多元复合函数求偏导数课件.ppt

1、一一 基本要求基本要求1 理解二元函数的概念，会求定义域。理解二元函数的概念，会求定义域。2 了解二元函数的极限和连续的概念。了解二元函数的极限和连续的概念。3 理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏理解偏导数的概念，掌握偏导数及高阶偏导数的求法。导数的求法。4 掌握多元复合函数的微分法。掌握多元复合函数的微分法。5 了解全微分形式的不变性。了解全微分形式的不变性。6 掌握隐函数的求导法。掌握隐函数的求导法。7 会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及会求曲线的切线及法平面，曲面的切平面及法线。法线。8 了解方向导数的概念和计算公式。了解方向导数的概念和计算公式。9 了解梯度的概念和计算方法以及梯

2、度与方向了解梯度的概念和计算方法以及梯度与方向导数之间的关系。导数之间的关系。10 掌握多元函数无条件极值和条件极值的求掌握多元函数无条件极值和条件极值的求法及最大（小）值的求法。法及最大（小）值的求法。二二 要点提示要点提示（一）函数的概念（一）函数的概念 1.点函数的定义：点函数的定义：设设 是一个点集，如果对于每一点是一个点集，如果对于每一点 变量变量 按照一定的法则总有确定的值和它按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称对应，则称 是点是点 的函数，记为的函数，记为 P()zf PzzPP注意注意 1.从一元函数推广从一元函数推广 2.多元函数与一元函数的区别多元函数与一元函数的区别

3、当当 时，时，为一元函数；为一元函数；当当 时，时，为二元函数；为二元函数；当当 时，时，为三元函数；为三元函数；当当 时，时，为为 元函数。元函数。PR()()zf Pf x2PR 123()(,)zf Pf x xx()(,)zf Pf x ynPR 3PR 12()(,)nzf Pf x xxn 2.多元初等函数：多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成，可限次的四则运算和复合步骤所构成，可用一个式子所表示的函数，称为多元初用一个式子所表示的函数，称为多元初等函数。等函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连一切多元初等函

4、数在其定义区域内是连续的续的。（二）偏导数与全微分（二）偏导数与全微分1偏导数偏导数（1）定义：偏导数是函数的偏增量与自变）定义：偏导数是函数的偏增量与自变量增量之比的极限。量增量之比的极限。00(,)(,)limlimxxxzzf xx yf x yxxx 00(,)(,)limlimyyyzzf x yyf x yyyy (,)zf x y若的全微分存在，则zzdzdxdyxy（2）计算）计算 求多元函数的偏导数实际上是一元函数求多元函数的偏导数实际上是一元函数的微分法问题，对一个变量求导，暂时将的微分法问题，对一个变量求导，暂时将其余变量看作常数。其余变量看作常数。2全微分全微分微分公式

5、微分公式：（三）多元函数连续偏导存在与可微之（三）多元函数连续偏导存在与可微之 间的关系间的关系 一元函数：可导一元函数：可导 函数可微，函数可微，一元函数：可导一元函数：可导 连续，连续，多元函数：偏导数连续多元函数：偏导数连续 函数可微函数可微 多元函数连续多元函数连续 函数的偏导数存在。函数的偏导数存在。函数的偏导数存在函数连续（四）多元函数微分法（四）多元函数微分法1多元复合函数求导法多元复合函数求导法（1）链式法则链式法则 链式法则的实质是函数必须对中间变链式法则的实质是函数必须对中间变量求导。依据函数的复合结构，可按照量求导。依据函数的复合结构，可按照“连线相乘，分线相加连线相乘，

6、分线相加”的原则来进行的原则来进行。设设则则 是是 的复合函数的复合函数.,yxvyxuvufzyxyxyxfz,2,zf u v可微，1,uuvuxyxy若存在，.zzuzvxuxv xzzuzvyuyv y 则yxvyzxu称为称为全导数全导数.,zf u vuxvx若dzz duz dvdxu dxv dx则xvzxu求多元复合函数偏导数的关键在于弄清求多元复合函数偏导数的关键在于弄清函数的复合结构函数的复合结构,它可用它可用“树形图树形图”来表示来表示.注意：(),(,),zf u x v x yy设zf dufvxu dxvx 则zfvfyv yy zfyy与是不同的。uxzvy2隐

