归纳法、递推法-36页PPT课件.ppt
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- 归纳法 递推法 36 PPT 课件
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1、归纳法归纳法 归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般规律的推理方法。归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般规律的推理方法。例、求前例、求前n个奇数的和。个奇数的和。分析:用分析:用S(n)表示前表示前n个数的和,则个数的和,则 S(1)=1,S(2)=1+3=4,S(3)=1+3+5=9,S(4)=1+3+5+7=16,S(5)=1+3+5+7+9=25。可以看出,当可以看出,当1,2,3,4,5时,时,S(n)=n2。现在可以归纳出求。现在可以归纳出求前前n个奇数的和的一般规律,即个奇数的和的一般规律,即S(n)=n2。上面的归纳法是不完全归纳法,因为由它得到的结论不一定对上面的归纳法是不完
2、全归纳法,因为由它得到的结论不一定对任意的任意的n都都 成立成立要证明对所有的要证明对所有的n都成立,就必须使用下面介绍的数学归纳法都成立,就必须使用下面介绍的数学归纳法1、证明当、证明当n取第一个值取第一个值n0时结论正确。时结论正确。2、假设当、假设当n=k时结论成立,证明当时结论成立,证明当n=k+1时结论也成立。时结论也成立。证明:证明:、当、当n=时,左边,右边,等式成立。时,左边,右边,等式成立。、假设当、假设当n=k时等式成立,即时等式成立,即(k-1)=k2,那么,那么 (k-1)+2(k+1)-1 =k2+2(k+1)-1 =k2+2k+1 =(k+1)2例例1、Hanoi双
3、塔问题双塔问题07年复赛试题年复赛试题 给定给定A、B、C三根足够长的细柱,在三根足够长的细柱,在A柱上放有柱上放有2n个中个中 间有孔的圆盘,共有间有孔的圆盘,共有n个不同的尺寸,每个尺寸都有两个相同个不同的尺寸,每个尺寸都有两个相同的圆盘,注意这两个圆盘是不加区分的(下图为的圆盘,注意这两个圆盘是不加区分的(下图为n=3的情的情形)。现要将这些圆盘移到形)。现要将这些圆盘移到C柱上,在移动过程中可放在柱上,在移动过程中可放在B柱柱上暂存。要求:上暂存。要求:(1)每次只能移动一个圆盘;)每次只能移动一个圆盘;(2)A、B、C三根细柱上的圆盘都要保持上小下大的顺三根细柱上的圆盘都要保持上小下
4、大的顺序;序;任务:设任务:设An为为2n个圆盘完成上述任务所需的最少移动次个圆盘完成上述任务所需的最少移动次数,对于输入的数,对于输入的n,输出,输出An。输入文件输入文件hanoi.in为一个正整数为一个正整数n,表示在,表示在A柱上放有柱上放有2n个圆盘。个圆盘。输出文件输出文件hanoi.out仅一行,包含一个正整数仅一行,包含一个正整数,为完成上为完成上述任务所需的最少移动次数述任务所需的最少移动次数An。【样例【样例1】hanoi.inhanoi.out12【样例【样例2】hanoi.inhanoi.out26【限制】【限制】对于对于50%的数据,的数据,1=n=25 对于对于10
5、0%的数据,的数据,1=n=2 then a1:=a1-2 else begin a1:=a1+8;a2:=a2-1;end;i:=100;while ai=0 do i:=i-1;for j:=i downto 1 do write(aj);close(input);close(output);end.var n,i,j:integer;a:array1.100 of 0.9;procedure ppp(k:integer);var i,j,w,s:integer;begin a1:=1;w:=0;for i:=1 to k do循环循环K次次 for j:=1 to 100 do begi
6、n s:=aj*2+w;aj:=s mod 10;w:=s div 10;end;end;例例2、乘火车、乘火车(98年复赛试题年复赛试题)火车从始发站(称为第火车从始发站(称为第1站)开出,在始发站上车的人数为站)开出,在始发站上车的人数为a,然后到达第然后到达第2站,在第站,在第2站有人上、下车,但上、下车的人数相同,站有人上、下车,但上、下车的人数相同,因此在第因此在第2站开出时(即在到达第站开出时(即在到达第3站之前)车上的人数保持为站之前)车上的人数保持为a人。人。从第从第3站起(包括第站起(包括第3站)上、下车的人数有一定规律:上车的人数站)上、下车的人数有一定规律:上车的人数都是
