大数定律中心极限定理51切比雪夫不等式引理1设随机变量X的数学课件.ppt
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- 大数 定律 中心 极限 定理 51 不等式 随机变量 数学 课件
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1、第五章第五章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理5.1 5.1 5.2 5.2 5.3 5.3 概率论与数理统计是研究随机现象统计概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科。随机现象的规律性只有在相规律性的学科。随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来,也就是说,要从随机现象中去寻求必然来,也就是说,要从随机现象中去寻求必然的法则,应该研究大量的随机现象。的法则,应该研究大量的随机现象。研究大量的随机现象时,常常采用极限研究大量的随机现象时,常常采用极限形式。例如第一章中曾指出频率是概率的反形式。例如第一章中曾指出频率
2、是概率的反映映,随着观察次数的增大,频率将会逐渐稳定随着观察次数的增大,频率将会逐渐稳定于概率。这里的于概率。这里的“稳定稳定”是指试验的次数无是指试验的次数无限增大时限增大时,频率值在某种收敛意义下逼近某频率值在某种收敛意义下逼近某一常数。此类极限形式导致了对极限定理进一常数。此类极限形式导致了对极限定理进行研究。行研究。本章要解决的问题本章要解决的问题 1.为何能以某事件发生的频率为何能以某事件发生的频率 作为该事件的作为该事件的 概率的估计概率的估计?2.为何能以样本均值作为总体为何能以样本均值作为总体 期望的估计?期望的估计?3.为何正态分布在概率论中占为何正态分布在概率论中占 有极其
3、重要的地位有极其重要的地位?4.大样本统计推断的理论基础大样本统计推断的理论基础 是什么?是什么?大数大数定律定律中心极中心极限定理限定理5.1 5.1 切比雪夫不等式切比雪夫不等式引理引理1 1 设随机变量设随机变量X的数学期望的数学期望E(X)与方差与方差 D(X)均存在,则对于任意实数均存在,则对于任意实数 0,有下述,有下述不等式成立不等式成立2()(|()|)D XPXE X 或或2()(|()|)1D XPXE X 切比雪夫不等式示意图切比雪夫不等式示意图E(X)E(X)+E(X)F(x)x D(X)/2例例1 1 已知已知E(X)=100,D(X)=30,试估计随机试估计随机变量
4、变量X 落在落在(70,130)内的概率。内的概率。解解:P70X130=P|X 100|30由切比雪夫不等式可得由切比雪夫不等式可得230|100|30130PX 0.967 契比雪夫不等式给出了在随机变量契比雪夫不等式给出了在随机变量X的的分布未知的情况下,事件分布未知的情况下,事件|X|0,有,有lim0AnnPpn+或或lim1AnnPpn+引入随机变量序列引入随机变量序列Xk10kkAXkA 第第 次次试试验验 发发生生第第 次次试试验验 发发生生(1)kP Xp设设(),()kkE Xp D Xpq则则1nAkknX11nnkkYXn记()()nnpqE YpD Yn则 由题设由题
5、设X1 1,X2 2,Xn n相互独立相互独立证明:证明:0AnPpn故故n+时,结论成立。时,结论成立。()()nnP YE Y21pqn11()nkkkPXE Xn由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式贝努里贝努里(Bernoulli)大数定律的意义大数定律的意义“稳定于稳定于”事件事件 A 在一次试验中发生的概率是指:在一次试验中发生的概率是指:在概率的统计定义中,事件在概率的统计定义中,事件 A 发生的频率发生的频率AnnAnn频率频率 与与 p 有较大偏差有较大偏差Anpn是小概率事件是小概率事件 因而在试验次数因而在试验次数 n 足够大时,可用事件发生足够大时,可用事件发生的频率近似代替
6、事件发生的概率的频率近似代替事件发生的概率,即此类定律说即此类定律说明了大次数的重复试验所呈现的客观规律。同时,明了大次数的重复试验所呈现的客观规律。同时,频率的这种稳定性也称为频率的这种稳定性也称为依概率稳定依概率稳定。切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)大数定律大数定律定理定理2 2 设设X1,X2,.,Xn,.,.是相互独立的随机是相互独立的随机变量,且分别具有数学期望变量,且分别具有数学期望E(Xk)和方差和方差D(Xk),(k=1,2,.)。若方差有界,即存在常数若方差有界,即存在常数C,使得,使得 D(Xk)C,则对于任意的,则对于任意的 0,恒有,恒有1111lim()1nnk
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