这正是我们所希望的，经特别选择的没有耦联的坐标称是我们所希望的，经特别选择的没有耦联的坐标称为为主坐标主坐标。m xkkxk xm xk xk x111212222212200()例：图示为两个摆长、质量相同的单摆，中间例：图示为两个摆长、质量相同的单摆，中间以弹簧相连，形成两自由度系统。可以证明，当弹以弹簧相连，形成两自由度系统。可以证明，当弹簧刚度簧刚度k很小，在很小，在一定的初始条件一定的初始条件下，系统将作拍振。下，系统将作拍振。取取 、表示摆的角表示摆的角位移，逆钟向转动为正，位移，逆钟向转动为正，每个摆的受力如图。摆的每个摆的受力如图。摆的微分方程为微分方程为 120

25、)(2221221mlkamlkalg 0)(2221222mlkalgmlka lgp 12222mlkalgp1112得到系统的第一阶和第二阶固有频率为得到系统的第一阶和第二阶固有频率为得到系统的第一阶和第二阶主振型为得到系统的第一阶和第二阶主振型为)sin(11)1()1(1tp)sin(11)1()1(2tp第一主振动第一主振动)sin(22)2()2(1tp)sin(22)2()2(2tp第二主振动第二主振动)sin()sin(22)2(11)1()2(1)1(11tptp)sin()sin(22)2(11)1()2(2)1(22tptp系统振动的一般解系统振动的一般解初始条件：初始

26、条件：t t=0=0时时 01)0(0)0()0()0(2120)2()1(21221)cos(cos22101tptp)cos(cos22102tptp 因此得到双摆作自由振动的规律因此得到双摆作自由振动的规律代入得到代入得到 这时这时p1、p2相差很少，摆将出现拍振。将相差很少，摆将出现拍振。将上式写成上式写成 tpptpp2cos2cos121201tpptpp2sin2sin121202如果弹簧的刚度如果弹簧的刚度k很小，因而很小，因而222mlkalglgp 12222mlkalgp12ppp拍频率拍频率212pppa令令tptpacos2cos01tptpasin2sin02322

27、2glkampTB拍振周期拍振周期若改变初始条件为：若改变初始条件为：t t=0=0时时 012)0()0(0)0()0(21012)0()0(0)0()0(21双摆的原微分方程双摆的原微分方程0)(2221221mlkamlkalg 0)(2221222mlkalgmlka 0)(2121lg 0)(212221mlkalg 将以上两式相加、相减便得到将以上两式相加、相减便得到211212令令011lg0)(2222mlkalg上式变为上式变为 可见可见 是系统的主坐标，可直接得到其固是系统的主坐标，可直接得到其固有频率为有频率为21,lgp 12222mlkalgp设主坐标方程的解为设主坐

28、标方程的解为)sin(2)sin(222)2(211)1(1tptp双摆系统的物理坐标的解为双摆系统的物理坐标的解为)sin()sin()(2122)2(11)1(211tptp)sin()sin()(2122)2(11)1(212tptp其结果与直接求解微分方程的结果一样的，在多自由度系统振其结果与直接求解微分方程的结果一样的，在多自由度系统振动中，就是主要介绍寻找系统主坐标和求解的方法。动中，就是主要介绍寻找系统主坐标和求解的方法。000221122112222121222212112121111212111nnnnnnnnnnnnnnnnnnxkxkxkxmxmxmxkxkxkxmxmx

29、mxkxkxkxmxmxm 一般情况下，一般情况下，n个自由度无阻尼系统的自由振个自由度无阻尼系统的自由振动的运动微分方程具有以下形式动的运动微分方程具有以下形式 多自由度系统的振动多自由度系统的振动实际工程结构，其质量和弹性是连续分布的，系实际工程结构，其质量和弹性是连续分布的，系统具有无限多个自由度。可利用质量聚缩法等，使系统具有无限多个自由度。可利用质量聚缩法等，使系统简化为多自由振动系统，或称为多自由度振动系统。统简化为多自由振动系统，或称为多自由度振动系统。它的运动需要它的运动需要n 个独立的坐标来描述。个独立的坐标来描述。多自由度系统的振动微分方程多自由度系统的振动微分方程M mm

30、mmmmmmmnnnnn n111212122212K kkkkkkkkknnnnn n111212122212质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵TnTnxxxxxx 2121xx，坐标矢量坐标矢量和和加速度矢量加速度矢量0 KxxM 若用矩阵表示，则可写成若用矩阵表示，则可写成m xm xm xk xk xk xm xm xm xk xkxkxm xm xm xk xkxkxnnnnnnnnnnnnnnnnnn111122111112212112222211222211221122000设设n个自由度系统运动微分方程的解为个自由度系统运动微分方程的解为niptAxii,3,2,1)sin(矩阵

