在向量空间Fx课件.ppt
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- 向量 空间 Fx 课件
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1、 向量空间(向量空间(Vector Spaces)又称线性空间()又称线性空间(Linear Spaces).本章的特点及要求:本章的特点及要求:向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一,向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一,是进一步学习数学必备的内容是进一步学习数学必备的内容.向量空间产生有着丰富的数学背景,又在许多领域(包向量空间产生有着丰富的数学背景,又在许多领域(包括数学本身)中有着广泛的应用,例如:线性方程组解括数学本身)中有着广泛的应用,例如:线性方程组解的结构的结构.向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统.所谓代数所谓代数系统
2、,就是带有运算的集合系统,就是带有运算的集合.6.16.1向量空间的定义和例子向量空间的定义和例子 一、引例定义产生的背景 设设 F 是一个数域,是一个数域,m nF表示上表示上mn矩阵的集合,矩阵的集合,回忆一下回忆一下 m nF上所能够施行的运算(教材上所能够施行的运算(教材P182):只有):只有加法和数乘两种,并且满足加法和数乘两种,并且满足(教材教材P183):1.A+B=B+A2.(A+B)+C=A+(B+C)3.OA=A4.A+(-A)=O5.a(A+B)=aA+Ab6.(a+b)B=a B+Bb7.(ab)A=a(b)A还有一个显而易见的:还有一个显而易见的:8.1AA 设设R
3、是实数域,是实数域,V3表示空间向量的集合表示空间向量的集合.两个向量可两个向量可以作加法(平行四边形法则),可以用以作加法(平行四边形法则),可以用R中的一个数乘一个中的一个数乘一个向量,加法和数乘满足同样的向量,加法和数乘满足同样的8条性质条性质.按照解析几何的按照解析几何的方法,向量可以用的坐标(方法,向量可以用的坐标(x,y,z)来表达,加法和数乘都)来表达,加法和数乘都有表达式,有表达式,类似的问题许多,类似的问题许多,有必要总结它们的共性:,有必要总结它们的共性:I.涉及两个集合(其中一个集合涉及两个集合(其中一个集合).II.涉及两种运算(什么样的运算?)涉及两种运算(什么样的运
4、算?).III.满足满足8条运算性质条运算性质.二、二、向量空间的定义抽象出的数学本质向量空间的定义抽象出的数学本质设设F是一个数域,是一个数域,V是一个非空集合是一个非空集合.我们把我们把V中的中的元素称为向量,元素称为向量,V称为向量空间,如果下列条件成立:称为向量空间,如果下列条件成立:(c1)V上有上有(闭合的闭合的)加法运算,即:对任意加法运算,即:对任意u,v属于属于V,一定有一定有u+v属于属于V.(c2)F上的数对上的数对V上的向量有上的向量有(闭合的闭合的)数乘运算,即:对任意数乘运算,即:对任意F中数中数a 和和V中元素中元素v,一定有:一定有:av属于属于V.(a1)u+
5、v=v+u,对所有,对所有u和和v属于属于V.(a2)u+(v+w)=(u+v)+w,对所有对所有u、v和和w属于属于V.(a3)V中存在一个向量,记作中存在一个向量,记作o,它满足:它满足:v+o=v 对所有对所有V中的中的v.(a4)给定给定V中每一个向量中每一个向量v,V中存在一个向量中存在一个向量u满足:满足:u+v=0.这样的这样的u称为称为v的负向量的负向量.(m1).)()(FbabVaVab,(m2).)(aVaUVUa(m3).)bUaUUba((m4)1u=u 对所有u属于V.三、进一步的例子三、进一步的例子加深定义的理解加深定义的理解按照定义按照定义1,m nF是数域是数
6、域F上的向量空间,称为矩阵上的向量空间,称为矩阵 空间空间.(1)11,nnFF统称为元向量空间,统一用符号统称为元向量空间,统一用符号 nF表示表示.(2)nR是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常 用的一类用的一类.数域数域F上一元多项式集合上一元多项式集合Fx按照通常的加法与数乘按照通常的加法与数乘构成构成F上的向量空间,称为多项式空间上的向量空间,称为多项式空间.根据多项式加法和数乘的定义,根据多项式加法和数乘的定义,(c1)f(x)+g(x)Fx,任给任给f(x),g(x)Fx.(c2)af(x)Fx,任给任给 aF,f(x)Fx.(a1