7、前两站上车人数之和,而下车人数等于上一站上车人数,一直都是前两站上车人数之和,而下车人数等于上一站上车人数,一直到终点站的前一站(第到终点站的前一站(第n-1站),都满足此规律。现给出的条件是:站),都满足此规律。现给出的条件是:共有共有n个车站,始发站上车的人数为个车站,始发站上车的人数为a,最后一站下车的人数是,最后一站下车的人数是m(全部下车)。试问第(全部下车)。试问第x站开出时车上的人数是多少?站开出时车上的人数是多少?输入文件输入文件chc.in:一行四个整数:一行四个整数a,n,m和和x(中间用空格隔开)(中间用空格隔开)输出文件输出文件chc.out:一行一个整数(从:一行一个
8、整数(从x站开出时车上的人数)站开出时车上的人数)样例样例:chc.in4 6 32 4chc.out18分析分析:典型的数学题典型的数学题为了找规律,我们建立一个表为了找规律,我们建立一个表:站号站号 1 2 3 4 5 6开车时人数开车时人数num a a 2a 2a+b 3a+2b 4a+4b上车人数上车人数in a b a+b a+2b 2a+3b 3a+5b下车人数下车人数out 0 b b a+b a+2b 2a+3b规律出来了,设第规律出来了,设第k(k=3)站时站时上车人数为上车人数为fk-2*a+fk-1*b(fk=1,1,2,3,5,8,13,21.为为fibonacci数
9、列数列)numk=a+in2-out2+in3-out3.+ink-outk而而in2=out3,in3=out4.故故numk=a-out2+ink=a-b+fk-2a+fk-1b=(fk-2+1)a+(fk-1-1)b (1)因为知道第因为知道第n-1站开车时人数为站开车时人数为m,容易求出容易求出b,再代入再代入(1)求第求第x站开车时的人数站开车时的人数p。即:即:m=(fn-3+1)a+(fn-2-1)b(2)p=(fx-2+1)a+(fx-1-1)b(3)从从(2)解得解得b,代入代入(3)计算知计算知p=(fx-2+1)*a+(fx-1-1)*(m-(fn-3+1)*a)div(
10、fn-2-1);var f:array1.23 of integer;i,a,n,m,x:integer;begin f1:=1;f2:=1;for i:=3 to 23 do fi:=fi-1+fi-2;readln(a,n,m,x);writeln(fx-2+1)*a+(fx-1-1)*(m-(fn-3+1)*a)div(fn-2-1);end.练习练习1、将一张长方形的纸对折,可得到一条折痕,继续对将一张长方形的纸对折,可得到一条折痕,继续对折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折折,对折时每次折痕与上次的折痕保持平行,连续对折三次后,可得到条折痕,那么对折三次后,可得到条折痕,
11、那么对折n次,可得到几条次,可得到几条折痕?折痕?第一次对折一条折痕,第二次对折(第一次对折一条折痕,第二次对折(1+2=3)条折痕,第)条折痕,第三次对折(三次对折(1+2+4=7)条折痕,第四次对折()条折痕,第四次对折(1+2+4+8=15)条折痕,换种写法是条折痕,换种写法是20+21+22+23,所以我们猜想第所以我们猜想第n次对折次对折后的折痕条数是后的折痕条数是20+21+22+23+2n-1或或2n-1练习练习2 数一数下图中有多少个正方形?如果把正方形各边平均数一数下图中有多少个正方形?如果把正方形各边平均分成分成n份,那么得到的正方形总数为多少?份,那么得到的正方形总数为多
12、少?52+42+32+22+12=55n2+(n-1)2+(n-2)2+22+12=1/6n(n+1)(2n+1)练习练习3按下图摆放桌子和椅子:一张桌子可坐按下图摆放桌子和椅子:一张桌子可坐6人,二张桌子人,二张桌子可坐可坐10人,三张桌子可坐人,三张桌子可坐14人,人,试对任意给出的桌子数试对任意给出的桌子数n(n0),写出可坐人数。写出可坐人数。4n+2练习练习4 如图如图,第一次把三角形剪去一个角后第一次把三角形剪去一个角后,图中最多有四个角图中最多有四个角,第二次再把新产生的角各剪一刀第二次再把新产生的角各剪一刀,如此下去如此下去,每一次都是把每一次都是把新产生的角各剪一刀新产生的角
13、各剪一刀,则第则第n次剪好后次剪好后,图中最多有多少个角图中最多有多少个角?可知后一次新产生的角的个数是前一次新产生角个数可知后一次新产生的角的个数是前一次新产生角个数的倍,再加上就是后一次产生角的总数因此,的倍,再加上就是后一次产生角的总数因此,剪剪n次后,图中最多有角:次后,图中最多有角:2+2n递推法递推法常常遇到这样的问题:在一个序列中,下一项的值对其前一项有着某种依赖常常遇到这样的问题:在一个序列中,下一项的值对其前一项有着某种依赖 关系,求某项的值要从第一项起经过逐次推算而得到。关系,求某项的值要从第一项起经过逐次推算而得到。例如:数列例如:数列0,3,6,9,12,15,该数列的