31、形式为矩阵形式为xAsin()pt1.4.2 频率方程频率方程TnAAA21A其中其中将解代入运动微分方程得将解代入运动微分方程得0MAKA2p0AMK)(2p或或MKB2p特征矩阵特征矩阵A不全为零的条件是系数行列式等于零不全为零的条件是系数行列式等于零0MK2p令令 此式是关于此式是关于p2的的n次多项式，由它可以求出次多项式，由它可以求出n个固有频率个固有频率(或称特征值或称特征值)。频率方程频率方程p20A KAA MATT可以证明可以证明 频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为零。是正数或为零。一般的情况，一般的情况，各个固有频率按

32、照由小到大的顺各个固有频率按照由小到大的顺序排列为序排列为012pppn 其中最低阶固有频率其中最低阶固有频率p1称为第一阶固有频率或称为第一阶固有频率或称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。称基频，然后依次称为二阶、三阶固有频率等。0)()(2iipAMK将将pi代入代入 可以求得可以求得A(i)0)(2AMKp A(i)为对应于为对应于pi的特征矢量。它称为第的特征矢量。它称为第i阶主振阶主振型，也称固有振型或主模态。型，也称固有振型或主模态。对于任何一个对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到自由度振动系统，总可以找到n个固有频率和与之对应的个固有频率和与之对应的n阶主振型阶主振型1

33、.4.3 主振型主振型 满足满足 AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn()()()()在主振型矢量中，规定某个元素的值为在主振型矢量中，规定某个元素的值为1，并，并进而确定其它元素的过程称为归一化。进而确定其它元素的过程称为归一化。由于振型是相对值，将每一项均除以由于振型是相对值，将每一项均除以An(i)得得 ，于是可得第，于是可得第i阶主振型矢量为阶主振型矢量为Ani()1 AiiiTAA121()()AAA11121121222212AAAAAAAAAnnnnnnn()()()()例例 图是三自由度振动系统，设图是三自由度振动系统，设k1=k2=k3=k，m1

34、=m2=m，m3=2m，试求系统的固有频率和主振型。，试求系统的固有频率和主振型。M mmm0000002K 2020kkkkkkk将将M和和K代入频率方程代入频率方程KMp20202020222kp mkkkp mkkkp m解：选择解：选择x1、x2、x3坐坐标。则系统的质量矩阵标。则系统的质量矩阵和刚度矩阵分别为和刚度矩阵分别为299064223pkmpkmpkmpkmpkmpkm122232012671272631007.,.,.mkpmkpmkp7609.1,2810.1,3559.0321 解方程得到解方程得到求出系统的三个固有频率为求出系统的三个固有频率为再求特征矩阵的伴随矩阵再

35、求特征矩阵的伴随矩阵BKMpkp mkkkp mkkkp m222220202 22222222222222)2()2()2()2)(2()2()2()2)(2(adjkmpkmpkkkmpkkmpkmpkmpkkkmpkkkmpkmpkB 设取其第三列，将设取其第三列，将p1值代入，得到第一阶主振值代入，得到第一阶主振型为型为 A1100001873325092.AA().23100000727404709100001100702115 得到第二、三阶主振型为得到第二、三阶主振型为三个主振型由图所示三个主振型由图所示振型矩阵振型矩阵振型振型以各阶主振型矢量为列，按顺序排列成一个以各阶主振型矢

36、量为列，按顺序排列成一个n n阶方阵，称阶方阵，称为主振型为主振型矩阵或模态矩阵矩阵或模态矩阵 AAAAPnnnnnnnAAAAAAAAA()12111212122212与质量矩阵和刚度矩阵加权正交与质量矩阵和刚度矩阵加权正交 ()AM AiTj 0ij ()AMAiTiiMji ()AK AiTj 0ij iiTiKAKA)(ji AMAMAKAKPTPPPTPPMPnMMM12KPnKKK12根据主振型的正交性，可以导出根据主振型的正交性，可以导出式中式中分别是分别是主质量矩阵主质量矩阵和和主刚度矩阵主刚度矩阵。由于主振型的正交性，各阶主振动是互相独立由于主振型的正交性，各阶主振动是互相独

37、立的，的，各阶主振动之间不会发生能量的传递。各阶主振动之间不会发生能量的传递。为了为了统一归一化方法统一归一化方法，规定了质量归一化，规定了质量归一化 AANiiPiM()1称为称为正则振型正则振型。由正则振型的正交关系得。由正则振型的正交关系得 AAAANNNNnNNNnNNNnNnNnNnnAAAAAAAAA()12111212122212则则222212 111nNTNNTNpppPAKAIMAA1.1.主坐标主坐标首先用主振型矩阵进行坐标变换，即首先用主振型矩阵进行坐标变换，即xA xPP主坐标主坐标 xA xPP1.4.5 1.4.5 主坐标和正则坐标主坐标和正则坐标 MxKx 0代

