在直角坐标系中为课件.ppt
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- 直角 坐标系 课件
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1、1 流体静力学流体静力学是研究作用于静止流体上的力的平衡是研究作用于静止流体上的力的平衡问题。问题。3.13.1静止流体的压强特点静止流体的压强特点 对于流体,只有在运动状态下才有可能存在切应对于流体,只有在运动状态下才有可能存在切应力,而力,而处于绝对静止或相对静止状态的流体中,任何处于绝对静止或相对静止状态的流体中,任何一个面上都只有法向应力的作用,并且是压应力,也一个面上都只有法向应力的作用,并且是压应力,也就是压强就是压强。其性质如下:。其性质如下:2 流体几乎不能承受拉力流体几乎不能承受拉力。在静止流体内部,切应力在静止流体内部,切应力为零为零.只有沿作用面内法线方向只有沿作用面内法
2、线方向的应力,即压强。的应力,即压强。(1)(1)压强作用方向沿作用面的内法线方向压强作用方向沿作用面的内法线方向3若作用于微小面积若作用于微小面积A上的力为上的力为F,则,则压强压强 p p 为:为:AFpA0lim4(2)(2)压强大小与作用面的方向无关压强大小与作用面的方向无关 下面予以证明:在流场中取一微元四面体下面予以证明:在流场中取一微元四面体ABCD,过过D D点的三个棱边在坐标轴上。设斜面点的三个棱边在坐标轴上。设斜面ABC的面积为的面积为dA。yxCzpzpxpypnBADdzdydx5作用在微元体上的外力应平衡,在x方向有:0cos3121dApfdxdydzdydzpnx
3、x将几何关系代入上式得:dxdydAdxdzdAdydzdA212121coscoscosyxCzpzpxpypnBADdzdydx由几何关系得:6当微元体向当微元体向D点缩小时,点缩小时,dx 0,则则px=pn。同理同理可得:可得:py=pn pz=pn所以有所以有px=py=pz=pn。yxCzpzpxpypnBADdzdydx 因此,静止流体在因此,静止流体在通过通过D D点的任意方向上点的任意方向上的压强都相等。的压强都相等。032nxxpdxfp7 3.2.1流体静力学基本方程流体静力学基本方程 在流体内部取如图示微元六在流体内部取如图示微元六面体,分析微元体在面体,分析微元体在x
4、轴上的受轴上的受力情况。力情况。x轴正向上压力为轴正向上压力为pdydz x负向压力负向压力p+(p/x)dxdydz3.23.2流体静力学基本方程及静止流场基本特性流体静力学基本方程及静止流场基本特性p+(p/x)dxpdzdydxzyx质量力在质量力在x轴方向上的分量为轴方向上的分量为fxdxdydz80)(dydzdxxpppdydzdxdydzfx则则x轴方向上力的平衡方程为:轴方向上力的平衡方程为:整理得:整理得:,xfxpzyfzpfyp,p+(p/x)dxpdzdydxzyx同理得:同理得:9pffpfp或或grad矢量式可表示为:矢量式可表示为:上式即为上式即为流体静力学基本方
5、程流体静力学基本方程。它说明在静。它说明在静止流体内部,压强梯度等于流体的密度与质止流体内部,压强梯度等于流体的密度与质量力的乘积。量力的乘积。10将上式各式依次乘以将上式各式依次乘以dx,dy,dz后相加得:后相加得:)(dzfdyfdxfdzzpdyypdxxpzyx)(dzfdyfdxfdpzyx即即:压差公式压差公式圆柱坐标系下的压差公式为:圆柱坐标系下的压差公式为:)(dzfdrfdrfdpzrzyxfzpfypfxp,11 将流体内部压强相等的点连接起来的曲将流体内部压强相等的点连接起来的曲面称之为面称之为等压面等压面。在等压面上。在等压面上 p(x,y,z)=常数常数即即:0,0