7、函数求导法：隐函数求导法：方法方法1 对方程两端求（偏）导数，然后解对方程两端求（偏）导数，然后解出所求（偏）导数出所求（偏）导数 方法方法2 隐函数的求导公式：隐函数的求导公式：设设 是由方程是由方程所确定的隐函数，则所确定的隐函数，则 (,)zz x y(,)0F x y z(,)(,)yzF x y zzyF x y z(,)(,)xzF x y zzxF x y z（五）微分法在几何上的应用五）微分法在几何上的应用1空间曲线的切线及法平面空间曲线的切线及法平面（1）设空间曲线：）设空间曲线：是曲线上一点，其相应是曲线上一点，其相应的参数为的参数为 ，则曲线在点，则曲线在点 处处切向量切

8、向量为为 ()()()xx tyy tzz tt，为参数0000(,)Mxyz0t0M 000,Tx ty tz t曲线在点曲线在点 处的处的切线方程切线方程为为曲线在点曲线在点 处的处的法线方程法线方程为为0M0M000000()()()xxyyzzx ty tz t000000()()()()()()0 x txxy tyyz tzz 若曲线的方程表示为若曲线的方程表示为则在点则在点 处切向量为处切向量为 yy xzz x001,Tyxzx0M2曲面的切平面及法线曲面的切平面及法线（1）设曲面方程为（隐函数形式）设曲面方程为（隐函数形式）为曲面上一点为曲面上一点，则曲面在，则曲面在点点 处

9、处 的的法向量法向量为为(,)0F x y z 0000(,)Mxyz0M0,xyzMnF F F切平面方程切平面方程为为法线法线方程为000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzF xyzxxF xyzyyF xyzzz000000000000(,)(,)(,)xyzxxyyzzF xy zF xy zF xy z（2）若曲面方程为（显函数形式）若曲面方程为（显函数形式）则可写为隐函数形式则可写为隐函数形式 曲面上曲面上 点的法向量为点的法向量为(,)zf x y(,)0f x yz0M,1xynff（六）方向导数与梯度（六）方向导数与梯度1.方向导数的定义方向导数的定义

10、2计算公式：若计算公式：若 可微，则可微，则其中其中 为为 轴正向到方向轴正向到方向 的转角的转角 0(,)(,)limff xx yyf x yl(,)zf x ycossinffflxylx 若若 可微可微,则则其中其中 为方向为方向 的方向角。的方向角。注意注意:方向导数存在方向导数存在 偏导数存在偏导数存在 coscoscosuuuulxyz(,)uf x y zl3.梯度：梯度：设设 在平面区域在平面区域D内具有一阶连续内具有一阶连续偏导数，则对于每一点偏导数，则对于每一点 ，向量，向量称为称为 在点在点 的梯度。的梯度。,ffgradfxy(,)x y,zfx y(,)x y(,)

11、zf x y梯度与方向导数的关系：梯度与方向导数的关系：梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。而它的模为方向导数的最大值。（七）函数的极值最大值和最小值（七）函数的极值最大值和最小值1极值的必要条件：极值的必要条件：若若 在点在点 处有极值，则处有极值，则 这时称这时称 为驻点。为驻点。驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点0000(,)(,)0 xyfxyfxy(,)zf x y00,x y00,xy2充分条件：充分条件：设设 在驻点在驻点 的某邻域内有的某邻域内有连续的二阶偏导数，记连续的二阶偏导数，记（1）当）当 时，时

12、，是极值。是极值。，极小值；，极小值；，极大值；，极大值；（2）当）当 时，不是极值；时，不是极值；（3）当）当 时，不能确定。时，不能确定。(,)zf x y00,xy00(,)xxAfxy00(,)xyBfxy00(,)yyCfxy20ACB20ACB0A0A00(,)f xy20ACB3条件极值：函数条件极值：函数 在条件在条件 下的极值称为下的极值称为条件极值条件极值。(,)zf x y(,)0 x y(,)(,)(,)L x yf x yx y拉格朗日函数为拉格朗日函数为 求条件极值的方法：求条件极值的方法：(1)可将条件代入函数，转化为无条件极值问题；可将条件代入函数，转化为无条件