7、)f(x)+g(x)=g(x)+f(x),任给任给f(x),g(x)Fx.(a2)f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x),任给f(x),g(x),h(x)Fx.(a3)0向量就是零多项式向量就是零多项式.(a4)f(x)的负向量为(的负向量为(-f(x)).(m1)()abf(x)=(a bf(x).(m2)af(x)+g(x)=af(x)+ag(x).(m3)()abf(x)=af(x)+bf(x).(m4)1 f(x)=f(x).Ca,b表示区间表示区间a,b上连续实函数按照通常的加法上连续实函数按照通常的加法与数乘构成实数域与数乘构成实数域R的向量空间,称为函数空间的
8、向量空间,称为函数空间.证明:比照例证明:比照例3,给出完整步骤,给出完整步骤.(1)数域)数域F是是F上的向量空间上的向量空间.(2)R是是Q上的向量上的向量空间,空间,R是否为是否为C上的向量空间?上的向量空间?注注2:这个例子说明向量空间与:这个例子说明向量空间与F有关有关.设数域取设数域取R,集合为集合为R+(实数实数),加法和数乘定义为:,加法和数乘定义为:,kabab k aaa bRkRR证明证明关于给定的运算构成关于给定的运算构成R上的向量空间上的向量空间.注注3:运算可以是通常的,可以重新定义的:运算可以是通常的,可以重新定义的.注注4:向量空间与运算有关:向量空间与运算有关
9、.注注5:证明向量空间需要:证明向量空间需要10条性质,其中:条性质,其中:8条是验证,条是验证,2条需要解方程求出零向量与负向量条需要解方程求出零向量与负向量.在在2R上定义加法和数乘:上定义加法和数乘:2(,)(,)(,)(1)(,)(,)2a bc dac bdack kka bka kba证明证明 2R关于给定运算构成关于给定运算构成R上的向量空间上的向量空间.留作课外练习留作课外练习.四、简单性质(1)零向量零向量0是唯一的是唯一的.(2)一个向量一个向量v的负向量是唯一的,用(的负向量是唯一的,用(-v)表示)表示.(3)0v0,a00.(4)a(-v)=a)(aVV.000Vaa
10、V,或(5)6.2 6.2 子空间子空间学习目标学习目标 1理解并掌握子空间的概念理解并掌握子空间的概念.2掌握子空间的判别方法,熟悉几种常见的掌握子空间的判别方法,熟悉几种常见的子空间子空间.3掌握子空间的交与和的概念掌握子空间的交与和的概念.一、子空间的概念一、子空间的概念1、定义:设、定义:设V是数域是数域F上一个向量空间,上一个向量空间,W是是V 的一的一个非空子集个非空子集.(1)如果)如果W中任意两个向量的和仍在中任意两个向量的和仍在W内,那么内,那么就说,就说,W对于对于V的加法是封闭的的加法是封闭的.(2)如果对于)如果对于W中任意向量中任意向量和数域和数域F中任意中任意数数a
11、,a仍在仍在W内,那么就说,内,那么就说,W 对于标量与向量的对于标量与向量的乘法是封闭的乘法是封闭的.2、定理:设设W是数域是数域F上向量空间上向量空间V的一个非空子集的一个非空子集.如果如果W 对对于于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的,那么本的加法以及标量与向量乘法是封闭的,那么本身也作成上一个向量空间身也作成上一个向量空间.3、定义:、定义:令令W是数域是数域F上向量空间上向量空间V的一个非空子集的一个非空子集.如果如果W 对对于于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的,的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的,那么就那么就称称W是是V 的一个子空间的一个子空间.注:注:V的一个子
12、空间也是的一个子空间也是F上一个向量空间,并且上一个向量空间,并且一定含有一定含有V的零向量。的零向量。例:例:向量空间向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面,单总是它自身的一个子空间。另一方面,单独一个零向量所成的集合独一个零向量所成的集合0显然对于显然对于V的加法和标的加法和标量与向量的乘法是封闭,因而也是量与向量的乘法是封闭,因而也是V的一个子空间,的一个子空间,称为零空间。称为零空间。注:一个向量空间注:一个向量空间V本身和零空间叫做本身和零空间叫做V的的平凡子空平凡子空间间。V的非平凡子空间叫做的非平凡子空间叫做V的的真子空间真子空间。例:例:是不是是不是 的的子空间?子空间?是