6、dzfdyfdxfdpzyx上式即为上式即为等压面方程等压面方程。式中。式中 为等压面上的为等压面上的有向微元线段。说明质量力与等压面垂直有向微元线段。说明质量力与等压面垂直。ld0ldf矢量式为矢量式为:123.2.23.2.2静止流场基本特性静止流场基本特性 (1)(1)流体静止时质量力必须满足的条件流体静止时质量力必须满足的条件 对静力学基本方程两边取旋度,有:对静力学基本方程两边取旋度,有:0)()1(1)(1)(pppppf则有:)(1(1)1()(ppppff130)()()(yfxffxfzffzfyffxyzzxyyzx0pp0)(ff由于,所以有,所以有即即流体静止的必要条件
7、流体静止的必要条件在直角坐标系中为在直角坐标系中为:不可压缩流不可压缩流体静止的必体静止的必要条件?要条件?14例例3-13-1.设在一流场中有质量力:设在一流场中有质量力:kyvxyxjxxzzizyzyf)2()2()2(222222问:当问:当,v取取何值时,该流场是静止的。何值时,该流场是静止的。15解:流场中流体静止的条件是质量力满足式:解:流场中流体静止的条件是质量力满足式:0)(ff0)()()(yfxffxfzffzfyffxyzzxyyzx对给定的质量力求偏导数:对给定的质量力求偏导数:在直角坐标系中的表达式为:在直角坐标系中的表达式为:16yvxvyxxzxzzyzyyfx
8、fzfxfzfyfzzyyxx222222222222将其带入流体静止条件得将其带入流体静止条件得:0)1()1()1()1()1()1(222222yxvzxxzvxyvyzvzy17要使上式恒成立,只能是各项的系数为零,即要使上式恒成立,只能是各项的系数为零,即:01,01,01vv解三元一次方程组得解三元一次方程组得:21v只有满足上述条件时,该流场中的流体才只有满足上述条件时,该流场中的流体才是静止的。是静止的。18(2)(2)质量力有势质量力有势 对于对于不可压缩不可压缩流体,其密度流体,其密度=const=const,则,则)(pfUf由上式由上式其中其中U为标量函数为标量函数。0
9、f所以所以不可压缩流体静止的必要条件不可压缩流体静止的必要条件)(pf两边取旋度两边取旋度:流体质量力满足这个关系就称为质量力有势,流体质量力满足这个关系就称为质量力有势,因因此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件此质量力有势是不可压缩流体静止的必要条件,U被被称为质量力势函数。右边的称为质量力势函数。右边的负号表示质量力作正功等负号表示质量力作正功等于质量力势的减少于质量力势的减少。19(3)有势质量力场中静止流体的分界面有势质量力场中静止流体的分界面 设有密度不同的两种互不混合的流体,它们具有设有密度不同的两种互不混合的流体,它们具有明确的分界面。在分界面上,明确的分界面。在分界面上,d
10、p=0,即分界面为等压,即分界面为等压面,也可以说分界面是等势面。面,也可以说分界面是等势面。20(4 4)正压流场)正压流场 流体密度只是压力的函数的流场称之为正压流流体密度只是压力的函数的流场称之为正压流场,即:场,即:)(p热力学等温过程的流场就是一种正压流场,因热力学等温过程的流场就是一种正压流场,因为等温过程中为等温过程中constp上式说明上式说明正压流场中等压面与等密度面重合正压流场中等压面与等密度面重合,这是正压流场的一个重要性质。这是正压流场的一个重要性质。21ppf)(1两边取旋度并整理两边取旋度并整理:pppppf)()(1)(2由于等压面与等密度面重合,所以由于等压面与