13、极值问题；(2)可以用可以用拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法。4函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值 求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法求函数在有界区域上的最大值和最小值的方法 1.求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在求出该函数在内的所有驻点和偏导数不存在的点的函数值，的点的函数值，2.求出在的边界上可能的最大值最小值求出在的边界上可能的最大值最小值,3.比较大小，其中最大者就是最大值，最小者比较大小，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值。就是最小值。在实际问题中往往可根据问题本身的性在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定驻点是否是最值点。质来判定驻点是否是最值点。三三 例题分析

14、例题分析（一）求定义域和极限（一）求定义域和极限1.2.讨论极限讨论极限22(,)arcsinxyf x y zz2001 cos()lim()xyxyxy2200limxyxyxy 答案答案:1.2.(1)令令 (2)设设 沿直线趋近于沿直线趋近于(0,0)极限不存在极限不存在220zzxy220,zzxy 或1uxy,222222200limlim(1)1xxy kxxykxkxykxk（二）（二）求偏导数和全微分求偏导数和全微分:1.求一阶偏导数及全微分求一阶偏导数及全微分.2.求求3.2y zux2ln(sin)zxy设，2zx y 2,(1)arcsinyyz x yx exx(1,

15、0).xz求 答案答案2211.y zuyzxx2,ln,y zuxxy22lny zuzxxz222222cos2 cos2.,.sinsin(sin)zxzyzxyxxyyxyx yxy 2113.(1,0)(,0)()|2xxxdzz xxdx00(1,0)(1,)()|1yyyydzzyedy22221ln2lny zy zy zduyzxdxxxdyzxxdz4.5.6.7.具有连续偏导数，求偏导数.(,)xzf xy2,.zzzxyx y 求22cos,.xydzzeyxdx，求lnxzzy22,.zzxx求(,)0,f yx yzzz x y由确定函数f 答案:12214.,zz

16、xfffxyyy 2122222321.zxxfffx yyyy 2223.()zzxxz 6.,zzxxz 22cos5.(2sin2)xxdzxx edx112227.,ffzfzzxyfyyf（三）曲线的切线和法平面、曲面的切平（三）曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线曲线的切线和法平面面和法线曲线的切线和法平面1.求曲线求曲线 在点在点 处的切线方程及法平面方程处的切线方程及法平面方程.2.作一平面与直线作一平面与直线 垂直且垂直且与球面与球面 相切相切.2226,0 xyzxyz0(1,2,1)P02320 xyzxyz2224xyz答案：答案：1.方程组方程组 确定隐函数确定隐函

17、数即曲线即曲线 ，其切向量为，其切向量为切线方程：切线方程：法平面方程：法平面方程：121101xyz22260 xyzxyz(),()yy x zz x1,(),()Ty x z x 0(1,0,1)PT(1)(1)0 xz2.设切点为设切点为 则法向量为则法向量为:所求平面的法向量所求平面的法向量方法方法1 所求平面设为所求平面设为由点到平面的距离公式，有由点到平面的距离公式，有所求平面：所求平面：0000,2,2,2xyzPnF F Fxyz0000,P xy z11112213ijknijk 20 xyzD0002220002,2 6211xyzDD 即22 60 xyz方法方法2代入

18、曲面，得代入曲面，得所求方程为所求方程为 即即 0001000/,2112,1,xyznntxt yt z 0002422,66664222066622 6 0txyzxyzx y z?,),(0000222222模模此方向导数等于梯度的此方向导数等于梯度的具有什么关系时具有什么关系时的方向导数，问的方向导数，问的向径的向径处沿点处沿点在点在点求求cbarzyxMczbyaxu 解解 ,20202000000zyxrzyxr .cos,cos,cos000000rzryrx 处的方向导数为处的方向导数为在点在点 M coscoscos0MMMMzuyuxuru 002000200020222r

19、zczrybyrxax )(22222220000czbyaxr .),(2202020000zyxzyxu 处处的的梯梯度度为为在在点点 MkzujyuixugraduMMMM ,222202020kczjbyiax （四）多元函数的极值和最值（四）多元函数的极值和最值 将正数将正数 分成三个正数分成三个正数 之和之和,使使得得 最大最大.方法方法1得唯一驻点得唯一驻点:由题意知结论由题意知结论.,x y za2,uxyzxyza分析目标函数条件2uxyz22222-,ya x zuxyzu x zaxzx zxz将代入得,442aaaxyz方法方法2.用拉格朗日乘数法用拉格朗日乘数法,设拉