38、入振动微分方程代入振动微分方程M xK xinipiiPi(,)012 3 第第i阶阶主质量或模态质量主质量或模态质量第第i阶阶主刚度或模态刚度主刚度或模态刚度n个自由度运动微分方程个自由度运动微分方程2.正则坐标正则坐标用正则振型矩阵用正则振型矩阵AN进行坐标变换，设进行坐标变换，设 xA xNN MxKx 0正则坐标正则坐标 xp xN iiN i20(,)in12 3 由正则振型矩阵的两个性质由正则振型矩阵的两个性质代入运动方程代入运动方程第第i阶阶固有频率固有频率 例例 试求上例中系统的试求上例中系统的主振型矩阵和正则振型矩阵。主振型矩阵和正则振型矩阵。AAAAP().12310000

39、1000010000187330727411007250920470902115由质量矩阵由质量矩阵 ，可求出主质量矩阵，可求出主质量矩阵M m100010002MA MAPPTPmmm1710140001972600023010.解：将在例中求得的各阶主振型依次排列成方阵解：将在例中求得的各阶主振型依次排列成方阵，得到主振型矩阵，得到主振型矩阵于是，可得各阶正则振型于是，可得各阶正则振型 AAAAAAAAANNNMmMmMm111122223333102418107120106592.以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵以各阶正则振型为列，写出正则振型矩阵ANm102418071200659

40、2045300517907256060670335301394.K k210121011PA K A2012670001272600031007NTNkm.由刚度矩阵由刚度矩阵可求出谱矩阵可求出谱矩阵 xP x0NN2.xkmxxkmxxkmxNNNNNN112233012670127260310070可写出以正则坐标表示的运动方程可写出以正则坐标表示的运动方程展开式为展开式为n自由度自由振动运动微分方程为自由度自由振动运动微分方程为M xK x0 xxxx()()()()()()()()00000000012012xxxxxxnTnT初始条件为初始条件为求系统对初始条件的响应。求系统对初始条

41、件的响应。0 NNxpx2 xA xNN设设微分方程变换为微分方程变换为xA M xxA MxNNTNNT()()0000初始条件初始条件变换为变换为 由单自由度系统振动的理论，得到关于对初由单自由度系统振动的理论，得到关于对初始条件的响应为始条件的响应为xxp txpp tinN iN iiN iii()cos()sin(,)0012 3 nNNNnNNNNNxxx2121AAAxAx 系统的响应是由各阶振型叠加得到的，本方法系统的响应是由各阶振型叠加得到的，本方法又称振型叠加法又称振型叠加法系统对初始条件的响应为系统对初始条件的响应为 nNnNNNNNxxxAAA2211fFsint设设n

42、自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用则系统的运动微分方程为则系统的运动微分方程为MxCxKxf1.1.多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼阻尼矩阵为阻尼矩阵为C cccccccccnnnnnn111212122212阻尼矩阵中的元素阻尼矩阵中的元素cij称阻尼影响系数。称阻尼影响系数。为了求系统对此激振力的响应，可采用正则为了求系统对此激振力的响应，可采用正则振型分析法方程解偶。振型分析法方程解偶。CMKab首先假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵首先假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合的线性组合a、b是正的常数是正的常数CAMK AIPNNTNabab(

43、)2CNnabpabpabp12222若用正则振型矩阵变换若用正则振型矩阵变换in12 3,22iiiiNbpapciiipbpa22Cni称为振型比例阻尼系数或模态比例阻尼系数，称为振型比例阻尼系数或模态比例阻尼系数，i称为振型阻尼比或模态阻尼比称为振型阻尼比或模态阻尼比 当振动系统的计算模型已经确定，写出计算模当振动系统的计算模型已经确定，写出计算模型阻尼矩阵型阻尼矩阵C，然后经过正则坐标变换，求出，然后经过正则坐标变换，求出CA CANNTN 若若CN不是对角阵，则可这样处理，即考虑到工不是对角阵，则可这样处理，即考虑到工程上大多数振动系统中的阻尼都比较小，可将程上大多数振动系统中的阻尼