11、等密度面重合,所以 必然是平行矢量,所以必然是平行矢量,所以与p。0p正压流场的流体静力学基本方程可写为正压流场的流体静力学基本方程可写为:因此有因此有 即静止正压流场的质量即静止正压流场的质量力有势。力有势。0f22思考题思考题 流体处于平衡状态的必要条件是:流体处于平衡状态的必要条件是:(a a)流体无粘性)流体无粘性 (b b)流体黏度大)流体黏度大 (c c)质量力有势)质量力有势 (d d)流体黏度小)流体黏度小233.33.3一些流体静力学基本问题一些流体静力学基本问题 在工程和科学中,有各种各样与重力场静止液体在工程和科学中,有各种各样与重力场静止液体相关的问题,如过程工业中盛装
12、液体的容器的受力,相关的问题,如过程工业中盛装液体的容器的受力,水坝和水闸等水工结构的受力,船舶的浮力和浮力矩水坝和水闸等水工结构的受力,船舶的浮力和浮力矩的设计,液压机械受力等等。的设计,液压机械受力等等。3.3.13.3.1重力场静止液体中的压力分布与物体受力重力场静止液体中的压力分布与物体受力24(1)(1)重力场中静止液体的压力公式重力场中静止液体的压力公式 在重力场中,液体所受到的质量力只有重力在重力场中,液体所受到的质量力只有重力,即:即:p0phozygfffzyx00由于压差公式为由于压差公式为:gdzdp则积分得积分得:cgzp)(dzfdyfdxfdpzyx25若用距离自由
13、液面的深度若用距离自由液面的深度h表示,则表示,则p=gh+c当当h=0时,时,p=p0,于是确定积分常数,于是确定积分常数c=p0,则:,则:0pghp上式即为重力场下均质静止液体中的压力上式即为重力场下均质静止液体中的压力分布公式。该公式是流体静力学计算的基础之分布公式。该公式是流体静力学计算的基础之一。一。26思考题思考题静止流场中的压强分布规律:静止流场中的压强分布规律:(a a)仅适用于不可压缩流体)仅适用于不可压缩流体(b b)仅适用于理想流体)仅适用于理想流体(c c)仅适用于粘性流体)仅适用于粘性流体(d d)既适用于理想流体,也适用于粘性流体)既适用于理想流体,也适用于粘性流
14、体27(2)(2)物体所受的浮力物体所受的浮力阿基米德定律阿基米德定律 完全浸没或部分浸没在液体中的物体,要受到液完全浸没或部分浸没在液体中的物体,要受到液体对它的作用力,其合力称之为浮力。表示为:体对它的作用力,其合力称之为浮力。表示为:pdAnFA其中,其中,“-”表示表示dA上的压力与上的压力与 相反相反。A为物体表面为物体表面面积,面积,为表面单位法线矢量,为表面单位法线矢量,p p为物体表面所受的压为物体表面所受的压力。力。nnz z0 0dAdAA,VA,VF Fp pp p0 0n n28完全浸没物体的浮力完全浸没物体的浮力 对于一个完全浸没在液体中的物体,物体体积为对于一个完全
15、浸没在液体中的物体,物体体积为V,表面积为表面积为A液体密度为液体密度为,自由自由液体与大气接触,大气液体与大气接触,大气压为压为p0,物体表面所受压力为:,物体表面所受压力为:pdAnrMA)(以坐标原点为参数点,物体所受的合力矩为以坐标原点为参数点,物体所受的合力矩为:gzpp0z z0 0dAdAA,VA,VF Fp pp p0 0n n290 0dAdAA,VA,VF Fz zp pp p0 0n n则浮力为则浮力为dAgzpnpdAnFAA)(0由于由于p0为常数为常数,00dApnA故有故有根据奥根据奥-高公式有:高公式有:gzdAnFAkgVdVkgzdVggzdAnFVVA上式
16、表明,物体所受到的浮力等于其所排开的液上式表明,物体所受到的浮力等于其所排开的液体的重量,方向垂直向上,即阿基米德定律。体的重量,方向垂直向上,即阿基米德定律。30部分浸没物体的浮力部分浸没物体的浮力0dAA1,V1Fzpp0nA2,V2gzdAndApngzdAndApndApngzdAndApnpdAnFAAAAAAAAA1211211210000)(物体的浮力可写成:物体的浮力可写成:31假定沿自由液面切割物体,物体切割面假定沿自由液面切割物体,物体切割面的面积为的面积为A0,显然有,显然有00gzdAnA于是于是A1,A0构成封闭面,构成封闭面,应用奥应用奥-高公式有高公式有:1010