20、格朗日函数设拉格朗日函数:令令解得解得由题意即为所求由题意即为所求.2,L x y zxyzxyza,.442aaaxyz2200200 xyzLyzLxzLxyzLxyza之间的最短距离之间的最短距离与平面与平面求旋转抛物面求旋转抛物面2222 zyxyxz.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距离为的距离为到平面到平面则则上任一点上任一点为抛物面为抛物面设设最小最小即即且使且使满足满足，使得，使得本题变为求一点本题变为求一点)22(61(22610,),(2222 zyxdzyxdzyxzyxzyxP解解),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令

21、)4(,)3(,0)2)(22(31)2(,02)22(31)1(,02)22(3122yxzzzyxFyzyxFxzyxFzyx .81,41,41 zyx解此方程组得解此方程组得),81,41,41(即得唯一驻点即得唯一驻点处取得最小值处取得最小值驻点，故必在驻点，故必在一定存在，且有唯一一定存在，且有唯一根据题意距离的最小值根据题意距离的最小值)81,41,41(.647241414161min d1.sin,.uzzzevuxy vxyxy设求22.,sin,.dzzf xxdx设求223.,.zzzf xyxy设，求2324.,sin,.xyzuuuf x y zezxyxy设求5.

22、设 具有二阶偏导数,fxyyxfz,2,.zzxx y 求练 习 题附练习：关于多元复合函数的偏导数:例1设 求解同理,.,sinyzxzyxvxyuvezuyxyxyeveyvexvvzxuuzxzxvyxuvevzveuzxyuuuucossin1cossin.1,cos,sinyxyxxeyzxycossin例2 设 求解.,sin,2dxdzxxfz.cos2,sin,2xfxfdxdvvzdxduuzdxdzxvxuvu 幂指函数幂指函数的求导公式:将幂指函数当作幂函数求导加上将幂指函数当作指数函数求导.例可与对数求导法对比.xvvxuuuzv,vuuuvudxdvuudxduvud

23、xdzvvvvlnln110sinxxzx)coslnsin(coslnsinsinlnsinsinsin1sinsin1sinxxxxxxxxxxxxxxxxzxxxxx例4设 解设 则22,.zzzfxyxy，求,22ufzyxuyuzx.2222222yxf yyududzyzyxf xxufxududzxz例5设 求解注意区别 与.,sin,232yuxuyxzezyxfuzyxuffzuffzxxzxyyzy ，,cos,sin2,2,3,2323232yxyzyxxzeyfezfexfzyxzyxzyx.cos32,sin6123232yxeyuyxexuzyxzyxxfxuyzx

24、yux例6 设 具有二阶偏导数,解设这里 仍是以 为中间变量的函数,且与函数有相同的复合结构,故对它们求偏导要按复合函数求导法则.fxyyxfz,2,.zzxx y 求.,xyvyxu)(,2yfyfyfyxzf yfxvfxufxzvvuvuvuvuffvu,yxvyuxffzvu,记,121121ffffffffuvuuvu 222121211222212221211111f xfyff xfyxzf xfyvvfyuufyfyff xfyvvfyuufyfyfvu 补充练习1.求2.二阶可导，求3.可导求4.求5.求.,arctantzsztsytsxyxz2,.zzzxyx y uFx

25、yuuxFxyz,zyyxfu.,yzxz.,zuyuxu.,cos2dxdyxyx22,xyzf xye 补充题参考答案1.2.设22222222yyxzzxztsxsysxystyyxzzxzstxtytxyst 22,xyuxyve121222(2)2xyxyuvxyxyuvzzuzvfxfyexfyefxuxv xzzuzvfyfxeyfxefyuyv y 21212222xyxyxyffzxfyefxyefyex yyyyy 1111112222212222xyxyfffuvyfxefyuyvyfffuvyfxefyuyvy 其中 2211122221224212xyxyxyxyzxyfx efyex fx yx efxyef 3.或2()()()ffyzuyF uxF uxxuxx2()()()()()yzyxF uyF uxF uxxxyzxFyxxzyxuy2211ssttuusfxsxyuusutxffysytyyyuutyfztxz xusytxy,yxstyz4.设5.解1 取对数求导法 解2 求导公式222212(cos)(sin)(cos)lncos2(cos)(tan2 lncos)xxxdyxxxxxxdxxxxxx