13、不是是不是 的子空间?的子空间?,0|)()(时jiaFMaAUijnij)(FMn0|)(AFMAWn)(FMn解解 U中的矩阵是上三角形矩阵,显然中的矩阵是上三角形矩阵,显然U为向量空间为向量空间 的非空子集。又中的非空子集。又中 的运算是矩阵的加的运算是矩阵的加法及数与矩阵的乘法,而两个上三角形的和仍是一法及数与矩阵的乘法,而两个上三角形的和仍是一个上三角形矩阵,一个数与一个上三角形矩阵的乘个上三角形矩阵,一个数与一个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵,所以,由子空间的定义积仍是上三角形矩阵,所以,由子空间的定义,U是是 的的 一个子空间。一个子空间。)(FMn)(FMn)(FMn 不是
14、不是 的子空间,因的子空间,因为为n阶单位矩阵阶单位矩阵I及及 I W,但,但0|)(AFMAWn)(FMnWOII)(在空间在空间V2里,平行于一条固定直线的一切里,平行于一条固定直线的一切向量空间作成向量空间作成V2的一个子空间。在间间的一个子空间。在间间V3里,平里,平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成作成V3的子空间。的子空间。例:例:例:nF中一切形如中一切形如Fin),0,(121的向量作成的向量作成 的一个子空间。的一个子空间。nF例:例:F x中次数不超过一个给定的整数中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连的多项式全
15、体连同零多项式一起作成同零多项式一起作成F x的一个子空间。的一个子空间。例:例:闭区间闭区间a,b上一切可微分函数作成上一切可微分函数作成C a,b的一个子空间。的一个子空间。例:例:设设FaaAijijnm),(1)把满足把满足AX=0的解的解X表示为表示为 ,nxxxX21显然显然 。并记。并记AX=0的解集为的解集为 nFX 0|0,AXFXVnA证明证明 是向量空间是向量空间 的一个子空间。的一个子空间。0,AVnF(2)记记AX=的解集为的解集为 是是否也是否也是 的一个字空间?这里的一个字空间?这里,|AnAVAXFXVnF0,nF证明证明:(:(1)首先,)首先,nF0000,
16、且,且A0=0,所以,所以,。0,AV其次,如果其次,如果 那么那么 所以所以 ,对于任何,对于任何 。故。故 对于对于 的两种的两种运算封闭,运算封闭,是向量空间是向量空间 的一个子空间。的一个子空间。,210,21nAFXXVXX即,0,021AXAX且,0)(2121AXAXXXA0,21AVXX,0,AVXFa0,),()(AVaXAXaaXA即有0,AVnF0,AVnF4、定理:、定理:向量空间向量空间W的一个非空子集的一个非空子集W是是V的一个子空间,要的一个子空间,要且只要对于任意且只要对于任意a,bF和任意和任意,W,都有,都有 a+bW(2)可以知道,在)可以知道,在0 的时
17、候,的时候,不一定是不一定是 的的子空间。因为对任何子空间。因为对任何 ,都有,都有A(X+Y)=AX+AY=+,故,故 对对 的加法不封闭。的加法不封闭。,AVnF,AVYX,AVnF 二、子空间的交与和二、子空间的交与和1、设、设W1,W2是向量空间是向量空间V的二个子空间,那么它们的二个子空间,那么它们的交的交W1W2也是也是V的一个子空间的一个子空间.2、一般,设、一般,设 Wi 是向量空间是向量空间V的一组子空间(个数的一组子空间(个数可以有限,也可以无限)可以有限,也可以无限).则则 也是也是V的一个子空的一个子空间间.iiW3、注:注:二个子空间二个子空间W1与与W2 的并集,一
18、般说来不是的并集,一般说来不是子空间子空间121211224|,WWWW、考虑:由于由于0W1,0W2,所以,所以0=0+0W1+W2,因此,因此W1+W2。设。设a,bF,W1+W2,那么那么,因为因为W1,W2都是子空间都是子空间,所以所以 ,于是于是2221112121,WW111Wba222Wba2122112121)()()()(WWbabababa这就证明了这就证明了W1+W2是是V的子空间的子空间,这个子空间叫做这个子空间叫做W1与与W2 的和的和.6.3向量的线性相关一、内容分布一、内容分布6.3.1 线性组合与线性表示线性组合与线性表示6.3.2 线性相关与线性无关线性相关与
19、线性无关6.3.3 向量组等价向量组等价6.3.4 向量组的极大线性无关组向量组的极大线性无关组二、教学目的二、教学目的 1准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别 2理解向量组的等价及极大无关组的概念理解向量组的等价及极大无关组的概念3掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法 三、重点、难点三、重点、难点 线性相关性(无关)、向量组的极大线性无关组等概线性相关性(无关)、向量组的极大线性无关组等概念,替换定理的证明念,替换定理的证明6.3.1 线性组合与线性表示定义定义1 设设 是向量空间是向量空间V的的r个向量
