振动方程为课件.ppt
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- 振动 方程 课件
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1、14-1 多自由度体系的自由振动1.刚度法刚度法1111112112221122221122000nnnnmnnnnnnm yk yk yk ym yk yk yk ym yk yk yk y0My+Ky=12nmmm,M111212122212nnnnnnkkkkkkkkkK振动方程为振动方程为14-1 多自由度体系自由振动()0KM YsintyY0KM设振动方程解的形式为设振动方程解的形式为将上式代入振动方程,得将上式代入振动方程,得若得到非零解,则若得到非零解,则2111212212222120nnnnnnnnnkmkkkkmkkkkm展开形式为展开形式为(a)14-1 多自由度体系自
2、由振动()T12()iiiniYYYY2()()0iiKM Y解行列式,得到解行列式,得到n个体系的自振频率个体系的自振频率12,n令令将将()Yii,代入式(代入式(a),得),得由此可求出第由此可求出第 i 振型振型(b)式(式(b)是一组齐次方程,只能确定主振型的形状,但不)是一组齐次方程,只能确定主振型的形状,但不能确定它的振幅。能确定它的振幅。14-1 多自由度体系自由振动振型的标准化方法:振型的标准化方法:1)规定某个元素的值,如第一个元素等于)规定某个元素的值,如第一个元素等于1,或者,或者 最大的一个元素等于最大的一个元素等于12)规定主振型满足下式)规定主振型满足下式()T(
3、)1iiYYM振型的正交性:振型的正交性:()T()0ijYYM()T()0ijKYY14-1 多自由度体系自由振动 例例14-114-1 试求图示刚架的自振频率和振型。设横梁的变形试求图示刚架的自振频率和振型。设横梁的变形忽略不计,层间刚度系数和质量如图所示。忽略不计,层间刚度系数和质量如图所示。解解 (1)求自振频率)求自振频率14-1 多自由度体系自由振动205058315033k,K200010001mM22025058315033kKM刚度矩阵和质量矩阵分别为刚度矩阵和质量矩阵分别为频率方程为频率方程为15mk14-1 多自由度体系自由振动展开,得展开,得用试算法求得方程的三个根为用
4、试算法求得方程的三个根为1231.2936.68013.0272221230.086 20.04530.8685kkkmmm,因此,三个自振频率为因此,三个自振频率为230.29360.667 30.9319kkkmmm,进一步求得进一步求得14-1 多自由度体系自由振动(2)求振型)求振型令令Y311,解得,解得11、将将代入振型方程,得代入振型方程,得1121213117.4145056.7073015031.707YkKM YYY11(1)11320.1630.5691YYYY14-1 多自由度体系自由振动令令Y321,解得,解得22、将将代入振型方程,得代入振型方程,得12222232
5、6.6405051.3203015033.680YkKM YYY12(2)22320.9241.2271YYYY 14-1 多自由度体系自由振动令令Y331,解得,解得33、将将代入振型方程,得代入振型方程,得132323336.0545055.02730150310.027YkKM YYY13(3)23332.7603.3421YYYY 14-1 多自由度体系自由振动14-1 多自由度体系自由振动刚度法振动方程为刚度法振动方程为2()0KM Y2()0I M Y1 K由由得得令令21,得,得0MI()0MI Y故频率方程为故频率方程为2 柔度法柔度法14-1 多自由度体系自由振动111122
6、121122221122()()0()nnnnnnnnnmmmmmmmmm展开为展开为相应的振型方程为相应的振型方程为()()0iiMI Y14-1 多自由度体系自由振动例例 142 试用柔度法重做例试用柔度法重做例141。解解 (1)求自振频率)求自振频率由各层的刚度系数得到各层柔度系数由各层的刚度系数得到各层柔度系数,即单位层间力引即单位层间力引起的层间位移起的层间位移。为:。为:12123311133155kkkkkk,14-1 多自由度体系自由振动312233491121312122324414-1 多自由度体系自由振动111144149柔度矩阵为柔度矩阵为2112440249MIm2
7、1mm频率方程为频率方程为14-1 多自由度体系自由振动展开,得展开,得32154230012311.6012.2461.151,解得解得因此,三个自振频率为因此,三个自振频率为230.29360.667 30.9319kkkmmm,(2)求主振型)求主振型将求得的将求得的i分别代入振型方程,得到三个振型。分别代入振型方程,得到三个振型。振动方程为振动方程为111111211P1222112222P21122P3()()()nnnnmnnnnnnm yk yk yk yFtm yk yk ykyFtm yk ykyk yFtP()tMy+KyF简谐荷载简谐荷载P1P2PPP()sinsinFF