14、后一项的值是前一项的值加该数列的后一项的值是前一项的值加3,欲求第十项,必须先用第一项的值加,欲求第十项,必须先用第一项的值加3,求出第二项,然后求出第三项,第四项,第五项,求出第二项,然后求出第三项,第四项,第五项,直到第十项,当然必须,直到第十项,当然必须事先给定第一项的值(称为初始条件)。事先给定第一项的值(称为初始条件)。可以看出,该数列中第可以看出,该数列中第n项的值等于第项的值等于第n-1项的值加项的值加3。即:。即:an=an-1+3,(n1)(递推公式递推公式)a1=0,(n=1)(初始条件初始条件)这种在规定的初始条件下,找出后项对前项的依赖关系的操作,称为这种在规定的初始条
15、件下,找出后项对前项的依赖关系的操作,称为递推递推。表示某项和它前面的若干项的关系式就叫作表示某项和它前面的若干项的关系式就叫作递推公式递推公式。在实际问题中类似的很多,处理这类问题的理想方法是用归纳法求出通项公在实际问题中类似的很多,处理这类问题的理想方法是用归纳法求出通项公式。如上例中的通项公式为式。如上例中的通项公式为an=(n-1)*3 (n=1)。但是在许多情况下,要得到数列的通项公式是比较困难的,而通过已知条件但是在许多情况下,要得到数列的通项公式是比较困难的,而通过已知条件归纳出一个递推关系则相对容易。这时就可以采用递推技术,避开求通项公式的归纳出一个递推关系则相对容易。这时就可
16、以采用递推技术,避开求通项公式的麻烦,把一个复杂问题的求解,分解成为若干步重复的简单运算,由边界条件出麻烦,把一个复杂问题的求解,分解成为若干步重复的简单运算,由边界条件出发进行递推,最后得到最终结果。发进行递推,最后得到最终结果。我们把由已知初始值为我们把由已知初始值为1,通过递推关系式,通过递推关系式n=g(Fn-1)求出其最终结求出其最终结果果Fn的递推方式称为顺推法同理,把已知最终结果为的递推方式称为顺推法同理,把已知最终结果为Fn,通过递推关系,通过递推关系式式n-1=g(Fn),求出其初始值,求出其初始值1的递推方式称之为倒推法的递推方式称之为倒推法 有一对雌雄小兔子,过一个月之后
17、长成为大兔,并且以后每个月都生下有一对雌雄小兔子,过一个月之后长成为大兔,并且以后每个月都生下一对小兔。而所生的一对小兔也同样到一个月之后长成大兔,到第三个月就一对小兔。而所生的一对小兔也同样到一个月之后长成大兔,到第三个月就可以生下一对小兔,并且以后也每个月都生下一对小兔。假定所有的兔子可以生下一对小兔,并且以后也每个月都生下一对小兔。假定所有的兔子n n个月内均不死亡,问个月内均不死亡,问n个月后共有多少对兔子?个月后共有多少对兔子?12345678910 11 12小111235813 21 34 55中111235813 21 34大11235813 21 34 55总11235813
18、 21 34 55 89144f(1)=1 (n=1)f(2)=1 (n=2)f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n2)如何通过已知条件归纳出一个递推公式如何通过已知条件归纳出一个递推公式?参考程序参考程序参考程序参考程序练习练习1(2000年初赛试题年初赛试题)有有2n的一个长方形方格,用一种的一个长方形方格,用一种12的骨牌铺满方格。的骨牌铺满方格。例如例如n=3时,为时,为23的的方格,有方格,有如下种铺如下种铺法:法:此时用一个此时用一个12的骨牌铺满方格,共有的骨牌铺满方格,共有3种铺法:种铺法:试对给出的任意一个试对给出的任意一个n(n0),求出铺法总数的递推公式。),求出铺法总
19、数的递推公式。用用F(n)表示其铺法总数的递推公式为)表示其铺法总数的递推公式为:F(1)=1,F(2)=2,F(n)=F(n-2)+F(n-1)()(n3)练习练习2(2000年初赛试题年初赛试题)设有一个共有设有一个共有n级的楼梯,某人每步可走级的楼梯,某人每步可走1级,也可走级,也可走2级,也可走级,也可走3级,用递推公式给出某人从底层开始走完全部级,用递推公式给出某人从底层开始走完全部楼梯的走法。例如:当楼梯的走法。例如:当n=3时,共有时,共有4种走法,即种走法,即1+1+1,1+2,2+1,3。用递推公式给出的某人从底层开始走完全部楼梯的走法为用递推公式给出的某人从底层开始走完全部
20、楼梯的走法为(用(用F(n)记录不同方案数):)记录不同方案数):F(1)1 F(2)2 F(3)4F(n)F(n3)F(n2)F(n1)()(n=4)练习练习3一张圆薄饼,切一张圆薄饼,切100刀,最多能切成多少块?刀,最多能切成多少块?a100=a99+100 =a98+99+100 =a97+98+99+100 =a1+2+3+98+99+100 =2+2+3+98+99+100 =5051切一刀,得块,增加了一块;切二刀,得块,增加了块;切一刀,得块,增加了一块;切二刀,得块,增加了块;切三刀,得七块,增加了块;切四刀,得切三刀,得七块,增加了块;切四刀,得11块,增加了块,增加了4块
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