20、,个向量,是数域是数域F中任意中任意r个数个数.我们把和我们把和r,2112,ra aarraaa2211叫做向量叫做向量 的一个向量组合的一个向量组合.r,21如果如果V 中某一向量中某一向量 可以表示成向量可以表示成向量 的的线性组合,我们也说线性组合,我们也说 可以由可以由 线性表示线性表示.r,21r,21零向量显然可以由任意一组向量零向量显然可以由任意一组向量 线性线性表示,因为表示,因为r,21r0000216.3.2 线性相关与线性无关定义定义2 设设 是向量空间是向量空间V的的r个向量。如果存在个向量。如果存在F中不全为零的数中不全为零的数 使得使得r,21raaa,21(1)
21、02211rraaa那么就说那么就说 线性相关线性相关.r,21如果不存在如果不存在F中不全为零的数中不全为零的数 使得等式使得等式(1)成立,换句话说,等式()成立,换句话说,等式(1)仅当)仅当 时才成立,那么就说,向量时才成立,那么就说,向量 线性无关线性无关.raaa,21021raaar,21例1 令令F是任意一个数域。是任意一个数域。中向量中向量3F 1=(1,2,3),),2=(2,4,6),),3=(3,5,-4)线性)线性相关。相关。例2 判断判断 的向量的向量3F 1=(1,-2,3),),2=(2,1,0),),3=(1,-7,9)是否)是否线性相关。线性相关。例3 在向
22、量空间在向量空间F x里,对于任意非负整数里,对于任意非负整数 n,1nxx 线性无关。线性无关。命题6.3.1 向量组向量组 中每一个向量中每一个向量 都可以由这都可以由这一组向量线性表示一组向量线性表示.,21ri命题6.3.2 如果向量如果向量 可以由可以由 线性表示,而每一个线性表示,而每一个又都可以由又都可以由 线性表示,那么线性表示,那么 可以由可以由 线性表示线性表示.r,21is,21s,21命题6.3.3 如果向量组如果向量组 线性无关线性无关,那么它的任意那么它的任意一部分也线性无关一部分也线性无关.一个等价的提法是一个等价的提法是:如果向量组如果向量组 有一部分向量线性相
23、关有一部分向量线性相关,那么整个向那么整个向量组量组 也线性相关也线性相关.,21r,21r,21r命题6.3.4 设向量组设向量组 线性无关线性无关,而而 线性相关线性相关.那么那么一定可以由一定可以由 线性表示线性表示.,21r,21rr,21定理 6.3.5 向量向量 线性相关线性相关,必要且只要其中必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合某一个向量是其余向量的线性组合.)2(,21rr6.3.3 向量组等价定义定义3 设设 和和 是向量空间是向量空间V的两个的两个向量组向量组,如果每一个如果每一个 都可以由都可以由 线性表示线性表示,而每一而每一 也可以由也可以由 线性表示线性表示
24、,那么就说那么就说这两个向量组等价这两个向量组等价.,21r,.,21nin,.,21ir,21例例4 向量组向量组 1=(1,2,3),2=(1,0,2)与向量组与向量组 1=(3,4,8),2=(2,2,5),3=(0,2,1)等价等价.等价的概念显然具有传递性等价的概念显然具有传递性:如果如果 与与 等价等价,而后者又与而后者又与 等价等价,那那么么 与与 等价等价.,21s,.,21n,.,21i,21s,.,21i定理6.3.6(替换定理)设向量组设向量组 线性无关线性无关,并且每一并且每一 都都 可以由向量组可以由向量组,21rr,.,21n线性表示线性表示,那么那么rs,并且必要
25、时可以对并且必要时可以对 中中向量重新编号向量重新编号,使得用使得用 替换替换后所得的向量后所得的向量 与与 等价等价.r,21n,.,21,121srr,.,21n,.,21n推论推论6.3.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。6.3.4 向量组的极大线性无关组(1)线性无关;线性无关;,.,21inii定义定义4 向量组向量组 的一部分向量组的一部分向量组 叫做一个极大线性无关部分组(简称极大无关组),叫做一个极大线性无关部分组(简称极大无关组),如果如果,21n,,.,21inii(2)每一每一 ,j=1,n,都可以由都可以由
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