44、都比较小，可将CN中中的非对角元素改为零。的非对角元素改为零。由实验测定各阶振型阻尼比由实验测定各阶振型阻尼比 对于实际系统，阻尼矩阵中各个元素往往有待对于实际系统，阻尼矩阵中各个元素往往有待于实验确定。有时更方便的办法是，通过实验确定于实验确定。有时更方便的办法是，通过实验确定各个振型阻尼比。这样，在写系统的运动微分方程各个振型阻尼比。这样，在写系统的运动微分方程式时，先不考虑阻尼，等经过正则坐标变换后，再式时，先不考虑阻尼，等经过正则坐标变换后，再在以正则表示运动微分方程式中引入阻尼比，直接在以正则表示运动微分方程式中引入阻尼比，直接写出有阻尼存在时的正则坐标表示的运动微分方程写出有阻尼存

45、在时的正则坐标表示的运动微分方程式。实践证明，这一方法具有很大的实用价值。式。实践证明，这一方法具有很大的实用价值。它一般试用于小阻尼系统，即它一般试用于小阻尼系统，即 i 0.2 0.2的情形的情形 当多自由度振动系统中的阻尼矩阵是比例阻尼时，当多自由度振动系统中的阻尼矩阵是比例阻尼时，利用正则坐标变换解偶。得利用正则坐标变换解偶。得 xCxP xqNNNNN2tQxpxpxiNiNiiNiiiNsin22 in12 3,fAQTNNiiiNpc2tNTNNsinQfAq2 2 存在比例阻尼时的强迫振动存在比例阻尼时的强迫振动则每一个方程可表示为则每一个方程可表示为xBtNiNiisin()

46、222221iiiiiNiNpQB稳态响应为稳态响应为212taniiiiiipxA xNN xAAANNNNiNnNnxxx112由正则坐标变换关系式由正则坐标变换关系式得到系统的稳态响应得到系统的稳态响应这种方法称有阻尼系统响应的振型叠加法这种方法称有阻尼系统响应的振型叠加法例例 图所示有阻尼的弹簧质量振动系统，如图所示有阻尼的弹簧质量振动系统，如k1=k2=k3=k;m1=m2=m3=m，各质量上作用有激振力，各质量上作用有激振力F1(t)=F2(t)=F3(t)=Fsin t，其中，其中=1.25(k/m)1/2，各阶振型阻尼比为各阶振型阻尼比为 1=2=3=0.01,试求系统的响应。

47、试求系统的响应。MxKxfMKfmmmkkkkkkkFt,sin2020111解：写出无阻尼解：写出无阻尼受迫振动方程受迫振动方程 求固有频率和正则求固有频率和正则振型，由频率方程振型，由频率方程02MKppkmpkmpkm123044512471802.,.,.22222)()(2(adjkmpkkkmpkmpkB由特征矩阵由特征矩阵B=Kp2M的伴随矩阵的第一列的伴随矩阵的第一列得得 A1044508021000.T A212470555 1000.T A3180222471000.TANm1032807370591059103280737073705910328.求出主振型和正振型矩阵求

48、出主振型和正振型矩阵xA xNNsinxp xQtNiiNiNi2进行坐标变换进行坐标变换tQxpxpxiNiNiiNiiiNsin22 i 12 3,321321232221321321321sin182.0474.0656.1 sin0000000000002NNNTNNNNNNNiNNNQQQtmFtFFFxxxpppxxxpppxxxA 引入振型阻尼比引入振型阻尼比 i振动方程为振动方程为 iiNiNiiiiiiiiiiiNiNtBxppQB sin;12tan;21212222i 12 3,123123123280901002406937179 3158103 31281 31541

49、21361478401078 .;.;.,;,.;.;.BFmkBFmkBFmkNNN关于对正则坐标的响应关于对正则坐标的响应xA xNN)sin(035.0080.0064.0)sin(737.8849.4896.10)sin(894.0717.0398.0)sin(1079.0)sin(784.14)sin(2136.1328.0591.0737.0737.0328.0591.0591.0737.0328.0321321321 tkFtkFtkFtttkFxxx求出系统的响应求出系统的响应xNmkFttt121361478401079123.sin().sin().sin()多自由度系统振

50、动问题的求解思路多自由度系统振动问题的求解思路利用力学方法列出系统的运动微分方程利用力学方法列出系统的运动微分方程1.首先求出固有频率和正则振型首先求出固有频率和正则振型2.利用正则振型进行正则坐标变换利用正则振型进行正则坐标变换3.形成形成n个独立的单自由度运动微分方程；个独立的单自由度运动微分方程；4.利用单自由度系统求解理论和方法，求得用利用单自由度系统求解理论和方法，求得用主坐标或正则坐标表示的响应；主坐标或正则坐标表示的响应；5.反变换至原物理坐标求出反变换至原物理坐标求出n自由度系统对激励自由度系统对激励的响应。的响应。实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹实际的振动系统，都具有