17、11VAAAAkgVzdVggzdAngzdAngzdAnF0dAA1,V1Fzpp0nA2,V2A032上式表明,部分浸没的物体受的浮力同样等于其上式表明,部分浸没的物体受的浮力同样等于其所排开的液体的重量,方向垂直向上。于是可将所排开的液体的重量,方向垂直向上。于是可将液体中的物体受的浮力写成:液体中的物体受的浮力写成:kgVF浸浸没物体的浮力力矩浸没物体的浮力力矩dViyjxgpdAnrMVA)()(33 由于合力和合力矩是相互垂直的,即由于合力和合力矩是相互垂直的,即 设浮力中心位于设浮力中心位于x=xc,y=yc,则浮力中心的矢径则浮力中心的矢径 为为 ,于是根据于是根据 有有 FM
18、jyixrccMFrdViyjxgjgVxigVyFrVcc)(解出浮力中心坐标为解出浮力中心坐标为:VcVcydVVyxdVVx,1,134例题例题.边长边长a=1m的立方体,上半部分的比重的立方体,上半部分的比重为为0.6,下半部分的比重是,下半部分的比重是1.4,平衡于两层,平衡于两层不相混合的液体中,上层液体比重为不相混合的液体中,上层液体比重为0.9,下,下层液体比重为层液体比重为1.3,试求立方体底面在两种液,试求立方体底面在两种液体交界面下面的深度体交界面下面的深度x(水的重度为(水的重度为9810N/m3)。)。35解:物体重量为:)4.16.0(981023aG物体受到的浮力
19、为:F=a2(a-x)98100.9+a2x98101.3由于两者平衡:G=F(a3/2)(0.6+1.4)=a2(a-x)0.9+x 1.3由a=1m,1=0.9+0.4x,所以x=0.25m363.3.23.3.2非惯性坐标系非惯性坐标系中的静止液体中的静止液体 流体静力学基本方程式是对流体静力学基本方程式是对惯性坐标系惯性坐标系建立的,建立的,在在非惯性坐标系非惯性坐标系中,流体处于相对静止状态,则其中,流体处于相对静止状态,则其表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质,因表面力仍然具有各向同性和切应力为零的性质,因此,基本方程同样可以成立。不同的是此,基本方程同样可以成立。不同的是在非
20、惯性坐在非惯性坐标系中,流体处于静止状态,其所受的力还应包括标系中,流体处于静止状态,其所受的力还应包括惯性力,即基本方程中的质量力应为重力和惯性力惯性力,即基本方程中的质量力应为重力和惯性力两部分之和两部分之和。37直线等加速运动容器中的静止液体直线等加速运动容器中的静止液体 如图,一个盛有液体的容器相对于地面作直如图,一个盛有液体的容器相对于地面作直线匀加速运动,线匀加速运动,其加速度其加速度 为为:akajaiaazyx如果将非惯性坐标系固定在容器上,则根据如果将非惯性坐标系固定在容器上,则根据达朗贝尔原理,流体将受到惯性力的作用,且单达朗贝尔原理,流体将受到惯性力的作用,且单位质量流体
21、受到的惯性力为位质量流体受到的惯性力为-a。zga-afx038gaf将上式代入基本方程得将上式代入基本方程得:pag1于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和于是容器中单位质量流体的质量力就由惯性力和重力两部分组成:重力两部分组成:其直角坐标系下的分量式为其直角坐标系下的分量式为:zpagypagxpagzzyyxx1,1,1zga-afx039则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表则非惯性坐标系中静止液体压力的全微分可以表示为示为:)()()(dzagdyagdxagdpzzyyxx由于加速度恒定,积分可得流体的压力分布由于加速度恒定,积分可得流体的压力分布:czagyagxagpz
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