8、nFFtttF若若14-3 多自由度体系的强迫振动1 n1 n个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动14-3 多自由度体系的强迫振动在平稳阶段,各质点也作简谐振动,即在平稳阶段,各质点也作简谐振动,即12(t)sinsinnttYYyYY2P()KMYF20DKM代入振动方程,整理后,得代入振动方程,整理后,得令令若若D00,则则10PYF D14-3 多自由度体系的强迫振动讨论讨论00DY 故故,当荷载频率与其中任意一个自振频率相等时当荷载频率与其中任意一个自振频率相等时,都可能都可能出现共振现象,因此,对出现共振现象,因此,对n个自由度体系,存在个自由度体系,
9、存在n个共振个共振区。区。14-3 多自由度体系的强迫振动振动方程振动方程P()tMy+Ky=Fy=Y将位移向量按振型分解将位移向量按振型分解代入振动方程,并前乘代入振动方程,并前乘YTTTTP()tY MYY KYY F令令F(t)=YTFP(t)广义荷载向量广义荷载向量振动方程变为振动方程变为()tMKF(12 )in,2 2 多自由度体系在一般荷载下的强迫振动多自由度体系在一般荷载下的强迫振动y分别为质点的几何坐标和正则坐标分别为质点的几何坐标和正则坐标(组合系数组合系数)14-3 多自由度体系的强迫振动由于由于M*、K*都是对角阵,方程已经解偶,即都是对角阵,方程已经解偶,即2iiiK
10、M同理,令同理,令则则振型分解法振型分解法由杜哈梅积分,得由杜哈梅积分,得01()()sin()tiiiiitFtdM()T0(0)iiiMYMy()T0(0)iiiMYM初始条件为初始条件为14-3 多自由度体系的强迫振动代入初始条件,得代入初始条件,得0(0)1()(0)cossin()sin()tiiiiiiiiiitttFtdM14-3 多自由度体系的强迫振动PP110()00FtFtt 例例 14-4 已知结构的频率和振型,试求图示结构在已知结构的频率和振型,试求图示结构在突加荷载突加荷载FP1作用下的位移和弯矩。作用下的位移和弯矩。解解 (1)主振型矩阵主振型矩阵1111Y(2)建
11、立坐标变化关系)建立坐标变化关系11121111YY14-3 多自由度体系的强迫振动(3)求广义质量)求广义质量(1)T(1)1(2)T(2)21011 120111011 12011MmmMmm YMYYMY(4)求广义荷载)求广义荷载P1(1)T1PP1P1(2)T2PP1()()()1 1()0()()()11()0FtF ttFtFtF ttFtYFYF14-3 多自由度体系的强迫振动(5)求正则坐标)求正则坐标1p11011p1101p1121p12p122202221()()sin()1sin()2(1 cos)21()()sin()(1 cos)2ttttFtdMFtdmFtmF
12、tFtdtMm14-3 多自由度体系的强迫振动(6)求质点位移)求质点位移1122P11122212P11221212P11221()()()(1cos)()(1cos)2(1cos)0.067(1cos)2()()()(1cos)0.067(1cos)2y tttFttmFttmytttFttm14-3 多自由度体系的强迫振动质点质点1的位移时程曲线的位移时程曲线P1111121()()(1cos)2FytttmP111221()(1cos)0.067(1cos)2Fy tttm实线:实线:虚线:虚线:14-3 多自由度体系的强迫振动(7)求弯矩)求弯矩振动过程中质点所受的荷载与惯性力之和为
13、振动过程中质点所受的荷载与惯性力之和为 P11P11P112P12P2212coscos20coscos2FF tFtmy tFttFF tFtmyttt 12P1112211 cos1 cos3363F tF t lF llMttt截面截面1的弯矩为的弯矩为14-3 多自由度体系的强迫振动截面截面1弯矩时程曲线弯矩时程曲线 P11P112coscos2FF tFtt P111P11cos2FFtFt实线:实线:虚线:虚线:只考虑第一振型只考虑第一振型14-3 多自由度体系的强迫振动 (8)讨论)讨论 由于第一和第二主振型分量并不是同时达到最大值,由于第一和第二主振型分量并不是同时达到最大值,
14、因此不能简单地把两分量的最大值相加。因此不能简单地把两分量的最大值相加。第二主振型分量的影响比第一主振型分量的影响要第二主振型分量的影响比第一主振型分量的影响要小的多。小的多。阶次愈高的振型分量的影响愈小,通常可以计算前阶次愈高的振型分量的影响愈小,通常可以计算前23个个低阶振型的影响,就可以得到满意的结果。低阶振型的影响,就可以得到满意的结果。按无限自由度体系计算可以了解近似计算方法的应用按无限自由度体系计算可以了解近似计算方法的应用范围和精确程度。范围和精确程度。将无限自由度体系简化为有限自由度体系进行计算,将无限自由度体系简化为有限自由度体系进行计算,是不完整的。是不完整的。对某种类型的
