数列的极限(ppt文档)课件.ppt

1、2022-7-2721-12022-7-2721-2“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭。万世不竭。”庄子庄子天下篇天下篇 庄子古朴的极限思想（公元前三世纪）庄子古朴的极限思想（公元前三世纪）截丈问题截丈问题 极限思想第一第一天天“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭。万世不竭。”，21庄子庄子天下篇天下篇 第二第二天天“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭。万世不竭。”，41，21庄子庄子天下篇天下篇 ，81第三第三天天“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭。万世不竭。”，41，21庄子庄子天下篇天下篇 第四第四天天“一尺之棰，日取其半，一尺

2、之棰，日取其半，万世不竭。万世不竭。”，81，41，21,庄子庄子天下篇天下篇 第第n天天“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭。万世不竭。”，81，41，21,，n 21庄子庄子天下篇天下篇 02022-7-2721-9注意：注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAA2022-7-2721-112022-7

3、-271x2x3x4xnx011x2x3xnx012 nx121nx0121-122022-7-2721-13,1001给定给定,10011 n欲使欲使,100时时只要只要 n110,100n有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n110,10000n有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n110,1000n有有,0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn10.n有有成成立立例如：例如：2022-7-2721-14其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的.:至至少少有有一一个个或或存存在在 limnnxa2022-7-2721-15注注1 1：几何解释几何解释2 Nx3xx

4、1x1 Nx a a2xa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn 2022-7-2721-16 22022-7-2721-17注注3 3：11,2的任意性的任意性.是变量是变量,以小为佳以小为佳.由它的任意性知由它的任意性知22,等也是任意正数等也是任意正数,也可以作为定义中的也可以作为定义中的,还可限制还可限制等。等。2022-7-2721-182022-7-2721-192022-7-2721-202022-7-2721-212022-7-2721-22定理定理2.1.12.1.1（唯一性唯一性）如果数

5、列收敛，则其极如果数列收敛，则其极限必惟一。限必惟一。证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得正整数正整数.,021NN;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba,故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.2.1.3 2.1.3 数列极限的性质数列极限的性质2022-7-2721-2323baab22abnabax也可以这样证也可以这样证：axnnlim及,limbxnn且.ba 取取,2ab因因,limaxnn故

6、故存在存在 N1,2abnax从而从而2banx同理同理,因因,limbxnn故故存在存在 N2,使当使当 n N2 时时,有有2banx使当使当 n N1 时时,2ba2ab2ab假设假设22abnabbxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾矛盾.因此收敛数列的极限必唯一因此收敛数列的极限必唯一.则当则当 n N 时,max21NNN 取故假设不真故假设不真 !nx满足的不等式满足的不等式定理定理2.1.22.1.2（有界性（有界性）如果数列收敛，则必有界如果数列收敛，则必有界.证证,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则.11

7、 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注注 1.有界数列未必收敛有界数列未必收敛.如如2022-7-2721-251)1(n有界有界,但它是发散但它是发散的的2.无界数列必定发散无界数列必定发散.如如.n0222,0,20 aaaxaaxNnNaann从从而而时时，有有当当正正整整数数知知对对的的定定义义，为为例例证证明明。由由数数列列极极限限以以证证).0(0,lim),0(0aaaxxxxnnnnn或或那那么么且且或或从从某某项项起起有有如如果果数数列列推推论论2022-7-2721-262022-7-27

8、21-27nx：,2121knnnxxxxxknx：,21knnnxxx例如，例如，2022-7-2721-28定理定理2.1.4 2.1.4 数列数列 收敛于收敛于a 的任一子数列的任一子数列都收敛于都收敛于a nx nx证证“”设设数列数列,limaxnn .,00 axNnNn恒有恒有时时，使，使，任给定任给定,NK 取取,时时则当则当Kk ，有有NnnnNKk .axkn.limaxknk “”易证易证(略略)。证毕。证毕。26/28定理定理2.1.4 2.1.4 数列数列 收敛于收敛于a 的任一子数列的任一子数列都收敛于都收敛于a nx nx nxknx是数列是数列的任一子数列的任一子数列2022-7-2721-3025-31