15、结构,直接按无限自由度体系计算也有方便对某种类型的结构,直接按无限自由度体系计算也有方便之处。之处。14-4 无限自由度体系的自由振动 在无限自由度体系的动力计算中,时间和位置坐标都是独在无限自由度体系的动力计算中,时间和位置坐标都是独立变量。振动方程是偏微分方程。立变量。振动方程是偏微分方程。14-4 无限自由度体系的自由振动等截面梁弯曲时的静力平衡方程为等截面梁弯曲时的静力平衡方程为44ddyEIqx22yqmt 在自由振动时,唯一的荷载就是惯性力,即在自由振动时,唯一的荷载就是惯性力,即因此,等截面梁弯曲时的自由振动方程为因此,等截面梁弯曲时的自由振动方程为42420yyEImxt14-
16、4 无限自由度体系的自由振动用分离变量法求解,令用分离变量法求解,令 y x tY xT t,IV2YxT tEIm Y xT t 代入振动方程,并整理得代入振动方程,并整理得左边是左边是x的函数,右边是的函数,右边是t的函数。因此,两边都与的函数。因此,两边都与x、t无关。无关。故得两个常微分方程故得两个常微分方程 IV40YxY x 20T tT t14-4 无限自由度体系的自由振动42 mEI2 EIm两个方程的解分别为两个方程的解分别为 sinT tat siny x tY xt,1234coshsinhcossinY xCxCxCxCx则,振动方程的解为则,振动方程的解为C1C4由边
17、界条件确定由边界条件确定14-4 无限自由度体系的自由振动例例 14-5 试求等截面简支梁的自振频率和主振型。试求等截面简支梁的自振频率和主振型。0000YY,130CC 24sinhsinY xCxCx 00Y lYl,2424sinhsin0sinhsin0ClClClCl右边:右边:振幅曲线简化为振幅曲线简化为解:边界条件引入振幅曲线解:边界条件引入振幅曲线左边:左边:得:得:令系数行列式令系数行列式=0sinhsin0sinhsinllllsin0l得得1 2nnnl,故故14-4 无限自由度体系的自由振动 44sinsin1,2,nYxCxn xCln2221 2nnlmn,这样就得
18、到了无限多个这样就得到了无限多个自振频率和对应的振型自振频率和对应的振型曲线曲线14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法 等截面两弯曲时的自等截面两弯曲时的自由振动偏微分方程为由振动偏微分方程为424201 2nyyEImxtn,n=1:表示下段结果;:表示下段结果;n=2:表示上段结果。:表示上段结果。令令23232200YYxxdddd42401 2nYEImYxndd,i ty x tY x e,代入振动方程,得代入振动方程,得边界条件边界条件顶部(顶部(x=0):弯矩):弯矩=0、剪力、剪力=014-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法中部(中部(x=H2):
19、水平位移、):水平位移、转角、弯矩、剪力都连续转角、弯矩、剪力都连续 1212222212333312YYYYxxYYEIEIxxYYEIEIxxdddddddddddd底部(底部(x=H):水平位移):水平位移=0、转角转角=0 1100YYxdd14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法将特征值问题转化为标准的非线性将特征值问题转化为标准的非线性ODE问题问题首先,利用区域映射技巧作坐标变换首先,利用区域映射技巧作坐标变换22210 xxHHHxxHHH,于是有于是有 2221d10dddddddd1dxHHxxxHHH,14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法这
20、个变化将两段区间影射这个变化将两段区间影射为标准的单位区间为标准的单位区间0,1微分方程变为微分方程变为 41 201nnnmHYYEIn,边界条件变为边界条件变为顶部(顶部(x=0,=0):自由):自由2200YY,中部(中部(x=H2,=1):连续):连续 122112222112332112 YYHYHYHEIYHEIYHEIYHEIY底部(底部(x=H,=0):固定):固定 1100YY微分方程已变成常微分方程微分方程已变成常微分方程组特征值问题组特征值问题14-5 无限自由度体系自由振动的常微分方程求解器解法利用平凡的利用平凡的ODE技巧和技巧和等价的等价的ODE技巧将其转技巧将其转
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